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第一章 光的干涉
1 波长为500nm 的绿光照射在间距为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。

若改用波长700nm 的红光照射此双缝，两个亮条纹之间的距离又为多少？计算这两种光第二级亮条纹位置的距离。

解：本题是杨氏双缝干涉实验， 其光路、装置如图。

由干涉花样亮条纹的分布规律：
λd
r j y 0= （j=0、±1、±2、…）
得亮条纹间距： λd
r y 0
=
∆ (1) 其中：λ=500nm 和700nm 、d=0.022mm 、r 0=180cm 代入公式(1)计算得到:
当λ=500nm 时,两个亮条纹之间的距离:cm y 409.0=∆ 当λ=700nm 时,两个亮条纹之间的距离: cm y 573.0='∆ 第2 级亮条纹的位置:λd
r j
y 0
2= 2=j (2) 当λ=500nm 时: cm y 819.02=
当λ=700nm 时: cm y 146.12
=' 两种光第二级亮条纹位置间的距离: cm y y y 327.022
2=-'=∆
2 在杨氏实验装置中，光源的波长为640nm ，两缝间距为0.4mm ，光屏离双缝的距离为50cm ，试求：（1）光屏上第一亮条纹和中央亮条纹之间距离；（2）若P 点距离中央亮条纹0.1mm ，则两束光P 点的相位差；（3）P 点的光强度与中央亮条纹的强度之比。

解: (1) 由: λd
r j
y 0
= （1）
， 已知：λ=640nm ，d=0.4mm ，r 0 = 50cm ，j=1
代入公式（1）解得，第一亮纹到中央亮纹的距离：y=0.8mm
(2)两束光传播到P 点的光程差为：
12r y d
r r =-=δ
位相差为：0
22r dy λπδλπϕ==∆
代入数据：λ=640nm 、d=0.4mm 、r 0=50cm 、y=0.1mm 得到两束光在P 点的相位差：4/πϕ=∆
（3）在中央亮条纹的位置上，两光的相位差为：0=∆ϕ 光强度为：2204)cos 1(2A A I =∆+=ϕ
P 点的光强度为：2224.3)4/cos 1(2)cos 1(2A A A I p =+=∆+=πϕ 两条纹光强度之比为：2:7.1:0=I I p
3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏双缝的一束光中，光屏上原来第五级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，求插入的玻璃片的厚度。

已知光波长为600nm 。

解：当两束光传播到原来为第五级 亮条纹位置P 点时，两光的光程位差为：
λ
δ512j r r =-= （1）
插入玻璃片后，两光在P 点的光程差：
λδ012])[(j nt t r r =+--= （2）
其中：j 5=5、j 0=0、n=1.5、λ=600nm 、t 为玻璃片厚度，
（1）、（2）两式联立得：λ5)1(j t n =- 解得：t = 6000nm
4 波长为500nm 的单色平行光照射间距为0.2mm 的双缝，通过其中一缝的能量为另一缝能量2倍，在离双缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解：已知：λ=500nm 、d=0.2mm 、r 0 = 50cm
由：λd
r y 0
=
∆ 解得干涉条纹间距为：cm y 125.0=∆
设通过一缝的能量为I 1，另一缝的能量为 2 I 1，则对应通过两缝的光振幅分别为：
11I A = 122I A =
由： 2
2
212
12A A A A V +=
解得条纹可见度：V=0.942
5 波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜相交棱之间的距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得的干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求上镜平面之间的夹角θ。

解：光源S 经两镜成虚象， 两虚光源S 、S 的间距为：
θs i n
2r d = 光源到光屏的距离为：r L r +=0
由条纹间距：λθsin 2r r L y +=
∆，变形得： λθy
r r
L ∆+=2sin
已知：λ=700nm 、r = 20cm 、L=180cm 、Δy=1mm ，
代入上式解得：θ=12＇
6 在图中的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm ，劳埃德镜长为40cm ，置于光源和屏之间的中央。

