天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高三数学

第（3）题
2017～2018学年度第一学期期末六校联考
高三数学（理）试卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再填涂。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目的要求．
（1）若集合{}{}
22,R ,230,R x A y y x B x x x x ==∈=-->∈，那么R A B （）ð=（ ）.
（A ）(]3,0 （B ）[]3,1- （C ）()+∞,3
（D ）()
()0,13,-+∞
（2）已知实数y x ,满足11y x x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤，
≤，≥，则目标函数12--=y x z 的最大值为（ ）.
（A ）3-
（B ）
2
1
（C ）4
（D ）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）.
（A ）64 （B ）73 （C ）512 （D ）585
（4）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“22
12a a <”是
“数列{}n a 为递增数列”的（ ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知双曲线 与抛物线x y 42=共焦点，双曲线与抛物线的一公共
点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则22b e -的值是（ ）. （A
1
（B
）2
e
)0,(122
22>=-b a b y
a x
第（12）题
（C ）
4-
（D ）4
（6）已知函数2()2cos f x x x =-
，则f ,13
(log 2)f ,2(log 3)f 的大小关系是（ ）.
（A ）)2(log 3
1f <)3(log 2f <)2
(2
f
（B ）)2(log 3
1f <)2
(2
f <)3(lo
g 2f
（C ）)3(log 2f <)2(log 3
1f <)2
(2
f
（D ）)2
(2
f <)3(lo
g 2f <)2(log 3
1f
（7）已知O 是ABC △的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且
5102=+y x )0(≠x ，则ABC △的面积为（ ）.
（A ）24
（B
（C ）18
（D ）220
（8）已知函数2
1
1)(--+=
x x x f ，函数1)(2
+-=x ax x g ．若函数)()(x g x f y -=恰
好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）),0(+∞
（B ）),2()0,(+∞-∞
（C ）),1()2
1
,(+∞--∞
（D ）)1,0()0,( -∞
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上． （9）在复平面内，复数
2)21(1i i
i
+++的共轭复数对应的点位于第______象限． （10）直线l 的参数方程为为参数）
，
，
t t y t x (33⎩⎨⎧=-=.以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为03cos 42
=+-θρρ（ρ＞0，02θπ≤<）
，则圆心C 到直线l 的距离为______. （11）已知二项式n
x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数的和与其各项
二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数等于______． （12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r 的半球拼接组成一个
几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该
几何体的表面积为1620π+，则r =______.
（13）在锐角ABC △中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23=，c ＝7，
且ABC △，则b a +=______． （14）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R ∈x ，有2()()f x f x x -+=，且在
(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
已知函数2
1
()cos cos 2
f x x x x =++
. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求当[,]62
x ππ
∈时，函数()f x 的值域；
（Ⅱ）当[,]62x ππ
∈时，若8()5f x =，求()12
f x π
-的值.
（16）（本小题满分13分）
已知盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；
（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为321,,x x x ，
随机变量X 表示321,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望)(X E ．
（17）（本小题满分13分）
如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，
60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ．
（Ⅰ）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面PBC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60°，求
CP
CM
的
值．
（18）（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和1
12(N*)2n n n S a n -⎛⎫
=--+∈ ⎪
⎝⎭
，数列{}n b 满足n n n a b 2=．
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n a n c 2
l o
g =，数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+22n n c c 的前n 项和为n T ，求满足25
(N*)21n
T n <∈的n 的最大值．
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的焦距为2，且与椭圆1222
=+y x 有相同离心率，直线m kx y l +=:与椭圆C 交于不同的B A ,两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足λ=+，（O 为坐标原点），求实数λ取
值范围．
（20）（本小题满分14分）
已知函数)1(ln )(4
4
--=x a x x x f ，R ∈a ． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）()f x 的极小值为()a ϕ,当0a >时，求证：()11414104a a e e a ϕ--⎛⎫-< ⎪⎝⎭
≤．
（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底）
2017～2018学年度第一学期期末六校考试
高三数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
（1）A ．提示：{}{}
13,0-<>=>=x x x B y y A 或
（2）C ．提示： ⎩⎨⎧-==+1
1
y y x 相交于点)1,2(-A
∴41122=-+⨯=y ．
（3）B ．提示： 1,1;2,9;4,7350x S x S x S ======>． （4）B ．必要而不充分条件．
（5）D ．提示：由抛物线的焦点.1),0,1(22=+b a F 得到①
设公共点00000(,),12,1P x y x x ∴+=∴=，代入到抛物线方程得到42
0=y ， 从而
.1412
2=-b a ②
由①②可得到2232a b =-=．
于是11c
a e a
==
，，224e b ∴-=． （6）A ．提示：()2
2cos f x x x =- 是偶函数，()22sin f x x x '=+在)2,0(π上恒大于零，
所以()2
2cos f x x x =-在)2,0(π单调递增.
∵13333
(log 2)(log 2)(log 2),0log 21f f f =-=<<，21log 32<<，22,π<<
∴)2(log 3
1f <)3(log 2f <)2(2f .
（7）D ．提示：取AC 中点D ，因为O 是ABC △的外心，则AC DO ⊥.
