自学初中数学资料 不等式(组)及其应用 (资料附答案)

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第1页 共20页 自学七招之日计划护体神功:每日计划安排好,自学规划效率高 非学科培训
自学资料
一、不等式及其基本性质
【知识探索】
1.一般地,用不等号“>”、“<”、“”或“”表示的关系式,叫做不等式.
【说明】
(1)用不等号“”表示的关系式也是不等式;
(2)五种不等号的读法及其意义:
【错题精练】
例1.若关于x 的不等式组{x −a >0x >3
的解集为x >a ,则字母a 的取值范围是( )
第2页 共20页 自学七招之以背代诵掌:高效记忆有妙招,以背代诵效果好 非学科培训 A. a >3 B. a=3 C. a≤3 D. a≥3
【解答】解:不等式组{x −a >0x >3
解得:{x >a x >3
∵解集为x >a ,
∴a≥3,
故选:D .
【答案】D
例2.若关于x 的不等式组{x <2
x >m x ≥−1
有解,则m 的取值范围是( )
A. m <2
B. m≤2
C. m <-1
D. -1≤m <2
【解答】解:若关于x 的不等式组{x <2
x >m x ≥−1
有解,
m <2,
故选:A .
【答案】A
例3.如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P (-1,2),则关于x 的不等式x+m <kx-1的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B. C. D.
【解答】解:根据图象得,当x <-1时,x+m <kx-1.
故选:D .
【答案】D
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设a>0,则b>0,解得x>1
a ,x<1
b

∴原不等式组有解,不符合题意,故D错误;故选:D.
【答案】D
例6.把不等式组{x>−1
x+2≤3
的解集表示在数轴上,下列选项正确的是()A. B. C. D.
【解答】解:由第一个不等式得:x>-1;
由x+2≤3得:x≤1.
∴不等式组的解集为-1<x≤1.
故选:B.
【答案】B
例7.解不等式或不等式组
(1)解不等式x+3
5≤2x−5
3
-1,并在数轴上表示解集.
(2)解不等式组{1
2
(x+4)<2
x+2
2
>x+3
3

