人教版高中数学选修4-5第三讲第二节一般形式的柯西不等式教案1(2)

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名
☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题
☻知识情景：
1. 柯西主要贡献简介：
柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.
2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，
则 .
当且仅当 时, 等号成立.
变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2
222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；
变式20. 若,,,a b c d R ∈，则2222
22()()a b c d a c b d +++-+- ；
变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥
3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i
a b R ∈(=i 1,2,…,n )，
则： .
当且仅当 时, 等号成立.
(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).
变式10. 设,0(1,2,
,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥
=i i n
i i
i
b a b a 212
)( . 当且仅当 时, 等号成立.
变式20
. 设0(1,2,
,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥
=i
i i n
i i i b a a b a 21)
(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30
. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，
则dx x g dx x f dx x g x f b
a b a b a )()()()(222
⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡，
当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.
如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！
☆ 柯西不等式的应用：
例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值
例2 在实数集内 解方程222
94
862439
x y z x y y ⎧++=
⎪⎨⎪-+-=⎩
例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆
的半径， 证明222
1
2x y z a b c R ++≤++
例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

例5 (证明不等式)设,121+>>>>n n a a a a
求证:01
1111
113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n
选修4-5练习 §3.1.2
柯西不等式(3) 姓名
1、已知12,,,n a a a R +∈，求证：222212121
()n n a a a a a a n
++
+≤++
+
2、已知,,,a b c d 是不全相等的正数，求证：2222a b c d ab bc cd da +++>+++
3、已知222231,
x y z x y z ++=++求的最小值.
4、 设12n ,x ,
x R ,x +∈ 12n x x 1,x ++
+=且 求证：22212
12x 1
1x 111
n n x x x x n ++
+≥
++++
5、已知实数,,,,a b c d e 满足8a b c d e ++++=, 2222216,a b c d e ++++= 求e 的取值范围.
6、已知,,,x y z R +∈ 且1,x y z ++= 求证：149
36x y z
++≥
7、已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
8、解方程组 ⎧⎨⎩42222222
9
6()()486
x y z x w x x y z w w y z ++=+=+++++=
9、若n 是不小于2的正整数，试证：4111
112
17234
2122
n n <-+-+
+
-<
-。

参考答案:
一般形式的柯西不等式：
设n 为大于1的自然数，,i i a b R ∈(=i 1,2,…,n )，则：21
1
2
12)(∑∑∑===≥n
i i i n
i i
n
i i
b a b
a ，
其中等号当且仅当
n
n a b a b a b === 22
11时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。

例1 解：由柯西不等式得，有 ()()2222111236236b c d b c d ⎛⎫
++++≥++ ⎪⎝⎭
即()2
222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得， ()2
2
53a a -≥-
解得，12a ≤≤当且仅当
236121316
b c d == 时等号成立， 代入11
1,,36
b c d ==
=时， m a x 2a =
21
1,,33
b c d ==
=时 min 1a = 例2解：由柯西不等式，得
(
)()()()22
2
2222
86248
624
x y z x y
y ⎡⎤++-++-≥-+-⎣
⎦
①
(
)()
()2
2
222
28624x y z
⎡⎤++-++-⎣⎦()29643641443
94
=⨯++⨯= 又()22862439x y y -+-=. (
)()()()2222222
86248624x y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣
⎦
即不等式①中只有等号成立.
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
8624x y z ==-- 它与862439x y y -+-=联立，可得613x =- 926y = 18
13
z =-
例3证明：由柯西不等式得，
111
x y z ax
by cz
a b c ++=++111
ax by cz a b c
≤++++ 记S 为ABC 的面积，则
22
42abc abc
ax by cz S R R
++=== 1
22abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R
++++≤
=++22212a b c R ≤
++ 故不等式成立。

例4 证明：由柯西不等式，得()[]()[]
11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a
当且仅当a b a
b
2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -∙-=∴ ()()
,112222b a b a --=
于是 12
2
=+b a 。

例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：
(),11
1113221
11>⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
-++-+-∙-++n n n a a a a a a a a
证明：为了运用柯西不等式，我们将11+-n a a 写成
()()()1322111++-++-+-=-n n n a a a a a a a a 于是
()()()[].
11
1121322113221>≥⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-++-+-∙-++-+-++n a a a a a a a a a a a a n n n n 即
(),111111
111
1132211322111++++->-++-+-∴>⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-++-+-∙-n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 故
.01
1111
113221>-+-++-+-++a a a a a a a a n n n
我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习 1．证：22222221212(111)()(111)n n a a a a a a ++
++++≥⋅+⋅+
+⋅
∴ 22221212()()n n n a a a a a a ++
+≥++
+
∴
2222
12121()n n a a a a a a n
+++≤+++ 2、
22222222
22222222222:()() ()
,,,,()() a a c d b c d a ab bc cd da a b c d
a b c d b c d a
a b c d ab bc cd da b c d ab bc cd da
++++++≥+++∴===∴+++>++++++>+++证明是不全相等的正数不成立即 3．2222222222222
:()(123)(23)1
1
14113,,12314714
114
x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++≥++=∴++≥
=====++解当且仅当即时取最小值
4、222
12
12
22
12
1212
2n 1212n 12
22n 12:(1)()111 (1x 11)(11x )(111x 11 1x )()1
1n n
n n
n n
x x x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +⋅++
++++=++++++⋅++
+++≥+⋅++⋅
++++++⋅=+++=+证明
5．2222
2
22
222222
2: 4(a ) (1111)() (a b c d)4(16)(8),644641616
5160,05
b c d a b c d e e e e e
e e e +++=++++++≥+++-≥--≥-+∴-≥≤≤
解即即故
6． 2
222:149149()()12
3()36
111
11,,
,,496
32
.
x y z x y z x y
z
x y z x y
z x y z x y z ++=++++≥⋅+⋅
+⋅======证法一用柯西不等式
当且仅当即时等号成立 :149149()()()494914()()()
14461236
111
2,3,,,,
632x y z x y z x y z x y z x y z
y x z x z y
x y x z y z
y x z x x y z ++=++++++++=++++++≥+++======证法二代入法
当且仅当即时等号成立 7．证明：利用柯西不等式
()
2
313131
2
2
22222222
a
b c
a a
b b
c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
[]222333222a b c a b c ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()()2
333a b c a b c =++++
()1a b c ++=
又因为 222
a b c a b b c c a ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++
得：()()
2223a b c a b c ++≤++
()()()2
2223332223a b c a b c a b c ++≤++∙++
故222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
8. 解：原方程组可化为
486
))((6
922222=+++=+=++w x z y x w x z y x
运用柯西不等式得2739)(22
2
2
=≥++z y x , 182
622
2=≥+w x
两式相乘，得()()
48622222≥+∙++w x z y x 当且仅当x=y=z=w=3时取等号。

故原方程组的解为x=y=z=w=3.
9、证明：证明：111
11111
1111
1(1)2()234
212234
224
2n n n n
-+-+
+
-=+++++
-+++
- 11
112
2n n n
=+++
++ 所以求证式等价于
41112
712
22
n n n <+++
<
++ 由柯西不等式有211
1
(
)[(1)(2)2]122n n n n n n n
+++
+++++>++
于是：
2111241122(1)(2)27
3n n n n n n n
n
+++>
=
≥
++++++
++ 又由柯西不等式有
22222
2
111
11
1(111)(
12
2(1)(2)(2)n n n
n n n +++
<+++++
+
++++
11
1112
[
()(1)(1)(2)
(21)222
n n n n n n n n n n <++
+
=-=
+++-。