（1）若光波波长λ=500nm ，问条纹间距是多少？（2）确定屏上可以看到条纹区域的大小？（3）在此区域内有多少条条纹？
解：（1）根据题目给定的条件， 可得到，两光源S 、S ＇的距离： d=4mm
且：光源到光屏的距离：r 0=1.5m 光波波长：λ=500nm
由：λd
r y 0
=
∆，得条纹间距：m m y 175.0=∆
（2）根据反射定律和几何知识，且劳埃德镜在光源和屏中央， 得到ΔSOM ∽ΔP 2P 0M ；ΔSON ∽ΔP 1P 0N 即有：
M P OM P P OS 002= N P ON
P P OS 00
1= 由：光源到光屏的距离：r 0=1.5m 、劳埃德镜长：L=0.4m ，可解得：
OS = 2mm 、OM = 0.55m 、P 0M = 0.95m 、ON = 0.95m 、P 0N = 0.55m 进而解出：P 0P 1 = 3.455mm P 0P 2 = 1.158mm 则看到干涉条纹的区域为:
P 1P 2 = P 0P 2 - P 0P 1 = 3.455mm - 1.158mm = 2.297mm
(3)因干涉区域为：Δl= 2.297mm ，条纹间距为：Δy = 0.175mm 则看到的干涉条纹数为：n =Δl/Δy = 12条 即可看到12条暗条纹或12条亮条纹。

7 试求能产生红光（λ=700nm ）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。

已知肥皂膜的折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：根据题意，该干涉现象为等倾干涉现象，是二级干涉相长， 由相干条件：
2
)12(sin 212212
20λ+=-j i n n d （j=0、1、2……）
已知：n 1=1、n 2=1.33、i 1=300、j =2、λ=700nm 解得薄膜厚度为：d 0 = 710nm
8 透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。

为了使透镜在可见光谱的中心波长（λ=550nm ）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？
解：根据题意，该现象为等倾干涉相消现象，由相干条件：
λj i n d =220cos 2 （j=0、1、2……）
已知： n 2=1.38、i 2=900、j =1、λ=550nm 解得薄膜厚度为：d 0 =
9 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧。

玻璃片长为10cm ，纸厚为0.05mm ，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度上看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源的波长为500nm 。

解:设第j 级亮条纹对应薄膜厚度为：d j ， 第j+1级亮条纹对应薄膜厚度为：d j+1
根据相干条件：1
221220sin 2)21(i n n j d -+=λ
得到两亮条纹对应薄膜厚度差：
1
2
21
22
sin 4i n n d -=
∆λ
从题图中，可得到：
d
L
d x =∆∆ 将数据：L=10cm 、d=0.05mm 、i 1=600
、λ=500nm 、n 1=n 2=1 解得条纹间距：Δx=0.1cm
在玻璃片单位长度上看到的条纹数目:N = 1/Δx = 10条/cm
10 在上题装置中，沿垂直于玻璃片表面的方向看去，看到相邻两条暗条纹间距为1.4mm 。

已知玻璃片长为17.9cm ，纸厚为0.036mm ，求光波的波长。

解：当沿垂直方向看去，有：i 1
= 900 ，则：4
λ
=
∆d
结合：d
L d x =∆∆ 得到：x L d
∆=4λ 将数据：Δx=1.4cm 、L=17.9cm 、d=0.036mm 代入上式 得到光波长：λ=563.1nm
11 波长为400—760nm 的可见光，正射在一块厚度为1.2×10-6m ，折射率为1.5的玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中那些波长的光最强？
解:此题为等倾干涉相长现象, 薄膜（玻璃片）厚度确定，求波长，由相干条件:
λ)2
1
(cos 2220+=j i n d
代入数据：n=1.5、d 0 = 1.2×10-6m 、i 2 = 900
解出波长：nm j 2
/13600
+=
λ j = 0、1、2、3、…… 将干涉级数j = 0、1、2、3、…分别代入，解出在可见光范围内的光波波长； j = 5 时，nm 5.654=λ； j = 6 时，nm 8.553=λ j = 7 时，nm 480=λ； j = 8 时，nm 5.423=λ
12 迈克尔逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：在空气中、正入射时，迈克尔逊干涉仪的相干条件：
λj i n d =220cos 2 12=n 、0290=i
由上式可推出，M 2镜移动的距离Δd 与条纹变化数目N
的关系式： λN d 2
1
=∆
已知：Δd = 0.25mm 、N = 909 计算得到：λ= 550nm
13 迈克尔逊干涉仪平面镜的面积为4×4cm 2,观察到该镜上有20个条纹,当入射光的波长为589nm 时,两镜之间的夹角为多少?
解：由题意，干涉仪的两平面镜M
1、M 2成一定的夹角θ，产生等厚干涉现象，干涉条纹的间距：
Δx = 4/20 = 0.2cm
相邻两亮条纹对应薄膜的厚度，由:
λ)2
1
(cos 2220+=j i n d
其中：n 2=1、i 2=900，可推出：
Δd = λ/2 = 2.945×10-5cm
从图中可得:θ≈sin θ=Δd/Δx ≈ 30.4"
14 调节一台迈克尔逊干涉仪,使其用波长为500nm 的扩展光源照明时,出现同心圆环条纹.若要使圆环中心相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。

