最新学年高中数学 第二章 几个重要的不等式章末质量评估 北师大版选修4-5(考试必备)

第二章 几个重要的不等式
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.已知a ，b ，c 都是正数，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A.(a ＋b ＋c )2
≥3 B.a 2＋b 2＋c 2
≥2 C.1a ＋1b ＋1
c
≤2 3
D.a ＋b ＋c ≤1
3abc
解析 用3(ab ＋bc ＋ca )≤(a ＋b ＋c )2
≤3(a 2
＋b 2
＋c 2
)易得. 答案 A
2.若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16x
x 2＋1的最小值为( )
A.16
B.8
C.4
D.非上述情况
解析 y ＝x ＋1x ＋16x ＋
1x
，令t ＝x ＋1
x >2(因x >1).
∴y ＝t ＋16t ≥216＝8.当且仅当t ＝16
t
，即t ＝4时取等号.
答案 B
3.若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A.2 B.32 C. 3
D.53
解析 (1·a ＋1·b ＋1·c )2
≤(12
＋12
＋12
)(a ＋b ＋c )＝3 因此，a ＋b ＋c ≤ 3. 当且仅当a
1
＝
b
1
＝
c
1，即a ＝b ＝c ＝1
3
时取等号. 答案 C
4.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，A ＝a 3
＋b 3
＋c 3
，B ＝a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a ，则A 与B 的大小关系为( ) A.A ≥B B.A ≤B
C.A ＝B
D.A 与B 的大小不确定
解析 取两组数：a ，b ，c 与a 2
，b 2
，c 2
，显然a 3
＋b 3
＋c 3
是顺序和，a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a 是乱序和，所以a 3
＋b 3
＋c 3
≥a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a ，即A ≥B . 答案 A
5.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n
>n 3
”时，验证第一步不等式成立所取
的第一个值n 0最小应当是( ) A.1 B.大于1且小于10的某个自然数 C.10 D.11
答案 C
6.已知函数f (x )＝22－x ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝f (1)，当n ≥2时，S n －
2
f （a n ）＝12(n 2
＋5n －2)，则通过计算a 1，a 2，a 3的值，猜想{a n }的通项公式a n 等于( ) A.n ＋1 B.n －1 C.n ＋2 D.n －2
答案 A
7.设a ，b ，c ，d 为正数，a ＋b ＋c ＋d ＝1，则a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
的最小值为( ) A.12 B.14 C.1
D.34
解析 由柯西不等式(a 2
＋b 2
＋c 2
＋d 2
)(12
＋12
＋12
＋12
) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2
，因为a ＋b ＋c ＋d ＝1，于是由上式得 4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥1，于是a 2＋b 2＋c 2＋d 2
≥14，
当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝1
4时取等号.
答案 B
8.设a 1，a 2，a 3为正数，m ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1
a 2
，n ＝a 1＋a 2＋a 3，则m 与n 的大小关系为( ) A.m ≤n B.m ≥n C.m >n
D.m ＝n
解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1
a 3
，
a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得： a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1
a 1
·a 1a 2 ＝a 1＋a 2＋a 3.故选B. 答案 B
9.用数学归纳法证明“1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ”时，由n ＝k
的假设证明n ＝k ＋1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( )
A.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1
B.1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋1
2k ＋2 C.1k ＋2＋…＋12k ＋1
2k ＋1 D.
1k ＋2＋…＋12k ＋1＋1
2k ＋2
答案 D
10.用数学归纳法证明命题“1＋12＋13＋…＋12n >n
2 (n ∈N ＋)”时，命题在n ＝k ＋1时的形式是
( )
A.1＋12＋13＋…＋12k ＋1>k ＋1
2
B.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12
C.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2>k ＋12
D.1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>k ＋12
答案 D
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11.用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1（n ＋1）2＞12－
1
n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是________.
解析 当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－
1
k ＋3. 答案
122＋132＋142＋…＋1（k ＋2）2＞12－
1
k ＋3
12.设x 2
＋2y 2
＝1则u (x ，y )＝x ＋2y 的最小值是________；最大值是________.
