2021年广东省深圳市新中考数学模拟试卷(3)(附答案详解)

2021年广东省深圳市新中考数学模拟试卷（3）
1.(2021·广东省深圳市·模拟题)(−1)2021等于()
A. 1
B. −2021
C. 2021
D. −1
2.(2020·月考试卷)以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是()
A. B. C. D.
3.(2021·广东省深圳市·模拟题)流感病毒的半径大约为0.00000045米，它的直径用科
学记数法表示为()
A. 0.9×10−7
B. 9×10−6
C. 9×10−7
D. 9×10−8
4.(2020·广东省深圳市·模拟题)某市疾控中心在对10名某传染病确诊病人的流行病史
的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14(单位：天)，则下列关于这组潜伏期数据的说法中不正确的是()
A. 众数是5天
B. 中位数是7.5天
C. 平均数是7.9天
D. 标准差是2.5天
5.(2020·江苏省镇江市·模拟题)下列计算正确的是()
A. √5+√2=√7
B. 7m−4m=3
C. a5⋅a3=a8
D. (1
3a3)2=1
9
a9
6.(2021·四川省凉山彝族自治州·模拟题)如图，
DE//BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的
度数为()
A. 20°
B. 35°
C. 55°
D. 70°
7.(2020·广东省·单元测试)不等式组{1−2x<5
x−1<1的解集是()
A. x>2
B. −3<x<2
C. −1<x<2
D. −2<x<2
8.(2020·吉林省·月考试卷)如图，在△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交
MN
BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于1
2
的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D.
则下列说法中不正确的是()
A. BP是∠ABC的平分线
B. AD=BD
C. S△CBD：S△ABD=1：3
BD
D. CD=1
2
9.(2021·广东省深圳市·月考试卷)如图，四边形ABCD内接于圆
O，AD//BC，∠DAB=48°，则∠AOC的度数是()
A. 48°
B. 96°
C. 114°
D. 132°
10.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其
顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：
①abc<0；
②3a+b>0；
③4a−2b+c>0；
④b2=4a(c−n)；
⑤一元二次方程ax2+bx+c=n+1有两个互异实根．
其中正确结论的个数是()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
11.(2021·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)因式分解：4a3−16a=______．
12.(2020·广东省·单元测试)从−2，−1，1，2中任选两个数作为y=kx+b中的k和b，
则该函数图象不经过第三象限的概率是______．
13.(2021·广东省佛山市·单元测试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=
90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC=4，sin∠DBC=2
，
3
那么线段AB的长是______．
14.(2021·四川省·单元测试)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、
(x>0)分别与边AB、边BC相OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=k
x
交于点E、点F，且点E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF.若△BEF的面积为3，则k的值是______．
15.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=
3√3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是______ ．
)−2+|1−√3| 16.(2021·新疆维吾尔自治区·月考试卷)计算(√5−π)0−3tan30°+(1
2
17.(2020·广东省深圳市·模拟题)先化简，再求值：x2−4
x2+4x+4÷(x−2−2x−4
x+2
)，其中x=3．
18.(2020·广东省深圳市·模拟题)某校组织学生开展了“2020新冠疫情”相关的手抄报
竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：
(1)A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如
何预防新型冠状病毒”4个中任选一个；
(2)E类为自拟其它与疫情相关的主题．
评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
(1)本次抽样调查的学生总人数是______，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是______，x=______，y−
z=______；
(3)本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是______类．(填字母)
19.(2021·北京市市辖区·期中考试)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中
点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=12，AB=16，求菱形ADCF的面积．
20.(2020·江苏省泰州市·期末考试)某软件开发公司开发了A、B两种软件，每种软件成
本均为1400元，售价分别为2000元、1800元，这两种软件每天的销售额共为112000元，总利润为28000元．
(1)该店每天销售这两种软件共多少个？
(2)根据市场行情，公司拟对A种软件降价销售，同时提高B种软件价格．此时发
现，A种软件每降50元可多卖1件，B种软件每提高50元就少卖1件．如果这两种软件每天销售总件数不变，那么这两种软件一天的总利润最多是多少？
21.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图，在平面直角坐标系中，A(0,4)，B(3,4)，P为线
段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP=m．
(1)求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．
(2)连结PB，求tan∠BPC的值．
(3)设圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满