解：由：λN d 2
1
=∆ ，已知：λ= 500nm 、N = 1000
计算得到迈克尔逊干涉仪一臂移动的距离：Δd = 0.25mm
(2) 因花样中心是亮的，设其干涉级数为j ，相应第一暗环的干涉级数同时为j ，即有：
第j 级亮环： 02d j λ=
第j 级暗环： 021
2cos ()2d i j λ=- 其中i 2为所求的角半径
从上两式得到：0201
2cos 22
d i d λ=-
因： 22
2c o s
12
i i =- 即得：2i =
15 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm,在它外边第5 个亮环的直径为4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

解:牛顿环亮环半径的表达式为:R j r λ)2/1(+=
设某亮环的干涉级数为j,它外边第五个亮环的级数为j+5, 即有: R j r j λ)2/1(2+= R j r j λ)2/15(25++=+ 两式相减得到:R
r r j j 52
25-=
+λ
代入数据：r j =3/2mm=1.5mm 、 r j+5=4.6/2mm=2.3mm 、 R=1.03m ， 解出光波波长：λ= 590.3nm
16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环的间距为1mm ，求第19级和第20级亮环之间的距离。

解: 根据牛顿环亮环半径的表达式:R j r λ)2/1(+= 得到第j 2=2级亮环与第j 3=3级亮环的间距为:
R R j R j r r λλλ)2/52/7()2/1()2/1(2323-=+-+=-
第j 20=20级亮环与第j 19=19级亮环的间距为:
R R j R j r r λλλ)2/392/41()2/1()2/1(19201920-=+-+=-
两式相比,代入已知数据(r 3-r 2=1mm),得到:
5
739
41231920--=
--r r r r
解出第19级和第20级亮环之间的距离：r 20-r 19=0.039mm
17 牛顿环可由两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气层产生（如图），两平凸透镜凸面的半径分别为R A 、R B ，在波长为600nm 的单色光照射下，观察到第10个暗环的半径r AB =4mm 。

若另有曲率半径为R C 的平凸透镜C ，并且B 、C 组合，A 、C 组合，产生的第10个暗环的半径分别为r BC =5mm 、 r AC =4.5mm ，试计算R A 、R B 、R C 。

解：在图中，用单色光照射时，两束反射光的光程差：2
)(221λ
δ++=h h
其中：
B
R r h 221= A R r h 222=
有暗条纹的相干条件：
2
)12(222λλ+=++j R r R r A B
暗条纹的半径：)(2B
A B A R R R R j r +=λ
对第十个暗纹：j=10，入射光波长：λ=600nm
当A 、B 组合时： 2216)(mm R R R R j r B
A B A AB =+=λ 375.011=+B A R R
当B 、C 组合时： 2225)(mm R R R
R j r C
B C B BC =+=λ
24.011=+C B R R 当A 、C 组合时： 22
25.20)(mm R R R
R j r C
A C A AC =+=λ
296.011=+C A R R 解上述三个方程，得到：R A =6.27m 、R B =4.64m 、R C =12.43m 。

18 菲涅耳双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm ，棱镜到屏的距离为95cm ，棱镜角为α=179032＇，构成棱镜玻璃的折射率n=1.5。

采用单色光照射。

当厚度均匀的肥皂膜横过双棱镜的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对以前有0.8mm 的位移。