50105,=⨯==⋅+⋅=⋅∴+= .
又y x +=，
=⋅∴y x ⋅+)(=x +⋅=60cos 10050x A y +=．
又5102=+y x ，3
22sin ,31cos ,2cos 6=∴=
=∴A A x A x ．
2203
2210621=⨯⨯⨯=
∴S ． （8）D ．提示：由2()(1)0f x ax x --+=，得2()1f x x ax +-=．
2(1),
()121(11),(1).x x f x x x x x x -<-⎧⎪
∴+-=--≤≤⎨⎪>⎩
作函数()1y f x x =+-与函数2y ax =的图象， 当0<a 时，两个函数图象恒有两个公共点； 当0=a 时, 两个函数图象仅有一个公共点； 当0>a 时，
①若01a <<，此时函数2
ax y =图象与函数()1y f x x =+-，有两个公共点； ②若1=a ，此时函数2
ax y =图象与函数12-=x y 相切，函数2
ax y =与函数
()1y f x x =+-的图象仅有一个公共点；
③若1a >时，此时函数2
ax y =与函数()1y f x x =+-的图象无公共点． 所以∈a )1,0()0,( -∞．
二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． （9）三． 提示：i z i z 2
9
25,2925--=+-
=． （10）
2
3
5．提示：圆C 和直线l 的直角坐标方程分别是22430x y x +-+=，
0y -+=，则圆心C 到直线l 的距离2
3
51
33
332=
++=
d ． （11）135．提示：令1x =
，由已知6164:264,6,n n r
r r r n T C -+=∴==，
361,2,13522
r r
r T x -∴-==∴=．
（12）2．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置
时的情形，其表面积ππππ201622
2222S 22
+=+⋅+
⋅+=r r
r r r r ，得到2=r ．
（13）52sin sin ,sin 0sin A C A A C =≠∴．又三角形是
锐角三角形，∴3
C π
=
．1sin 62S ab C ab ==∴=．再由余弦定理
2222cos c a b ab C =+-，有27()126a b =+--，2()25,5a b a b ∴+=+=．
（14）1≤m ．提示：令()22
()(),()().22
x x g x f x g x f x -=--=--
得到0)()(=-+x g x g ，)(x g ∴为奇函数． 又∵在(0,)+∞上()()0g x f x x ''=->，
),0()(+∞∴在x g 单调递增．
而由奇函数性质得到()R g x 在上单调递增.
已知(2)()22f m f m m --≥-，且22
(2)2222
m m m --=-
， 有22
(2)(2)()22
m m f m f m ----
≥，即(2)()0g m g m --≥． ∴m m ≥-2．解得1≤m ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分． （15）本题满分13分．
解：(Ⅰ)2
11cos 21
()cos cos 22222x f x x x x x +=++
=++
sin(2)1
6x π
=++ ，
……………………3分 22
T π
π∴=
=． ……………………4分 又[
,]62
x ππ
∈，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,262πππx ，且()y f x =在[]62ππ
，上单调递减．
又1()2,()622
f f ππ
==
，
所以()f x 的值域为1
[2]2，．
……………………7分 (Ⅱ)由8()5f x =，则3
sin(2)65x π+=． ……………………8分
又7[,],2,62266
x x πππππ∈≤+≤
4
cos(2)65x π∴+=-．……………………9分
又7
()sin 21sin[(2)]1.12665f x x x π
ππ-
=+=+-+=+
……………13分 （16）本题满分13分．
解：(Ⅰ) 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以222
432296315
3618
C C C P C ++++=
==． …………………………4分 （Ⅱ）随机变量X 所有可能的取值为2，3，4，
1261
)4(494
4=
==C C x P ； 6313
)3(4
9
16331534=+==C C C C C x P ； 于是14
11
)4()3(1)2(=
=-=-==x P x P x P ． ………………………10分 所以随机变量X
因此随机变量X 的数学期望
E (X )＝2×1114＋3×1363
＋4×
1126＝20
9
. ………………………………13分 （17）本题满分13分．
（Ⅰ）证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，∴AB PQ ⊥．
∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB
底面ABCD AB =，PQ ⊂侧面PAB ，
∴PQ ⊥底面ABCD ． ……………………3分 （Ⅱ）连接AC ，设A C
B D O =，以O 为原点，分别以,,OB O
C QP 的方向为x 轴、y 轴、z
轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -， 则
)3,2
1
,233(),3,21,23(
),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(--=--PD P D C B O ．
……………………4分
设平面PBC 的法向量(,,)u x y z =
=0,
0,1
022y u BC u BP x y ⎧⎧=⎪⎪
⇒⎨⎨=--+=⎪⎪⎩⎩，则(1,3,1)u =．…………6分 6
sin |cos |5u PD θ=<>=
……………………8分
另解：可求得四棱锥的体积=2V ，三棱锥P BCD -的体积=1，
PBC S =
△，进而可得三棱锥D PBC
-的高h =
．又PD =
sin 5h PD θ
===
． （Ⅲ）设33
(
,)2CM tCP t ==-，(0<t <1)
，
……………………9分 则M )3,123,23(
t t t +-，=BM )3,12
3,323(t t t +--，)0,0,32(=DB ， 设平面MBD 的法向量为),,(z y x =， 由0,0=∴=⋅⇒⊥x ． 由
0n MB n MB ⊥⇒⋅=
， 可取z =6(0,
32t
n t =-．
……………………11分 又平面ABCD 的法向量)1,0
,0(=，
2
1
60cos ,cos =
=><= n
m ． 12=
．解得2
2()5
t t ==舍或 ． 所以，此时
5
2
