陕西省咸阳市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷Word版含答案

数学〔理科〕试题
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1.数列1,3,6,10,⋅⋅⋅的一个通项公式是( )
A ．21n a n n =-+．2
1n a n =- C ．(1)2n n n a +=
D ．(1)
2
n n n a -= 2.在ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列，那么角B 的大小为 〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
3.设11a b >>>-，那么以下不等式中恒成立的是 ()
A ．2
a b > B. 2
a b < C.
11a b < D ．11
a b
> 4.设22221,4a x y x y b =+-++=-，那么实数,a b 的大小关系 ( )
A ．a b <
B ．a b >
C ．a b =
D ．与,x y 取值有关
5.数列{}n a 中,112,1,n n a a a n N ++=+=∈，那么10a =( )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
6.在
ABC
∆中，假设
()()3a b c c b a bc
+++-=,那么角A =
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7.等比数列{}n a 的各项均为正数，且569a a =，那么3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=( )
A ．12
B ．10
C ．31log 5+
D ．32log 5+
8.等差数列{}n a 的前10项和为30，前30项和为210，那么前20项和为( )
A ．100
B ．120
C ．390
D ．540
9.函数2,0
()21,0
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，那么不等式()1f x ≥的解集是 ()
A ．(,1)-∞-
B ．(,0)
[1,)-∞+∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞
2和8之间插入n 个正数,使这2n +数成等比数列,那么该数列的公比是 ( )
A ．12n
B ．14n
C ．1+1
4
n D ．1+1
2
n
11.在ABC ∆中，假设
cos cos cos a b c
A B C
==
，那么ABC ∆是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形
12.假设两个等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，且
212n n S n T n +=+，那么77
a b =( ) A ．
95 B ．53C ．2D ．31
17
二、填空题(此题共4小题，每题5分,共20分)．
13.在ABC ∆中，30,1A a ==，那么
_____.sin sin b c
B C
+=+
14.等比数列,22,33,a a a ++⋅⋅⋅的第4项为_______.
210x ax ++≥对任意1
(0,]2
x ∈恒成立，那么实数a 的最小值为_____.
16.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，
这个常数称为该数列的公积．数列{}n a 是等积数列，且12a =-，公积为5，那么这个数列的前2020项的和为.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分) 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 求证：2
2
2
a b c =+
2cos bc A -.
18. (本小题12分)关于x 的不等式2
0ax bx c ++>解集为{
1x x -<解关于x 不等式2
0cx bx a ++<
19.(本小题12分)如图，在圆内接四边形ABCD 中,2,AB =
6,4BC CD AD ===,求四边形ABCD 的面积.
20.(本小题12分) 数列{}n a 满足1231111
2482
n n a a a a +++⋅⋅⋅+={}n a 的通项公式和前n 项和为n S .
21.(本小题12分) 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,,a b c ABC ∆的面积为
2
3sin a A
. (1)求sin sin B C ; (2)假设1
3,cos cos 6
a B C ==
,求a b c ++. 22.(本小题12分) 数列{}n a 的前n 项和为1,n n S a λ=+其中0λ≠.
(1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)假设531
32
S =
,求λ. 理科数学参考答案
一、选择题CDABB CBADC BA
二、填空题13.2 ； 14.272-
； 15.5
2
-； 16.4545-． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)
证明：法1;2
22()a BC AC AB ==- 即222a b c =+2cos bc A -………………10分
法2：建立如下图的坐标系，那么(,0)C b ,
(cos ,sin )B c A c A ,因此
即222a b c =+2cos bc A -………………10分 18. (本小题12分)
解法1:依题意知,1-和2是方程20ax bx c ++=两根,易得
012212a a b b a a c a
c a ⎧
⎪<<⎧⎪
⎪⎪
-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪
-⨯=⎪⎩
………………5分
于是不等式20cx bx a ++<,即2
20(0)ax ax a a --+<< 整理得2
210(21)(1)0x x x x +-<⇔-+< 解得 {
112x x ⎫
-<<
⎬⎭
………………12分 解法2:2
2
12(2)(1)02020x x x x x x x -<<⇔-+<⇔--<⇔-++> 与20ax bx c ++>同解,易得112
(0)a a b c
-
==< 即,2(0)b a c a a =-=-<， 于是不等式20cx bx a ++<,即2
20(0)ax ax a a --+<< 以下同解法1,略 ………………12分
19. (本小题12分)
解:如图,连接BD ,根据余弦定理,
在ABD ∆中,222222cos 42242cos BD AD AB AD AB A A =+-⋅=+-⋅⋅⋅ 在CBD ∆中,222222cos 64264cos BD CD CB CD CB A C =+-⋅=+-⋅⋅⋅
5248cos C =-………………6分 ∴2016cos A -5248cos C =-
注意到180A C +=,得cos cos C A =-,解得1
cos 2
A =-
所以sin sin A C ==
x
b
于是1142642222
ABCD ABD CBD S S S ∆∆=+=⨯⨯⨯
+⨯⨯⨯=………………12分
20. (本小题12分)
解: (1) 当1n =时,11
72
a =，解得114a =； 当2n ≥时,
1231111111
2524822n n n n a a a a a n --+++⋅⋅⋅++=+ 两式相减得
1
12(2)22
n n n n
a n a +=≥⇔= 综上得114,12,
2
n n n a n +=⎧=⎨
≥⎩………………6分
〔2〕显然1114S a ==；
当2n ≥时,313
4
1
22(21)14222
142621
n n n n S -++-=+++⋅⋅⋅+=+=+-
综上得2
26n n S +=+………………12分
21. (本小题12分)
解: (1)依题意,21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a
c B A
=
由正弦定理得1sin sin sin 23sin A
C B A =,即2sin sin 3B C =………………6分
(2)由题设及(1)得11
cos cos sin sin cos()22
B C B C B c -=-⇔+=- 可得120,60B C A +==
由题设得2
1sin 23sin a bc A A
=,即8bc =
由余弦定理得2229()39b c bc b c bc +-=⇔+-=,
得b c +=
所以3a b c ++=+12分 22. (本小题12分)
(1)证明:当1n =时,111,a a λ=+得111
,1,01a a λλ
=
≠≠-; 当2n ≥时,由1,n n S a λ=+及-1-11,n n S a λ=+得1n n n a a a λλ-=- 即1(1)n n a a λλ--=,由11,0a λ≠≠,知0n a ≠,所以1(2)1
n n a n a λλ-=≥- 因此,数列{}n a 是首项为
11λ-,公比为1
λλ-的等比数列
1
1()11
n n a λλλ-=
--………………6分 (2)解:由(1)得1()1n n S λ
λ=--,由531
32
S = 得531
1(
)132
λ
λ-=
-,解得=1λ-………………12分。