若肥皂膜的折射率为1.35，试计算肥皂膜厚度的最小值。

解：在图（1）中，光源S 经双棱镜折射，形成两个虚光源S 1、S 2，设S 1、S 2之间的距离为d ， 近似地有：θ≈（n-1）A
并且有：2A+α=1800
A=14＇=0.004rad
已知缝到棱镜的距离为：L=5cm ，θ≈d/2L 解出：d=2L θ=2L （n-1）A=0.2mm
设肥皂膜的厚度为t ，折射率为n ＇ 肥皂膜没插入前，干涉相长的条件：
λj y r d
=0
插入肥皂膜后，干涉相长的条件：λj t n y
r d =-'+')1(0
两式相减，得肥皂膜的最小厚度：)
1()
(0-'-'=
n r y y d t
代入数据：r 0=（95+5）cm 、y-y ＇=0.8mm 、n ＇=1.35、d= =0.2mm
计算得到肥皂膜的最小厚度：t=4.94×10-7m
19 将焦距为50cm 的会聚透镜中央部分C 切去,余下的A 、B 两部分仍旧
粘起来，C 的宽度为1cm 。

在对称轴线上距透镜25cm 处置一点光源，发出波长为692nm 的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm 处置一光屏，屏面垂直于轴线，试求：（1）干涉条纹的间距是多少；（2）光平上呈现的干涉图样是怎样的？
解：透镜按题意分为A 、B 后，是两个透镜，点光源S 经A 、B 两透镜 后，形成两个象S 1、S 2 ，如图。

图中，O 1O 1＇为A 透镜的主轴，已知：s=-25cm f=50cm
由：
f s s '
=-'1
11 解得象距为：s ＇=-50cm 由： s
s y y '
='=
β 解得象的横向位置为：y ＇= 1cm 也即A 透镜所成的象S 2距透镜25cm ，距系统对称轴0.5cm
同理，B 透镜所成的象S 1距透镜25cm ，距系统对称轴0.5cm 两个相干的虚光源S 1、S 2之间的距离：d = 1cm 光源到观察屏之间的距离：r 0 = 1m
（1）干涉条纹的间距： 由：λd
r y 0
=
∆， 得条纹间距：cm y 31092.6-⨯=∆
（2）因相干光源的形状是两个点光源，所以形成的干涉花样的形状为一族双曲线，见图。

在d 较小、r 0较大的情况下，花样近似地看成是明暗相交的直线条纹。

20 将焦距为5cm 的薄凸透镜L 沿直线方向刨开（见图1-4），分成A 、B 两部分，将A 部分沿轴线右移至25cm 处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。

若将波长为632.8nm 的点光源P 置于主轴上离透镜L B 的距离为10cm 处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在L B 右边10.5cm 处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？
解：（1）透镜按题意分为A 、B 后，是两个透镜，点光源S 经A 、B 两透镜后，形成两个象S 1、S 2 ，如图。

根据透镜成像公式：
f s s '
=-'1
11 解得象距为：s 1＇=35/6cm s 2＇=10cm 在两透镜的公共主轴上形成两个象。

（2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。

由右图，解出亮条纹的半径：
λjl r j 2=
说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。

由上式可解出条纹间距：
j
l r j 2λ
=
∆ 表明亮条纹之间的距离随j 的增大而减小。

21 如图1-5所示,A 为平凸透镜,B 为平板玻璃,C 为金属柱,D 为框加,A 、B 间有孔隙，图中绘出的是接触时的情况，而A 固结在框加的边缘上。

温度变化时，C 发生伸缩，假设A 、B 、D 都不发生伸缩，以波长为632.8nm 的激光垂直照射，试问：（1）在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C 的长度是在增加还是减小？（2）若观察到有10个亮条纹移到中央消失，试问C 的长度变化了多少？
解：（1）在反射光中观察到牛顿环第j 级亮条纹的光程差为：
λλ
j h =-=∆22
条纹半径为：R j r j λ)2
1
(+
=
从上两式可知，干涉级数j 随薄膜厚度的
增加而增加。

当看到条纹移向中央时，表示条纹的半径减小。

此时在干涉场中一个确定点上，干涉级数是增加的，薄膜的厚度也在增加，，就说明金属柱C 的长度是在缩短。

（2）当光程差改变一个半波长时，干涉场中看到条纹变化一次，则有条纹的变化次数N 与薄膜厚度的变化量H ∆有如下关系式：
2
λ
N
H =∆
代入数据：10=N nm 8.632=λ
解出金属柱长度的变化量为：nm H 3164=∆
（本习题解答仅作参考）
第二章 光的衍射
1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k 个波带的半径。