=CP CM ． ……………………13分 （18）本题满分13分．
解：（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得11112S a a =--+=，即11
2
a =．
当2n ≥时，2111()22n n n S a ---=--+，∴12
1111()22
n n n n n n n a S S a a ----=-=-+-
+（），
1112()2n n n a a --=+．即11221n n n n a a --=+．而n n
n a b 2=， ∴11n n b b -=+．
即当2n ≥时，11n n b b --=．又1121b a ==，
∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列．…………………………4分 于是1(1)1=2n n n b n n a =+-⨯=，∴2n n
n
a =． ……………………………6分 （Ⅱ）∵2
2log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2
n n c c n n n n +==-++ ． ………………8分 ∴11111
1111111
)()()(
)()132435
112212
n T n n n n n n =
+-+-++-+-=+---++++（1- ………………10分
由2521n T <
，得11125121221
n n +--<++，即1113
1242n n +>++， 又∵11()12f n n n =
+++单调递减，且111313
(4),(5)304242
f f =>=， ∴n 的最大值为4． ………………………………13分 （19）本题满分14分．
解：（I ）由已知可⎪⎩⎪
⎨⎧==2222a
c c 解得1,12=∴⎩⎨⎧==b c a ． ………………………3分 （II ）由⎩⎨
⎧=++=2
22
2y x m kx y 得0224)21(2
22=-+++m kmx x k ， )21(8)22)(21(416Δ222222m k m k m k -+=-+-=∴．
由直线直线l 与椭圆C 交于不同的B A ,两点，由2
2
21,0Δm k >+∴>． ① ……………………………6分
设点),y x B
,y x A 2211(),(，则1222
12241222.
12km x x k
m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， 当0=m 时，易知点B A ,关于原点对称，则0=λ； ……………9分 当0≠m 时，易知点B A ,不关于原点对称，则0≠λ．
由OA OB OQ λ+=，得12121(),1(),Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩
． ……………11分 Q 点在椭圆上，∴2])
21(2[2])21(4[2222=+++-k m k km λλ． ……………12分 化简得22222)21()21(4k k m +=+λ．)21(4,0212
222k m k +=∴≠+λ ． ② 由①②两式可得022,42≠<<-∴<λλλ且．
综上可得实数λ的取值范围是22<<-λ． ……………14分
（20）本题满分14分．
解：（Ⅰ）333()4ln 4f x x x x ax '=+-， …………………………………1分 则(1)14f a '=-. 又(1)0f =，
所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(14)(1)y a x =--. …………3分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得3()(4ln 14)f x x x a '=+-.
因为4ln 14y x a =+-为增函数，所以当1x …时， 4ln 144ln11414x a a a +-+-=-…， ①当14a …时，()0f x '…，当且仅当14
a =，且1x =时等号成立. 所以()f x 在[1,)+∞上为增函数.
因此，当1x …时，()(1)0f x f =…. 所以，14
a …满足题意． …………………………………6分 ②当14a >时，由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4
x a =-. 解得14e a x -=. 因为14a >，所以104
a ->，所以104e e 1.a ->= 当1
4(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在1
4(1,e
)a -上为减函数. 所以当1
4(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意．
综上所述，实数a 的取值范围是1(,]4-∞．
……………………………………9分 （Ⅲ）由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-，1
4e a x -=. 当14(0,e
)a x -∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；
当1
4(e ,)a x -∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，
所以()f x 的极小值1
4()(e
)a a f ϕ-=411e 4a a -=-． ………………………………10分 由()a ϕ'=411e 0a --=，得14
a =． 当1(0,)4
a ∈时，()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数； 当1(,)4
a ∈+∞时，()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数， 所以0)4
1
()=<ϕϕa （． …………………………………11分 而114141()(e e )4a a a ϕ----114141411e (e e )44a a a a ---=---1141e 4
a a -=-． 下证：0a >时，1141e 04
a a --…． 1141e 04a a --…⇔1
144e a a -…⇔1ln(4)14a a -…⇔1ln(4)104a a +-…．………………12分 令1()ln(4)14r a a a =+-，则22
1141()44a r a a a a -'=-=. 当1(0,)4
a ∈时，()0r a '<，()r a 为减函数； 当1(,)4
a ∈+∞时，()0r a '>,()r a 为增函数， 所以1()()=04r a r …，即1ln(4)104a a +-…．
所以1141e 04a a --…，即114141()(e e )0.4a a a ϕ----…所以114141()(e e ).4
a a a ϕ---… 综上所述，要证的不等式成立． ……………………………………………14分。