《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)

BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
AC 8
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， 3
CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝__4__．
根据题意得∠BCD＝∠CAB， 所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝BC 6 3 .
பைடு நூலகம்AC 8 4
随堂训练
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若tan
A=
3 4
,BC=9,求AB的长;
(2)若tan
B=
4 3
,AC=16,求AB的长.
解：（1）∵tanA=
BACC=
3 4，
又BC=9,∴AC=12.
由勾股定理可得AB= BC2 AC2 92 122 =15.
∴AB的长为15.
随堂训练
(2)∵tan B=
BACC=
4 3
,AC=16,∴BC=12.
a b
1 2c
3 2 c
33,
tan B=tan 60°= b
a
31 2 c2c
3.
知识讲解
(2)在Rt△ABC中,
∵∠A=45°,
∴a=b.
∴tan A=tan 45°=
a b
1.
这样,就得到 tan 30°=
3
3,
tan 45°=1, tan 60°= 3 .
知识讲解
注意：
1.正切是一个比值,没有单位.
E
5m ┌
D
∵ tanα> tanβ
∴甲梯更陡
随堂训练
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c, 则tan A等于 ( B )
a
A. c
B. a
b
b
b
C.a D. c
解析:根据锐角正切的定义可得tan A=
A的对边 A的邻边
a
= b ,故选B.
随堂训练
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A
2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.
3.tan A是一个整体符号,不能写成tan ·A，tanA不表示
“tan”乘以“A ”. 4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如 tan∠ABC.
5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2.
2.正切的应用
实例:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？
26.1 锐角三角函数
第1课时
学习目标
1 理解正切的意义和与现实生活的联系. （重点） 2 能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算.（难点）
新课导入
情境导入
生活中的梯子
梯子是我们日常生活中常见的物体.
新课导入
你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
新课导入
实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样 判断的？你有几种判断方法？
的正切值 ( A )
A.不变
B.缩小为原来的 1
3
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
解析：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得 的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变， 所以锐角A的正切值也不变．故选A．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，
则tan B的值是( D )
A. 1
3
B．3
C. 2
4
D．2 2
4.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点
上，则∠ABC的正切值是( D )
A．2 B. 2 5 C.
5
1 D.
5
5
2
随堂训练
5.已知Rt△ABC中,∠C=90°,
tan
A=
4 3
,BC=12,则AC等于
9
.
解析:根据正切定义可得tan A=
做∠A的正切,记作tan A,即tan A=
A的对边 A的邻边
=
a.
b
知识讲解
思考：
(1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体?
(tan A表示的是一个整体) (2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化?
(tan A随着∠A的大小变化而变化)
(3)tan A有单位吗? (tan A是一个比值,没有单位)
知识讲解
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值.
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值.
解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,
∴∠B=60°,且
1
a 2 c.
2
∴b
c2 a2 =
c2
c 2
=
3 2c
.
∴tan A=tan 30°=
3.数形结合的方法；构造直角三角形的意识.
4.“一般 → 特殊 → 一般” 数学思想方法.
这就是我们将要 学习的直角三角 边角关系
. 知识讲解
直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值
1.如图，在Rt△ ABC中和Rt△ ABC 中，
C = C =90°. 当 A =A时，
BC AC
与
BC AC
具有怎样的关系?
相等
知识讲解
引导思考: (1)如何证明线段成比例?
(三角形相似)
(2)根据已知,你能证明这两个直角三角形相似吗?
2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值
只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
知识讲解
例2 下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
A
甲 4m
┐ 8m α
C 甲梯
B
乙
13 m
F
β
乙梯
解:甲梯中 tan 4 1 .
82 乙梯中 tan 5 5 .
132 52 12
(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°, ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')
(3)由三角形相似的性质可以得到 吗?
BC AC
与 BACC之间的关系
（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴
BC AC ，即BC =
BC AC
AC
BC . AC
知识讲解
2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为
梯子的铅直高度与其水平距离 的比相同时，梯子就一样陡.
你能设法验证这个结论吗？
比值大的梯子陡.
图③
图④
如图,梯子AB的倾斜程度与tanA有怎样的关系?
B
C
1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，tanA＝
梯子的竖直高度 水平宽度
,
tanA的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
知识讲解
(4)∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎样的关系?
(tanB=
AC BC
b a
,
tanA·tanB=1)
(5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中 的哪些边?
(需要知道这个锐角的对边和邻边)
(6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的 正切值吗? (根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解)