课时作业2：6.1.2 第二课时 导数的几何意义

第二课时 导数的几何意义
基础达标
一、选择题
1.曲线f (x )＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( )
A.x －y －2＝0
B.x ＋y ＝0
C.x ＋2y ＋1＝0
D.2x ＋y －1＝0 解析 因为f ′(1)＝0lim x ∆→ －
11＋Δx ＋11Δx
＝0lim x ∆→ 11＋Δx
＝1， 则f (x )＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.
答案 A
2.已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－52，则在点P 处的切线的倾斜角为( ) A.π6
B.π4
C.3π4
D.11π12
解析 ∵点P ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－52在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，∴在点P 处的切线斜率为k ＝f ′(1)
＝0lim x ∆→ f （1＋Δx ）－f （1）Δx
＝－1， 又∵倾斜角的取值范围是[0，π)，
∴在点P 处的切线的倾斜角为3π4.
答案 C
3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋
f ′(2)等于( )
A.－4
B.3
C.－2
D.1
解析 由图像可得函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4，0)，与y 轴交于点(0，4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1，故选D.
答案 D
4.曲线y ＝x 2在点P 的切线倾斜角为π4，则点P 的坐标为( ) A.(0，0) B.(2，4) C.(14，116) D.(12，14)
解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝0
lim x ∆→ (2x 0＋Δx )＝2x 0， ∴令2x 0＝tan π4＝1，得x 0＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14. 答案 D
5.设f (x )为可导函数，且满足0lim x ∆→ f （1）－f （1－x ）2x
＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )
A.2
B.－1
C.1
D.－2
解析 ∵0
lim x ∆→ 12·f （1）－f （1－x ）x ＝120
lim x ∆→ f （1）－f （1－x ）x ＝12f ′(1)＝－1， ∴f ′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2. 答案 D
二、填空题
6.已知函数f (x )＝ax 2＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则b a ＝________.
解析 由题意知a ＋b ＝3，
又f ′(1)＝0
lim x ∆→ a （1＋Δx ）2＋b －（a ＋b ）Δx ＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2，故b a ＝2.
答案 2
7.函数f (x )＝x －1x 的图像与x 轴交点处的切线的方程为________.
解析 由f (x )＝x －1x ＝0得x ＝±1，即函数f (x )的图像与x 轴的交点坐标为(1，0)
或(－1，0).
∵f ′(x )＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）－
1x ＋Δx －x ＋1x Δx
＝0lim x ∆→ ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋1x （x ＋Δx ）＝1＋1x 2， ∴切线的斜率k ＝1＋11＝2.
∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1).
答案 y ＝2x －2或y ＝2x ＋2
8.若曲线y ＝2x 2－4x ＋p 与直线y ＝1相切，则p ＝________.
解析 设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝
lim x ∆→ 2（x 0＋Δx ）2－4（x 0＋Δx ）＋p －（2x 20－4x 0＋p ）Δx ＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1).∴2－4＋p ＝1，即p ＝3.
答案 3
三、解答题
9.求过点P (－1，2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线. 解 曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线斜率
k ＝f ′(1)＝0
lim x ∆→ 3（1＋Δx ）2－4（1＋Δx ）＋2－1Δx ＝0
lim x ∆→ (3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1，2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.
所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.
10.已知抛物线f (x )＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程.
解 (1) 由⎩⎨⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝8或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13).
(2)∵f (x )＝x 2＋4，
∴f ′(x )＝0
lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋4－（x 2＋4）Δx ＝0
lim x ∆→ （Δx ）2＋2x ·Δx Δx ＝0
lim x ∆→ (Δx ＋2x )＝2x . ∴f ′(－2)＝－4，f ′(3)＝6，
即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2，8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；
在点(3，13)处的切线方程为6x －y －5＝0.
能力提升
11.曲线f (x )＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为________.
解析 ∵f ′(1)＝0
lim x ∆→ （1＋Δx ）3－13
Δx ＝3， ∴曲线f (x )＝x 3在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2，联立方程⎩⎨⎧y ＝3x －2，x ＝2，
则y ＝4，令y ＝3x －2＝0，则x ＝23，故切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形面积为12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－23×4＝83. 答案 83
12.已知曲线y ＝2x 2－7，求：
(1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?
(2)曲线过点P (3，9)的切线方程.
解 0lim x ∆→ Δy Δx ＝0
lim x ∆→ [2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx ＝0
lim x ∆→ (4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，
则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5).
(2)由于点P (3，9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0).
将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，
得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).
解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25). 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.
创新猜想
13.(多选题)曲线f (x )＝x 3－3x 2＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( )
A.y ＝9x
B.y ＝9x －26
C.y ＝9x ＋26
D.y ＝9x ＋6
解析 设P (x 0，x 30－3x 20＋1)，
f ′(x 0)＝0lim x ∆→ Δf Δx ＝0
lim x ∆→ （x 0＋Δx ）3－3（x 0＋Δx ）2＋1－（x 30－3x 20＋1）Δx ＝3x 20－6x 0＝9，
即x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝－1或3. ∴点P 的坐标为(－1，－3)或(3，1).
∴切线方程为y ＋3＝9(x ＋1)或y －1＝9(x －3)， 即y ＝9x ＋6或y ＝9x －26.
答案 BD
14.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确.
答案AC。