若极点到观察点的距离r 0为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：当用平面光照射圆孔时，第k 个波带的半径，由：
)1
1(
2
R
r R k k
+=
λ
平行光R=∞ 解出为：λ0kr R k =
当：r 0=1m 、λ=450nm 、k=1时，
第一半波带的半径：mm m R 67.01067.010********=⨯=⨯⨯⨯=--
2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P 点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm 。

解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：λ02
/r R k k =，
已知： r 0=4m 、λ=500nm 、
圆孔的半径为：k
kr R k 141.00==
λ （1）当k 为奇数时，P 点的光强为最大值；
当k 为偶数时，P 点的光强为最小值；
（2）若使P 点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，
将： k=1代入：k R k 141.0= 得到小孔直径：m m d 282.01=
3 波长为500nm 的单色点光源离光阑1m ，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm 和1mm 的透光圆环，接受点P 离光阑1m ，求P 点光强度I 与没有光阑时的光强度I 0的比值。

解：已知：r 0=1m 、R=1m 、λ=500nm
半径为R 1=0.5mm 的圆屏所能遮住的半波带数k 1：
1)11(0
211=+=r R R k λ
半径为R 2=1mm 的圆孔能露出的半波带数k 2：
4)11(0
222=+=r R R k λ
也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P 点接受到的光振幅为：
1424322
1
21a a a a a a A ≈+=+-=
光强度为：21a I = 没有光阑时，P 点的光强度：I 0=a 12/4
得到：I ：I 0 = 4 ：1
4 波长为632.8nm 的平行光照射直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？（2）要使P 点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？
解：已知：r 0=1m 、R k =2.76m 、λ=632.8nm 、R=∞
（1）根据：)11(0
2r R R k k +=λ 解出正对圆孔中心的P 接受到的半波带数为：k=3 因P 点接受到奇数个半波带，则P 点应为亮点。

（2）若使P 点变成与（1）相反的情况，则k 要取为偶数，即：k=2或4 当k=4时， m m k R r k 75020
=='
λ
屏幕至少要向前移动：Δr 0 =1m-0.75m=0.25m 当k=2时， m m k R r k 150520
=='
λ
屏幕至少要向后前移动：Δr 0 =1.5m-0.75m=0.5m
5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r 1的不透明圆盘，第二波带是r 1到r 2的透明圆环，第三波带是r 2到r 3的不透明圆环，第四波带是r 3到r 4的透明圆环，第五波带是r 4至无穷大的不透明区域。

已知：r 1：r 2：r 3：r 4=1：2：3：4，用波长500nm 的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m 的轴上，试求：（1）r 1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？
解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算
公式为： 0
2r r k k λ= 已知：r 1：r 2：r 3：r 4=4:3:2:1 第一波带遮住的波带数：0
211r r k λ= 第二波带露出的波带数：o r r r r k λλ2
102222==
第三波带遮住的波带数：02102333r r r r k == 第四波带露出的波带数：0
2
102444r r r r k λλ==
波带片遮住和露出波带数之比：4:3:2:1:::4321=k k k k
若使轴上距波带片1m 的象点最亮，应取：k 1=1、k 2=2、k 3=3、k 4=4，
（1）将r 0=1m 、λ=500nm 、 k=1代入：011r k r λ= 解出： cm r 07.01= （2）从：4:3:2:1:::4321=k k k k
看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光
强度为：02
1242164)(I a a a I ==+= （I 0为光自由传播时的强度。

） （3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、…等位置。

6 波长为λ的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、…、199），另外是100个不透明偶数半波带。

比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I ：I 0。

解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、…、199）共100个半波带
光强度为：21219953110000)...(a a a a a I =++++=
用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，
则光强度为：212200321040000)...(a a a a a I =++++= 两种情况下的光强之比为：4:1:0=I I
7 平面光的波长为480nm ，垂直照射宽度为0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm ，分别计算当缝的两边P 点的位相差为π/2和π/6时，P 点离焦点的距离。