足条件的m的值．
22.(2021·广东省深圳市·模拟题)如图1，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A、B两点，
其中点A坐标为(−3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D为抛物线y=−x2+bx+c的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点E在x轴上，且∠ECA=∠CAD，求点E的坐标；
(3)如图2，点P为线段AC上方的抛物线上任一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与AC交于点M．
①求△APC的面积最大时点P的坐标；
②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求HN+√2
CN的最小值．
2
答案和解析
1.【答案】D
【知识点】有理数的乘方
【解析】解：(−1)2021=−1，
故选：D．
根据奇数次幂的意义解答即可．
本题考查了有理数的乘方，注意−1的奇数次幂是−1，−1的偶数次幂是1．
2.【答案】D
【知识点】作图-三视图、由三视图判断几何体、简单几何体的三视图
【解析】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是三角形，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
3.【答案】C
【知识点】科学记数法-绝对值较小的数
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数，一般形式为
a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.00000045×2=9×10−7．
故选：C．
4.【答案】D
【知识点】标准差、算术平均数、中位数、众数
【解析】解：A、∵数据中5出现3次，出现的次数最多，∴众数为5，此选项正确；
B、把这些数据重新排列为5，5，5，7，7，8，8，9，11，14，则中位数为7+8
2
=7.5天，此选项正确；
C、平均数为1
10
(5+5+5+7+7+8+8+9+11+14)=7.9，此选项正确；
D、方差为1
10
×[3×(5−7.9)2+2×(7−7.9)2+2×(8−7.9)2+(9−7.9)2+(11−7.9)2+(14−7.9)2]≠2.5，此选项错误；
故选：D．
根据众数、中位数、平均数以及标准差的定义判断各选项正误即可．
本题主要考查了标准差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
5.【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、二次根式的加减【解析】
【分析】
直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：A、√5和√2不是同类项无法合并，故此选项错误；
B、7m−4m=3m，故此选项错误；
C、a5⋅a3=a8，正确；
D、(1
3a3)2=1
9
a6，故此选项错误；
故选：C．
6.【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】 【分析】
根据平行线的性质可得∠1=∠ABC =70°，再根据角平分线的定义可得答案． 此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【解答】 解：∵DE//BC ， ∴∠1=∠ABC =70°， ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE =1
2∠ABC =35°，
故选：B ．
7.【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的解法 【解析】解：{
1−2x <5 ①
x −1<1 ②
，
解①得：x >−2， 解②得：x <2，
故不等式组{1−2x <5
x −1<1的解集是：−2<x <2．
故选：D ．
分别解一元一次不等式进而得出不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解一元一次不等式是解题关键．
8.【答案】C
【知识点】角平分线的性质、作一个角的平分线 【解析】 【分析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
利用基本作图可对A 选项进行判断；计算出∠ABD =30°=∠A ，则可对B 选项进行判断；利用∠CBD =1
2∠ABC =30°得到BD =2CD ，则可对D 选项进行判断；由于AD =2CD ，
则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．
【解答】
解：
由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°=∠A，
∴AD=BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD=1
∠ABC=30°，
2
∴BD=2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD=2CD，
∴S△ABD=2S△CBD，所以C选项的结论错误．
故选：C．
9.【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质、圆周角定理
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．【解答】
解：∵AD//BC，
∴∠B=180°−∠DAB=132°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=180°−∠B=48°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=96°，
故选：B．
10.【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象与系数的关系、根的判别式
【解析】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
取x=0，得y=c>0，
=1，
又∵对称轴为−b
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，
∴①正确，
3a+b=3a−2a=a<0，
∴②错误，
由抛物线的对称性得：
x=−2时，y=4a−2b+c<0，
∴③错误，
，
由图象得n=4ac−b2
4a
即b2=4a(c−n)，
∴④正确，
∵y=ax2+bx+c的最大值为n，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无解，
∴⑤错误，
正确的为①④，
故选：A．
根据图象得出a，b，c的符号，即可判断①，取对称轴得出a和b的关系即可判断②，取x=2即可判断③，由顶点公式即可判断④，由函数的最大值即可判断⑤．
本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
