高考数学复习典型题型专题练习51 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第51讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
练习1
A组夯基精练
一、单项选择题(选对方法，事半功倍)
1. (2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是()
A. 0.819 2
B. 0.972 8
C. 0.974 4
D. 0.998 4
2. 已知P(A)>0，P(B|A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B()
A. 互斥
B. 对立
C. 相互独立
D. 以上均不正确
3. 每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则这名学生近视的概率为()
A. 7
16 B.
3
8
C. 5
16 D.
1
4
4. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员
进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为3
4，如果他前一球没投
进则后一球投进的概率为1
4.若他第1球投进的概率为
3
4，则他第2球投进的概率
为()
A. 3
4 B.
5
8
C. 7
16 D.
9
16
.二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)
5. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有()
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2 7
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为2 7
6. 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是()
A. A1，A2互斥
B. P(B|A2)＝2 3
C. 事件B与事件A2相互独立
D. P(B)＝9 14
三、填空题(精准计算，整洁表达)
7. 冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合
格的概率均为2
3，且各生产环节相互独立，则成功生产出质量合格的发热膜的概
率为________．
8. 抛掷3个骰子，事件A＝“三个骰子向上的点数互不相同”，事件B＝“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则P(A|B)＝________.
9. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有
思路的题做对的概率为3
4，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．若
小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为________．
四、解答题(让规范成为一种习惯)
10. (2023·济宁模拟)甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B，在
点B处投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙两人在A处投中的概率都是1 2，
在B处投中的概率都是1
3，且在A，B两处投中与否相互独立，规定甲、乙两人
先在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜．
(1) 求甲投篮总得分ξ的分布列；
(2) 求甲获胜的概率．
11. 2023年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名．
(1) 从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；
(2) 先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率．
B组滚动小练
12. (2023·聊城期中)已知a>b>1，若log a b＋log b a＝10
3，a
b＝b a，则a＋b＝
________.
13. 在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋a n＋1＝2n＋1，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为________．
第51讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
练习2
A组夯基精练
一、单项选择题(选对方法，事半功倍)
1. (2023·日照三模)若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示
的阴影部分的面积表示()
(第1题)
A. 事件A发生的概率
B. 事件B发生的概率
C. 事件B不发生条件下事件A发生的概率
D. 事件A，B同时发生的概率
2. (2023·泰安二模)已知盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5，现每次从中任意取一张，取出后不再放回，若抽取三次，则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下，第三张为奇数的概率为()
A. 1
5 B.
2
5
C. 1
2 D.
3
8
3. (2023·惠州模拟)甲罐中有5个红球、3个白球，乙罐中有4个红球、2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是()
A. P(B|A1)＝10
21 B. P(C|A2)＝
4
7
C. P(B)＝19
42 D. P(C)＝
43
84
4. (2023·柳州三模)某班数学老师和同学们进行一个游戏，游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的5名同学并按顺序排好，每位同学手里均有5张除颜色外无其他区别的卡片，第k(k＝1,2,3,4,5)位同学手中有k张红色卡片，5－k张白色卡片．老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则老师获胜，否则学生获胜，老师获胜的概率为()
A. 1
5 B.
2
5
C. 3
5 D.
4
5
二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)
5. (2023·武汉模拟)一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M＝“第一次向下的数字为1或2”，事件N＝“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是()
A. 事件M发生的概率为1 2
B. 事件M与事件N互斥
C. 事件M与事件N相互独立
D. 事件M＋N发生的概率为1 2
6. (2023·襄阳模拟)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶
斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)＝P(A)P(B|A)
P(B)
.某高校有甲、
乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学()
A. 第二天去甲餐厅的概率为0.54
B. 第二天去乙餐厅的概率为0.44
C. 第二天去甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为5 9
D. 第二天去乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为4 9
三、填空题(精准计算，整洁表达)
7. (2023·邯郸模拟)同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件A＝“两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件B＝“两枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则P(B|A)＝________.
8. (2023·武汉期初)一电器商城出售的某种家电产品来自甲、乙、丙三家工厂，这三家工厂的产品比例为1∶2∶1，且它们的产品合格率分别为96%,95%,98%，现从该商城的这种家电产品中随机抽取一件，则取到的产品是合格品的概率为________．
9. (2023·临沂三模)某足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场率分别为0.3,0.5,0.2，当甲球员在相应位置时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6.据此判断当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为________．
四、解答题(让规范成为一种习惯)
10. (2023·泰安模拟)某百科知识竞赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛．比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答．比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局．已知甲、乙两位选
手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为13，12，快问快答局获胜与平局的概率分别为13，16，抢答局获胜的概率为13，各局比赛相互独立．
(1) 求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；
(2) 已知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率．
11. (2023·丽水、湖州、衢州11月联考)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节．自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划)．下表是某高校从2018年起至2023年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：
(1) 统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系．记x 为年份与2017的
差，y 为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2023年的数学、物理和化学的招生总人数(结果四舍五入保留整数)；
(2) 在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检，此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审．记选取到数学专业的学生人数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )；
(3) 经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占76%，五年毕业的占16%，六年毕业的占8%.现从2018到2023年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率．
附：在y ＝b ∧x ＋a ∧中，b ∧＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )
i ＝1
n (x i －x )2，a ∧＝y －b ∧
x .
B 组 滚动小练
12. (2023·岳阳调研)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2 0202 023·S 2
023＝S 2 020＋3 030，a 4为a 2与a 8的等比中项．
(1) 求{a n }的通项公式．
(2) 若b n ＝a n ·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
(3) 若c n＝n
a n，判断数列{c n}是否存在最大项和最小项，若存在，求{c n}
的最大项和最小项；若不存在，请说明理由．。