解：缝两边的光传播到P 点的光程差： θδsin d =
相位差：θλ
πϕsin 2d =∆
从图中: sin θ≈tg θ=y/f ＇ 得到：y= f ＇sin θ 已知：λ=480cm 、d=0.4mm 、 f ＇=60cm 当:2/πϕ=∆ ，由上式解得：sin θ1=0.003 P 点到焦点的距离：y 1= f ＇sin θ1=0.018cm 当:6/πϕ=∆ ，由上式解得：sin θ1=0.001
P 点到焦点的距离：y 1= f ＇sin θ1=0.006cm
8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm 的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。

解：单缝衍射图样中，次最大的位置：b
k λθ）（21sin ±=
某一波长的第三级次最大的位置：b
b 1
1327213sin λλθ=
+=）（ 600nm 光波的第二级次最大位置：b
b
222252
12sin λλθ=
+=）（ 因两个次最大的位置重合，有：32sin sin θθ=
解出某光的波长：nm 6.4281=λ
9 波长为546.1nm 的平行光垂直照射在1mm 宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1）第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？
解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为θ
（1）第1最小值的衍射角：b
λθ=sin
其位置：y= f ＇sin θ= f ＇λ/b=0.055cm
（2）第1最大值的衍射角：b
k λθ)21(sin += k=1
其位置：b
f f y λ
θ23sin '
='='=0.082cm （3）第3最大值的衍射角：b
k λθ=sin k=3
其位置：b
f f y λ
θ'
='='3sin =0.164 cm
10 钠光通过宽0.2mm 的狭缝后,投射到与缝相距300cm 的照相底片上,所得的第一最小值与第二最小值之间的距离为0.885cm ，问钠光的波长为多少？若改用X 射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上两最小值之间的距离是多少?
解： 因为单缝衍射，设第一最小值到花样中央的距离为：y 1；第二最小值到中央的距离为：y 2
对第一最小值：
L y b
11sin =
=
λ
θ b L y λ=1 对第二最小值：L y b
222
sin =
=λ
θ b
L y λ
22= 两最小值间的距离：b
L
y y y λ
=-=∆12
已知：Δy=0.885cm 、 L=300cm 、 b=0.2mm ，代入上式， 解得钠光的波长：λ=590nm
当用波长λ=0.1nm 的X 射线时：mm b
L y 13105.1-⨯==∆λ
11 以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。

设缝宽为b ，相邻两缝之间的距离为d ，且d=3b 。

解：因：N=3，相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b ，所以第3、6、9、…级谱线缺级。

以相对光强为纵坐标，sin θ为横坐标，做出衍射图样。

12 一束平行白光垂直照射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光的波长为400nm ，最长红光的波长为760nm 。

解：在光栅衍射中，因θ∝λ/d ，波长大色光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中，红光的衍射角大，紫光的衍射角小。

已知：红光波长λ
1=760nm 、紫光波长λ2=400nm 、d=1/50mm 设第一级（j 1=1）光谱末端的衍射角为θ1，
有：dsin θ1=j 1λ1 解得： sinθ1=j 1λ1/d=760/d θ1≈2.1880 第二级（j 2=2）光谱始末端的衍射角为θ2，
有：dsin θ2=j 2λ2 解得： sinθ2=j 2λ2/d=800/d θ2≈2.2920 衍射角的扎：θ2-θ1=2.2920-2.1880 =0.110≈7＇
13 用可见光（400nm —760nm ）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？
解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sinθ1=j 1λ1/d=760/d 二级谱线始端的衍射角：sinθ2=j 2λ2/d=800/d 因：sinθ2=800/d > sinθ1 =760/d
所以，一级光谱和二级光谱不重叠。

二级谱线末端的衍射角：sinθ3=j 2λ1/d=1520/d 三级谱线始端的衍射角：sinθ4=j 3λ2/d=1200/d 因：sinθ3=1520/d < sinθ4 =1200/d 所以，二级光谱和三级光谱重叠。