11.【答案】4a(a+2)(a−2)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】解：原式=4a(a2−4))=4a(a+2)(a−2)，
故答案为：4a(a+2)(a−2)
原式提取4a，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】1
3
【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】解：画树状图得：
共有12种等可能的结果数，其中一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限的结果数
为4，
所以一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限的概率为4
12=1
3
，
故答案为：1
3
．
先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据一次函数图象与系数的关系，当k<0，b>0时，一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，即一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限的结果数为4，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象与系数的关系．
13.【答案】2√5
【知识点】勾股定理、解直角三角形
【解析】
【分析】
在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．
考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．
【解答】
解：在Rt△BDC中，
∵BC=4，sin∠DBC=2
3
，
∴CD=BC×sin∠DBC=4×2
3=8
3
，
∴BD=√BC2−CD2=4√5
3
，∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴AB=BD
sin∠A =4√5
3
×3
2
=2√5，
故答案为：2√5．
14.【答案】12
【知识点】矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、三角形的中位线定理
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为(a,b)，
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E(1
2a,b)，F(a,1
2
b)，
∵E、F在反比例函数的图象上，∴1
2
ab=k，
∵S△BEF=3，
∴1
2×1
2
a⋅1
2
b=3，即1
8
ab=3，
∴ab=24，
∴k=1
2
ab=12
故答案为：12．
设B点的坐标为(a,b)，根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解
析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为3，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．
本题考查反比例函数图象与性质，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
15.【答案】9
2
【知识点】三角形三边关系、含30°角的直角三角形、圆周角定理、三角形的中位线定理、点与圆的位置关系
【解析】解：如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．
∵AC=CT，BC⊥AT，
∴BA=BT，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3√3，
∴∠BAT=60°，AC=BC⋅tan30°=3，
∴AB=2AC=6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT=AB=6，
∵AD=BD=BE，
∴BE=3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC=CT，AF=FE，
ET，
∴CF=1
2
∴CF的最大值为9
．
2
故答案为：9
2
．
如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE.证明CF=1
2
ET，求出ET的最大值即可．
本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】解：原式=1−3×√3
3
+4+√3−1
=1−√3+4+√3−1
=4．
【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：x2−4
x2+4x+4÷(x−2−2x−4
x+2
)
=(x+2)(x−2)
(x+2)2
÷
(x−2)(x+2)−(2x−4)
x+2
=x−2
x+2
⋅
x+2
x2−4−2x+4
=
x−2 x(x−2)
=1
x
，
当x=3时，原式=1
3
．
【知识点】分式的化简求值
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的混合运算可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
18.【答案】120 72°30 5 B
【知识点】扇形统计图、条形统计图
【解析】解：(1)调查的学生总人数：30÷25%=120(人)，120×20%=24(人)，
120−30−36−24−18=12(人)，
如图所示：
(2)“C”对应的扇形圆心角的度数是：360°×20%=72°，
x%=36
120×100%=30%，y%=18
120
×100%=15%，z%=1−30%−15%−25%−
20%=10%，
故x=30，y−z=10−5=5，
故答案为：72°，30，5；
(3)由(2)中所求，可得出：“学生手抄报选题”最为广泛的是B类．
故答案为：B．
(1)利用扇形统计图结合条形统计图，进而得出调查的总人数和C，E两组的人数；
(2)根据(1)中所求总人数，进而结合条形统计图可得答案；
(3)利用(2)中所求得出B类所占比例最多，进而得出答案．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，关键是正确从图中获取信息．
19.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEB AE=DE
，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=CD=1
2
BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：设AF到CD的距离为h，
∵AF//BC ，AF =BD =CD ，∠BAC =90°，
∴S 菱形ADCF =CD ⋅ℎ=12BC ⋅ℎ=S △ABC =12AB ⋅AC =12×12×16=96．
【知识点】菱形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线
