河北省涞水波峰中学2017届高三3月月考数学文试题 含答

高三3月考试试题
文科数学
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A ）∪B=（ ） A ．{4}
B ．{2，3，4}
C ．{0，3，4}
D ．{0，2，3，4}
2．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ） A ．﹣1+i B ．﹣1﹣i C ．1+i D ．1﹣i
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n ﹣4，n ∈N *，则a n =（ ）
A ．2n+1
B ．2n
C ．2
n ﹣1
D ．2
n ﹣2
4．下列结论错误的是
A ．命题“若p ，则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题
B ．命题1],1,0[:≥∈∀x e x p ；命题01,:2
<++∈∃x x R x q ，则q p ∨为真
C ．“若2
2bm am <，则b a <”的逆命题为真命题
D ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题
5．已知变量x ，y 满足，则z=2x+2y 的最小值为（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
6．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈上随机地抽取一个实数x ，若x 满足x
2
≤m 的概率为，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．9
11．若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线034=-y x 和x 轴都相切,则该圆的标准方程为
A ．1
)3
7()3(2
2=-+-y x
B ．1)1()2(2
2
=-+-y x C ．1)3()1(2
2
=-+-y x
D ．1)1()2
3(2
2=-+-y x
12．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P
是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，|PF 1|=2|PF 2|，且∠MF 2N=60°，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．已知函数y=x 2﹣lnx 的一条切线是y=x ﹣b ，则b= ．
14．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是 ．
15．已知数列{a n }满足a n+2=a n+1﹣a n ，且a 1=2，a 2=3，则a 2017的值为 ．
16．在球O 的内接四面体A ﹣BCD 中，AB=6，AC=10，∠ABC=，且四面体A ﹣BCD 体积的大值
为200，则球O 的半径为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=2b ，又sinA ，sinC ，sinB 成等差数列． （Ⅰ）求cos （B+C ）的值；
（Ⅱ）若，求c 的值．
18．（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损．
（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；
（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高176cm的同
学被抽中的概率．
19．（本小题满分12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是等
边三角形，AB=2，PC=，AB的中点为E
（1）证明： PE⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥D﹣PBC的体积．
20．（本小题满分12分）已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，等腰三角形ABP 以AB为底边，求直线l的方程．
21．（本小题满分12分）设函数f （x ）=lnx ﹣（a+1）x （a ∈R ） （1）当a=0时，讨论函数f （x ）的单调性；
（2）当a>﹣1时，函数f （x ）有最大值且最大值大于﹣2时，求a 的取值范围．
请考生在第22、23、题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,
5
45x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩
（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞， （1）求
14
|21||1|x x a b
+≥--+的最小值为M ． （2））M ≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x 的取值范围．
高三期末考试试题
文科数学答案
一、选择题：CAACD DAA CD BB
二、填空题：13．0． 14． 15．2． 16．13
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，
又a=2b，可得，
∴，
∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，
∴．
（Ⅱ）由，得，
∴，
∴，解得．
18．解析：(1)
158162163168168170171179182
10
a
x
+++++++++
=
……………2分
170
=………………4分
解得a=179 所以污损处是9.………………6分
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，………………8分
而事件A含有4个基本事件，………………10分
∴P(A)＝4
10＝
2
5
………………12分
19
【解答】证明：（Ⅰ）由题可知PE⊥AB，CE⊥AB．
∵AB=2，
∴PE=CE=．
又∵PC=，
∴PE2+EC2=PC2，
∴∠PEC=90°，
∴PE⊥CE．
∵AB，CE⊂平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）
S△BCD==，PE=．
由（1）知：PE⊥平面ABCD，
V P﹣BCD=错误！未找到引用源。

S△BCD错误！未找到引用源。

PE=1
∵V D﹣PBC=V P﹣BCD，
∴三棱锥D﹣PBC的体积为1．
20．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），
由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，
故a2=b2+c2=8，
∴椭圆G的方程为
（Ⅱ）设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，
化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①
因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，
∴△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，
解得﹣2，②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．③
于是AB的中点M（x0，y0）满足=﹣，．
已知点P （﹣3，2），若等腰三角形ABP 以AB 为底，
则k PM =﹣1，即=﹣1，④，将M （﹣）代入④式，
得m=3∈（﹣2
，2
）满足②
此时直线l 的方程为y=x+3．
21．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，函数f （x ）=lnx ﹣x ，定义域为（0，+∞）， f′（x ）=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