14 用波长为589nm 单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大之间的衍
射角为150
10＇，求该光栅1cm 内的缝数是多少？
解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：θ=15010＇ 已知波长：λ=589nm ，由光栅方程：dsin θ=j λ 解得光栅常数：d=0.0045cm
1cm 内的缝数为：N=1/d=222条/cm
15 用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱，试问：（1）光垂直入
射时，最多能观察到几级光谱？（2）光以300
角入射时，最多能观察到几级谱线？
解：已知：光栅常数：d=1/400mm 光波波长：λ=589nm 当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角：θ=900 （1）光垂照射光栅时，由光栅方程：dsin θ=j λ 解得：j ≈4，即最多能观察到4级谱线。

（2）光以θ0= 300角入射时，光栅方程为：d （sin θ±sin θ0）=j λ
将：θ0= 300、θ=900、d=1/400mm 、λ=589nm 代入 d （sin θ+ sin θ0）=j λ 解出最大的衍射级数：j=6
16 白光垂直照射到一个每毫米有200条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为300处会出现那些波长的光？其颜色如何？
解：已知：光栅常数：d=1/200mm 、衍射角：θ=300 由光栅方程：dsin θ=j λ （j=0、1、2、3、…）
得到：λ=dsin θ/j ,代入数据,在可见光的范围内解得: j=3时，λ1=666.7nm,是红色光； j=4时，λ2=500nm, 是黄色光； j=3时，λ3=400nm, 是紫色光；
三种色光的谱线在300方向上重合在一起。

17用波长为624nm 单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029mm ，缝数N 为103条，求：（1）单缝衍射图样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半角宽度为多少？
解：已知：λ=624nm 、b=0.012mm 、a=0.029mm 、N=103条 计算得到光栅常数：d=a+b=0.041mm
（1）单缝衍射图样的中央角宽度：Δθ=2λ/b=5.960
（2）由：dsin θ=j λ和sin θ=λ/b ，解得：j=d/b ≈3.4
因衍射级数应取整数,所以j=3,单缝衍射图样中央宽度内能看到光谱的级数为3级,有n=2j+1=7条谱线。

（3）根据：Δθ=λ/Ndcos θ，在θ不太大时，θ≈0， 解得：谱线的半角宽度：Δθ=1.52×10-5rad
18 波长为600nm 的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在sin θ1=0.2和sin θ2=0.3处，第四级为缺级。

（1）试求光栅常数；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常数和缝宽之后，试列出在光屏上实际呈现的全部谱线级数。

解：（1）设相邻主最大的衍射级数分别为：j 、j+1。

有： dsin θ1=j λ d sin θ2=（j+1）λ 两式相比：1
sin sin 21+=j j θθ 解出：j=2
再代入：dsin θ1=j λ 得到光栅常数：d=6×10-6m=6×10-3mm
（2）因第四级缺级，说明：d ：b = 4：1 所以光栅缝的宽度：b=d/4=1.5×10-3mm
（3）在光屏上呈现的谱线的最大级数为j ，对应的衍射角为900， 由：dsin θ =j λ 解出谱线的最大级数：j=10
因：4、8级谱线缺级，不能被观察到，另外衍射角为900的第十级谱线也不能观察到，所以呈现在光屏上的有：
0、±1、±2、±3、±5、±6、±7、±9级谱线，共15条。