解析 由柯西不等式，有|u (x ，y )|＝|1·x ＋2·2y |≤1＋2·x 2
＋2y 2
＝3得u min ＝－3，u max ＝3分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫3
3
，33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33时取得. 答案 － 3
3
13.已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫c ＋1c 的最小值是________.
解析 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c
＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c ，∴1a ＋
1b
＋1c
≥3＋2＋2＋2＝9，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c ≥9＋1＝10.
答案 10
14.设实数a 1，a 2，a 3满足条件a 1＋a 2＋a 3＝2，则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1的最大值为________. 解析 由柯西不等式，(a 2
1＋a 2
2＋a 2
3)(12
＋12
＋12
) ≥(a 1＋a 2＋a 3)2＝4，于是a 21＋a 22＋a 2
3≥43
.
故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1＝12[(a 1＋a 2＋a 3)2－(a 21＋a 22＋a 23)]＝12×22
－12(a 21＋a 22＋a 23)≤
2－12×43＝4
3. 答案 43
15.函数y ＝cos 2
x (1＋sin x )的最大值为__________.
解析 y ＝(1－sin 2
x )(1＋sin x )＝(1－sin x )(1＋sin x )·(1＋sin x )＝ 4(1－sin x )·1＋sin x 2·1＋sin x 2≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋1＋sin x 33＝4×827＝32
27 等号成立⇔1－sin x ＝1＋sin x 2⇔sin x ＝13.
答案
32
27
16.已知函数f (x )＝
2x
x ＋2
，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (a n －1) (n >1，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式为__________. 答案 a n ＝
2n ＋1
三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 17.利用柯西不等式解方程：21－x ＋2x ＋3＝15. 解 由柯西不等式
(21－x ＋2x ＋3)2
＝(21－x ＋2·
x ＋32
)2
≤[22
＋(2)2
]⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
（1－x ）2＋⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋322 ＝6×⎝
⎛⎭⎪⎫1－x ＋x ＋32＝6×52＝15.
等号成立⇔
1－x
2
＝x ＋
322
⇔1－x 4＝x ＋
3
22⇔x ＝－23.
经检验，x ＝－2
3
为原方程的根.
18.已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2
a ＋
b ＋c
≥abc .
证明 根据所证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1
c
，
bc ≤ca ≤ab ，
由排序原理：顺序和≥乱序和，得
bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b ，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2
abc
≥a ＋b ＋c ， ∵a ，b ，c 为正数，∴abc >0，a ＋b ＋c >0.
于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c
≥abc .
19.设a 1，a 2，…，a n 是几个不相同的正整数，用排序不等式证明：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 2
22
＋a 332＋…＋a n
n
2.
证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1<b 2<…<b n ，因b 1，b 2，…，
b n 是互不相同的正整数，故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n .
又因为1>122>132>…>1n 2，故由排序不等式；得a 1＋a 222＋a 3
32＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b n n 2≥1×1
＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1
n
.
20.已知集合X ＝{1，2，3}，Y n ＝{1，2，3，…，n }(n ∈N ＋)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值；
(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)Y 6＝{1，2，3，4，5，6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1，2，3，4，5，6；若a ＝2，则b ＝1，2，4，6； 若a ＝3，则b ＝1，3，6.所以f (6)＝13. (2)当n ≥6时，
f (n )＝⎩⎪⎪⎪
⎨⎪⎪
⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2＋n 3
，n ＝6t ，
n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N ＋
).
下面用数学归纳法证明：
①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋6
3
＝13，结论成立；
②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，
k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：
a.若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋
k －12＋
k －2
3
＋3
＝(k ＋1)＋2＋
k ＋12＋
k ＋1
3
，结论成立；
b.若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k
3
＋1
＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－1
3，结论成立；
c.若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋
k －12＋
k －1
3
＋2
＝(k ＋1)＋2＋
k ＋12
＋
（k ＋1）－2
3
，结论成立；
d.若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2
＋k －2
3
＋2
＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋k ＋13，结论成立；
e.若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋
k －12
＋k
3
＋2 ＝(k ＋1)＋2＋
k ＋12
＋
（k ＋1）－1
3
，结论成立；
f.若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有
f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2
＋k －1
3
＋1
＝(k ＋1)＋2＋（k ＋1）－12＋（k ＋1）－23，结论成立.
综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。