i ）当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，函数单调递增， ii ）当x ＞1时，f′（x ）＜0，函数单调递减．
综上所述：函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． （Ⅱ）解：函数f （x ）=lnx ﹣（a+1）x （a ∈R ）的定义域为（0，+∞），
=
，
当a>﹣1时，a+1＞0，令f′（x ）=0，解得x=，
i ）当0＜x ＜时，f′（x ）＞0，函数单调递增，
ii ）当x ＞时，f′（x ）＜0，函数单调递减．
得：
﹣1>-2，
即ln （a+1）＜1， ∴a+1＜e ， ∴﹣1＜a ＜e-1，
故a 的取值范围为（﹣1，e-1）． 22．
解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为
22sin ρρθ= ……………………………………………2分
又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，
所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--… ………6分
令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC = ……8分
所以1MN MC r +=≤………………………10分 23．
解析：(1)∵ a ＞0，b ＞0 且1a b += ∴ 1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b
≥9 ，故
1a +4
b
的最小值为9，……5分 (2)因为对
M ≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x ≤-1时，2-x ≤9，
∴ -7≤x ≤-1，当 -1＜x ＜1
2
时，-3x ≤9， ∴ -1＜x ＜12，当 x ≥12时，x-2≤9， ∴ 1
2
≤x ≤11，∴ -7≤x ≤11 …… 10分
文科数学答案
一、选择题：CAACD DAA CD BB
二、填空题： 13．0． 14． 15．2． 16．13
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，
由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，可得，
∴，
∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴．
（Ⅱ）由，得，
∴，∴，解得．
18．解析：(1)
158162163168168170171179182
10
a
x
+++++++++
=
…2分170
=……4分
解得a=179 所以污损处是9.………6分
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，…8分
而事件A含有4个基本事件，……10分∴P(A)＝4
10＝
2
5
……12分
19【解答】证明：（Ⅰ）由题可知PE⊥AB，CE⊥AB．
∵AB=2，∴PE=CE=．又∵PC=，∴PE2+EC2=PC2，
∴∠PEC=90°，∴PE⊥CE．∵AB，CE⊂平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）S△BCD==，PE=．
由（1）知：PE⊥平面ABCD，V P﹣BCD=错误！未找到引用源。

S△BCD错误！未找到引用源。

PE=1 ∵V D﹣PBC=V P﹣BCD，∴三棱锥D﹣PBC的体积为1．
20．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），
由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，
∴椭圆G的方程为
（Ⅱ）设斜率为1的直线l 的方程为y=x+m ，代入
中，
化简得：3x 2
+4mx+2m 2
﹣8=0，①因为直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，
∴△=16m 2
﹣12（2m 2
﹣8）＞0，解得﹣2，②
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，．③
于是AB 的中点M （x 0，y 0）满足
=﹣
，
．
已知点P （﹣3，2），若等腰三角形ABP 以AB 为底，
则k PM =﹣1，即=﹣1，④，将M （﹣
）代入④式，
得m=3∈（﹣2
，2
）满足②此时直线l 的方程为y=x+3．
21．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，函数f （x ）=lnx ﹣x ，定义域为（0，+∞）， f′（x ）=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

i ）当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，函数单调递增， ii ）当x ＞1时，f′（x ）＜0，函数单调递减．
综上所述：函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． （Ⅱ）解：函数f （x ）=lnx ﹣（a+1）x （a ∈R ）的定义域为（0，+∞），
=
，当a>﹣1时，a+1＞0，令f′（x ）=0，解得x=
，
i ）当0＜x ＜时，f′（x ）＞0，函数单调递增，
ii ）当x ＞时，f′（x ）＜0，函数单调递减．
得：
﹣1>-2，即ln （a+1）＜1，
∴a+1＜e ，∴﹣1＜a ＜e-1，故a 的取值范围为（﹣1，e-1）． 22．解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为
22sin ρρθ=……2分 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，
所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3
y x =--… …6分
令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC =分 所以
1MN MC r +≤ (10)
分
23．解析：(1)∵ a＞0，b＞0 且1
a b
+=∴1
a +4
b
=(a+b)( 1
a
+4
b
)=5+b
a
+4a
b
≥9
，故1
a +4
b
的最小值为9，……5分
(2)因为对M≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜1
2
时，-3x≤9，
∴ -1＜x＜1
2，当 x≥1
2
时，x-2≤9，∴1
2
≤x≤11，∴ -7≤x≤11 … 10分。