19 NaCl 的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm 3。

（1）试证相邻两分子间的平均距离为：
nm N M
A 2819.023
=ρ
其中N A =6.02×1023/mol 为阿伏加德罗常数。

（2）用X 射线照射晶面时，第二级光谱的最大值
在掠射角为10
的方向上出现，计算该X 射线的波长。

解：在图中所示的晶体结构中，设计晶胞的棱边长为d ，两离子间的平均距离为d/2，每个晶胞含有四个NaCl 分子，那么其密度：
3
4d m V M NaCl ==
ρ NaCl 的质量：N M m NaCl /= 上两式联立解出：34ρN M d =
相邻两离子间的平均距离：
3
022
ρ
N M
d d ==
代入数据：nm d 2819.00=
20 波长为0.00147nm 的平行X 射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm ，问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱？
解：根据布喇格方程：λθj d =sin 2 代入数据：nm d 28.0= nm 00147.0=λ
解出： 14310'=θ
21 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b ，缝间距分别为d 和2d ，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：
解：设单缝衍射传播到观察屏上P 的光振幅为a ，三束衍射光的实际光程差如图为θsin d 和
θsin 2d ，相位差为φ∆和φ∆2，可做出通过三缝光矢量的矢量图，将三矢量分解：
φφ∆+∆+=3cos cos a a a A x φφ∆+∆+=3sin sin 0a a A y
三缝衍射的光强度为： )]3cos 2cos (cos 23[222φφφ∆+∆+∆+=+=a A A I y x
其中： λ
θπλθ
πsin sin sin
b b a a = θλ
πφsin 2d =
∆ 即有：)]6cos 4cos 2(cos 23[sin 20v v v cu I I +++= 式中：λ
θπsin b u =
λθ
πsin d v =
22 一宽度为2cm 的衍射光栅上刻有12000条刻痕，如图所示，以波长λ=500nm 的单色光垂直
投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm 均匀变薄到0.5mm ，试问第一级主最大的方向改变了多少？
解：玻璃片的劈尖角A ： 025.020
5
.01=-≈
tgA 043.1=A 平行光经过劈尖后的偏向角： r a d A n 0125.0)1(0=-=θ 未加劈尖时的光栅方程：λθj d =sin 代入数据解出第一级主最大的传播方向： +1级谱线的衍射角：0146.17=+θ -1级谱线的衍射角：0146.17-=-θ
插入劈尖后，光栅方程为：λθθj d =+')sin (sin 0
+1级谱线的衍射角：0171.16='+
θ
-1级谱线的衍射角：0121.18-=-θ
所以两谱线的方向改变了：54'或54'-
23 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成θ0角，在和法线成110和530角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。

（1）试求入射角；（2）试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧能观察到二级谱线？
解：（1）在图中若入射光与衍射光在法线同侧
有： λθθj d =+)s i n (s i n 0
若在异侧，有： λθθj d =-')s i n (s i n 0 两式相减得到： )sin (sin 2
1
sin 0θθθ-'=
将数据011=θ、053='θ代入，解得：007.17=θ
（2）入射光与衍射光在法线两侧时，有：λθθj d =-)sin (sin 0
对j=1级谱线，
01sin sin θθλ
-=d
对j=2级谱线，其衍射角解出：
)sin (sin 2sin 2
sin sin 01002θθθλ
θθ-+=+=d
129.17.17sin 53sin 200>=-=
说明在法线两侧时，不能看到二级谱线。

入射光与衍射光在法线同侧时，有：λθθj d =+)sin (sin 0
同理解出二级谱线的衍射角：16855.0sin 2<=θ，可观察到二级谱线。

第三章 几何光学的基本原理
1 证明反射定律符合费马原理。

证明：设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A 点射向界面经反射B 点，在分界面上的入射点为任意的C 点；折射率分别为：n 1、n 2。

（1）过A 、B 两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X 轴，过C 点做X 轴的垂线，交X 轴于C ＇点，连接ACC ＇、BCC ＇得到两个直角三角形，其中：AC 、BC 为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A 点经C 点传播到B 点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C ＇点，即证明了入射光线A C ＇和反射光线B C ＇共面，并与分界面垂直。

（2）设A 点的坐标为（x 1，y 1），B 点坐标为（x 2，y 2），C 点坐标为（x ，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A 传播到B 的光程：
))()((2
2222
1211y x x y x x n +-+
+-=∆
若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：
0)()(22
2
2221
2
11=+---
+--=∆
y
x x x x y
x x x x dx
d
从图中得到：21
2
11)(sin y
x x x x +--=
θ 22
2
22)(sin y
x x x x +--=
'θ
也即：sin θ=sin θ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。

2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。

由此导出薄透镜的物象公式。

解：
3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d 为30cm ，求PQ 的象P ＇Q ＇与物体之间的距离d 2。

解：方法一
P ＇Q ＇是经过两个平面折射所形成的象 （1）PQ 经玻璃板前表面折射成象：
设PQ 到前表面的距离为s 1，n=1、n ＇=1.5 由平面折射成象的公式：11s n n s '=
' 得到：112
3s s =' （2）PQ 经玻璃板前表面折射成象：
从图中得到：s 2=s 1+d 、n=1.5、n ＇=1 根据：22s n
n s '
=
' 解出最后形成的象P ＇Q ＇到玻璃板后表面的距离：d s s 3
212+=' 物PQ 到后表面的距离：s=s 1+d。