【答案】解:(1)去分母,得3(x+3)<5(2x-5)-15,整理,得-7x≤-49
∴x≥7.
(2){1
2
(x+4)<2①
x+2
2
>x+3
3

解不等式①,得x<0;解不等式②,得x>0;∴不等式组无解.
例8.若关于x的不等式组{
x
2
+x+1
3
>0
3x+2a>4(x+1)−4
恰有三个整数解,试求实数a的取值范围.
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【答案】a≤6
5.若不等式组{x <a x >b
无解,则a 、b 的大小关系是______.
【解答】解:∵不等式组{x <a x >b
无解, ∴a≤b ,
a 、
b 的大小关系是a≤b .
故填:a≤b .
【答案】a≤b
6.若不等式组{2x −a <1x −2b >3
的解集为-1<x <1,那么(a-3)(b+3)的值等于______.
【解答】解:解不等式组{2x −a <1x −2b >3
的解集为2b+3<x <a+12, 因为不等式组的解集为-1<x <1,所以2b+3=-1,
a+12
=1, 解得a=1,b=-2代入(a-3)(b+3)=-2×1=-2.
故答案为:-2.
【答案】-2
7.解不等式组:{2(x +1)<3x +4
4x
3−3x−1
4≤2.,并把解集在数轴上表示出来.
【答案】
解:由2(x+1)<3x+4, 得-x <2.
解得x >-2.
由4x 3−3x−1
4≤2,
得7x≤21.
解得:x≤3.
在数轴上可表示为:
所以,原不等式组的解集为-2<x≤3.在数轴上画出不等式组的解集正确.
8.关于x的不等式组{x−m<0
x+3≥1
有且只有3个整数解,则m的取值范围是______.
【解答】解:{x−m<0①x+3≥1②
∵解不等式①得:x<m,解不等式②得:x≥-2,
又∵关于x的不等式组{x−m<0
x+3≥1
有且只有3个整数解,
∴0<m≤1,
故答案为:0<m≤1.
【答案】0<m≤1
二、一元一次不等式(组)
【知识探索】
1.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)化为(或)的形式(其中);
(5)两边同时除以未知数的系数,得到不等式的解集.
【错题精练】
例1.把一些书分给几名同学,若______;若每人分11本,则有剩余.依题意,设有x名同学,可列不等式7(x+8)>11x,则横线的信息可以是()
A. 每人分7本,则剩余8本
B. 每人分7本,则可多分8个人
C. 每人分8本,则剩余7本
D. 其中一个人分7本,则其他同学每人可分8本
【解答】解:由不等式7(x+8)>11x,可得:把一些书分给几名同学,若每人分7本,则可多分8个人;若每人分11本,则有剩余;
故选:B.
【答案】B
例2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,已知每本笔记本3元,每支钢笔5元,求小明最多能买几支钢笔.设小明买了x支钢笔,依题意可列不等式为()
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【解答】
【答案】(1)超市甲种糖果每千克需10元,乙种糖果每千克需14元;
(2)该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克.
例5.某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产、两种型号的冰箱100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于 4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如下表:
型号A型B型
成本(元/台)22002600
售价(元/台)28003000
(1)冰箱厂有哪几种生产方案?
(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少?“家电下乡”后农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴,那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?
(3)若按(2)中的方案生产,冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品:体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学.其中体育器材至多买4套,体育器材每套6000元,实验设备每套3000元,办公用品每套1800元,把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下,请你直接写出实验设备的买法共有多少种.
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【解答】
【答案】(1)
【答案】
方案一 方案二 方案三 A 型/台 38 39 40 B 型/台 62 61 60
(2)37960元 (3)10种
例6.对于三个数a ,b ,c ,用M{a ,b ,c}表示这三个数的平均数,用min{a ,b ,c}表示这三个数中最小的数.例如:M{-1,0,2}=
−1+0+23=13;min{-1,0,2}=-1;min{-1,0,a}={a (a ≤−1)
−1(a >−1)
.如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},则x 的值是______.
【解答】解:∵M{a ,b ,c}表示这三个数的平均数, ∴
2+x+1+2x
3
=x +1,
∵min{a ,b ,c}表示这三个数中最小的数,且M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},
∴{x +1≤2x x +1≤2,
即{x ≥1x ≤1, ∴x=1.
故答案为:1.
【答案】1
【举一反三】
1.某学校计划租用6辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节,感受冰雕艺术的魅力.现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如下表.设租用甲种客车辆,租车总费用为元.
甲种客车 乙种客车
载客量(人/辆)
45 30 租金(元/辆)
280 200
(1)求出(元)与(辆)之间的函数关系式,指出自变量的取值范围;
(2)若该校共有240名师生前往参加,领队老师从学校预支租车费用1650元,试问预支的租车费用是否可以结余?若有结余,最多可结余多少元?
【解答】
【答案】130
2.已知一件文化衫价格为18元,一个书包的价格是一件文化衫的2倍还少6元. (1)求一个书包的价格是多少元?
(2)某公司出资1800元,拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生,剩余经
费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫?
【解答】
【答案】30
]=4的x的3.对于x,符号[x]表示不大于x的最大整数.如:[3.14]=3,[-7.59]=-8,则满足关系式[3x+7
7
整数值有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
]=4,
【解答】解:∵[3x+7
7
<5,
∴4≤3x+7
7
解得:7≤x<28

3
整数有7,8,9,共3个,
故选:C.
【答案】C
4.阅读下列材料,解决材料后的问题:
,例如17与材料一:对于实数x、y,我们将x与y的“友好数”用f(x,y)表示,定义为:f(x)=x
y+2
=
−5
2
m 2−32m+2

=5
−2m 2+3m−4, 设y=-2m 2+3m-4, 则y=-2(m-34)2-23
8, ∵-2<0,
∴当m=3
4时,y 有最大值是-23
8,此时f (x ,m 2-3
2m )有最小值,最小值是5
−238
=-40
23,
此时最小值为-40
23.
5.对于实数x ,我们规定[x]表示不大于x 的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若[1-x−12
]=5,则
x 的取值范围是( ) A. -7<x≤-5 B. -7≤x <-5
C. -9≤x <-7
D. -9<x≤-7
【解答】解:∵[1-x−1
2
]=5, ∴5≤1-x−1
2
<6, 解得:-9<x≤-7,
故选:D .
【答案】D
6.对于三个互不相同的数a 、b 、c ,我们用max{a 、b 、c}表示三个数中的最大数,如:max{-1,0,2}=2.若max{0,x-1,2}=x-1,则x 的取值范围为______.
【解答】解∵max{0,x-1,2}=x-1, ∴x-1是这三个数中最大的数, ∴x-1>2>0, ∴x-1>2,
解不等式得:x >3, 故答案为:x >3.
【答案】x >3
1.若(m-3)x <3-m 的解集为x >-1,则m______.
【解答】解:由(m-3)x <3-m 的解集为x >-1,得 m-3<0, 解得m <3, 故答案为:<3.
【答案】<3
2.解不等式组:{
3x +2>2(x −1),①
4x −2≤3x −2②
并把解集在数轴上表示出来.
【答案】解:解不等式①,得:x >-4, 解不等式②,得:x≤0,
则不等式组的解集为-4<x≤0, 将解集表示在数轴上如下:
3.若不等式组{−2x +a ≤0
x −b ≤0
的解集为-1≤x≤2,
(1)求a 、b 的值
(2)解不等式ax+b <0,并把它的解集在下面的数轴上表示出来.
【答案】解:(1){
−2x +a ≤0①
x −b ≤0②
∵解不等式①得:x≥a
2, 解不等式②得:x≤b , ∴不等式组的解集为a
2≤x≤b ,
∵不等式组{−2x +a ≤0
x −b ≤0的解集为-1≤x≤2,
∴a
2=-1,b=2,
即a=-2,b=2;
(2)代入得:-2x+2<0, -2x <-2, x >1,
在数轴上表示为:

4.解下列不等式组,并在数轴上表示解集. (1){2x +3>5
3x −2≤4
(2){2x +3≤3(x +2)3x −1>2x
(3){
2x −1>11
3x+12
−1≤x
(4){x −3(x −2)≥4
2x−15

x+12

【答案】解:(1){2x +3>5①
3x −2≤4②
,由①得,x >1;由②得,x≤2,
故此不等式组的解集为:1<x≤2, 在数轴上表示为: ;
(2){2x +3≤3(x +2)①
3x −1>2x②
,由①得,x≥-3;由②得,x >1,
故此不等式组的解集为:x >1, 在数轴上表示为: ;
(3){
2x −1>11①
3x+12
−1≤x②
,由①得,x >6;由②得,x≤1,
故此不等式组的解集为空集, 在数轴上表示为: ;
(4){
x −3(x −2)≥4①
2x−15

x+12

,由①得,x≤1;由②得,x <-7,
故此不等式组的解集为:x <-7, 在数轴上表示为: .
5.试确定使不等式组{
x
2+
x+13>0
x +
5a+43
>43
(x +1)+a
恰有两个整数解的实数a 的取值范围.
【答案】解:由①得x >-2
5, 由②得x <2a ,
原不等式组的解集为-2
5<x <2a .
又∵原不等式组恰有2个整数解,即x=0,1; 则2a 的值在1(不含1)到2(含2)之间, ∴1<2a≤2, ∴0.5<a≤1.
6.某校计划购买一批篮球和足球,已知购买2个篮球和1个足球共需320元,购买3个篮球和2个足球共需540元.
(1)求每个篮球和每个足球的售价;
(2)如果学校计划购买这两种共50个,总费用不超过5500元,那么最多可购买多少个足球?
【解答】
【答案】(1)每个篮球售价100元,每个足球售价120元
(2)学校最多可购买25个足球
7.某超市销售甲、乙两种糖果,购买3千克甲种糖果和1千克乙种糖果共需44元,购买1千克甲种糖果和2千克乙种糖果共需38元.
(1)求甲、乙两种糖果的价格;
(2)若购买甲、乙两种糖果共20千克,且总价不超过240元,问甲种糖果最少购买多少千克?
【解答】
【答案】(1)超市甲种糖果每千克需10元,乙种糖果每千克需14元
(2)该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10千克.
8.某次知识竞赛共有30道选择题,答对一题得10分,若答错或不答一道题,则扣3分,要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题?若设答对x题,可得式子为()
A. 10x-3(30-x)>70
B. 10x-3(30-x)≤70
C. 10x-3x≥70
D. 10x-3(30-x)≥70
【解答】解:设答对x题,答错或不答(30-x),
则10x-3(30-x)≥70.
故选:D.
【答案】D
9.现在有住宿生若干名,分住若干间宿舍,若每间住4人,则还有19人无宿舍住;若每间住6人,则有一间宿舍不空也不满.若设宿舍间数为x,则可以列得不等式组为______.
【解答】解:∵若每间住4人,则还有19人无宿舍住,
∴学生总人数为(4x+19)人, ∵一间宿舍不空也不满,
∴学生总人数-(x-1)间宿舍的人数在1和5之间, ∴列的不等式组为:{(4x +19)−6(x −1)≥1
(4x +19)−6(x −1)≤5

故答案为:{
(4x +19)−6(x −1)≥1
(4x +19)−6(x −1)≤5

【答案】{
(4x +19)−6(x −1)≥1
(4x +19)−6(x −1)≤5
10.若关于x 的不等式组{4−3x ≥0
x ≥m 有2个整数解,则m 的取值范围是( )
A. m >-1
B. m≥0
C. -1<m≤0
D. -1≤m≤0
【解答】解:不等式4-3x≥0,得:x ≤4
3, ∵不等式组有2个整数解, ∴不等式组的整数解为1、0, 则-1<m≤0, 故选:C .
【答案】C。

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