【解析】(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF =DB ，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD =CD ，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF 是菱形；
(3)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF 的面积=直角三角形ABC 的面积，即可解答．
本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识．
20.【答案】解：(1)设每天销售A 种软件x 个，B 种软件y 个．
由题意得：{2000x +1800y =112000(2000−1400)x +(1800−1400)y =28000
， 解得：{x =20y =40
，20+40=60． ∴该公司每天销售这两种软件共60个．
(2)设这两种软件一天的总利润为W ，A 种软件每天多销售m 个，则B 种软件每天少销售m 个．
W =(2000−1400−50m)(20+m)+(1800−1400+50m)(40−m)
=−100(m −6)2+31600(0≤m ≤12)．
当m =6时，W 的值最大，且最大值为31600．
∴这两种软件一天的总利润最多为31600元．
【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组、二次函数的应用
【解析】(1)由A 、B 两种软件每天的营业额为112000元，总利润为28000元建立方程组即可；
(2)设出A 种软件多卖出m 个，则B 种软件少卖出m 个，最后建立利润与A 种软件多卖出的个数的函数关系式即可得出结论．
此题主要考查的是二元一次方程组和二次函数的应用，解本题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组或函数关系式，最后计算出价格变化后每天的总利润．
21.【答案】解：(1)∵∠COA =90°，
∴PC是直径，
∴∠PBC=90°，
∵A(0,4)，B(3,4)，
∵AB⊥y轴，
当P与A重合时，∠OPB=90°，∴四边形POCB是矩形；
(2)连接OB，
∴∠BPC=∠BOC，
∵AB=OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∴∠BPC=∠ABO，
∴tan∠BPC=tan∠ABO=OA
AB =4
3
；
(3)∵PC为直径，
∴M为PC的中点，
如图，①当OP//BM时，延长BM交OC于N，
∴BN⊥OC，
∴四边形OABN是矩形，
∴NC=ON=AB=3，BN=OA=4，
在Rt△MNC中，设BM=r，则MN=4−r，由勾股定理得：(4−r)2+32=r2，
解得r=25
8
，
∴MN=4−25
8=7
8
，
∵M、N分别是PC、OC的中点，∴m=OP=2MN=7
4
，
如图，②当OM//PB时，
∴∠PBO=∠BOM，
∵∠PBO=∠PCO，
∴∠BOM=∠PCO=∠COM，
∴△BMO≌△CMO(AAS)，
∴OC=OB=5，
∵AP=4−m，
∴BP2=(4−m)2+32，
∵∠AOB=∠BCP，
∴△AOB∽△BPC，
∴OB
PC =AB
BP
，
∴PC=5
3
BP，
∴25
9
[(4−m)2+32]=m2+52，
解得：m=5
2
或m=10(舍)，
综上所述：m=7
4或m=5
2
．
【知识点】圆的综合
【解析】(1)由∠COA=90°，得PC是直径，从而∠PBC=90°，再证∠OPB=90°即可；
(2)借助同弧所对的圆周角相等，证出BPC=∠ABO，求出tan∠ABO即可；
(3)当四边形POMB中有一组对边平行时，分为①OP//BM时，②OM//PB时，分别画图来求OP的长度．
本题主要考查了圆的性质，矩形的判定与性质，勾股定理列方程，以及相似三角形的判定与性质等知识点，有一定的综合性，属于压轴题．
22.【答案】解：(1)由题意得：{−9−3b+c=0
c=3，解得{b=−2 c=3，
故抛物线的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)①当点E在点A的左侧时，如图1，
由抛物线的表达式知，点D的坐标为(−1,4)，
延长AD交y轴于点H，过点H作HN交AC的延长线于点N，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为y=2(x+3)，
故点H的坐标为(0,6)，
则CH=6−3=3，
由点A、C的坐标知，∠ACO=45°=∠HCN，AC=3√2，
在Rt△CHN中，NH=CN=√2
2CH=3√2
2
，
在Rt△AHN中，tan∠HAN=tan∠DAC=HN
AN =
3√2
2
3√2+3√2
2
=1
3
，
∴tan∠ECA=tan∠CAD=1
3
，
过点E作EK⊥CA交CA的延长线于点K，
在Rt △AEK 中，∠EAK =∠CAO =45°，
故设AK =EK =x ，则AE =√2x ，
在Rt △CEK 中，tan∠ECA =EK CK =x+3√2=13，
解得x =3√22，故AE =√2x =32
， 则点E 的坐标为(−92,0)；
②当点E(E′)的点A 的右侧时，
∵∠ECA =∠CAD ，
则直线CE′//AD ，
则直线CE′的表达式为y =2x +r ，
而直线CE′过点C ，故r =3，
故直线CE′的表达式为y =2x +3，
令y =0，则x =−3
2，
故点E′的坐标为(−32,0)；
综上，点E 的坐标为(−92,0)或(−32,0)；
(3)设点P 的坐标为(x,−x 2−2x +3)，
由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为y =x +3，
则点M(x,x +3)，
则△APC 的面积=12×OA ×PM =12×3×(−x 2−2x +3−x −3)=32(−x 2−3x)， ∵−32<0，故△APC 的面积有最大值， 当x =−32时，点P 的坐标为(−32,154)，则点H(−3
2,0)，
在x 轴上取点G(3,0)，则OG =OC ，连接CG ，
则∠GCO =45°，
过点H 作HR ⊥CG 于点R ，交CO 于点N ，则点N 为所求点，
理由：HN+√2
2
CN=HN+CNsin∠GCO=HN+NR=HR为最小值，∵∠CGO=45°，故△HRG为等腰直角三角形，
则HR=√2
2HG=√2
2
(3+3
2
)=9√2
4
，
即HN+√2
2CN的最小值为9√2
4
．
【知识点】二次函数综合
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①当点E在点A的左侧时，在Rt△CHN中，NH=CN=√2
2CH=3√2
2
，在Rt△AHN
中，tan∠HAN=tan∠DAC=HN
AN =1
3
，即tan∠ECA=tan∠CAD=1
3
，在Rt△CEK中，
tan∠ECA=1
3
，进而求解；②当点E(E′)的点A的右侧时，∠ECA=∠CAD，则直线CE′//AD，则直线CE′的表达式为y=2x+3，进而求解；
(3)过点H作HR⊥CG于点R，交CO于点N，则点N为所求点，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形性质、点的对称性、解直角三角形等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．。