电容+电场能量

R
内球、外球壳
又
UO
Q'

RA
RB
q 1 1 q dr ( ) 2 4 0 r 4 0 R B R AB
R 3 Q Q d 4
3 球壳 A 总电量为 Q ' q Q q 4
( 2 ) 电荷只分布于球壳外表 面，设电量为 Q ' '。
RA 3 Q' ' Q Q Q 0 Q' ' UO d 4 4 0 R A 4 0 d
三、电场的能量 分析平板电容器的能量 ：
W 1 1 1 S 2 2 1 2 C( U A U B ) 2 C( Ed ) 2 E d E V 2 2 2 2 d
电场能量密度
1 W 1 2 1 we E DE D E 2 V 2 2
上式对任意电场（不仅 仅电容器内的静电场） 都成立。
r
式中 U 2为 q 2所在处的 (q 1产生的电场的 )电势。 我们也可先将 q 2固定，然后外力使 q 1从 远处匀速移过来， r q 1q 2 q2 A q1 dr q1U 1 ( q 2 U 2 ) 2 4 0r 4 0r
根据功能原理（外力作 的功等于系统能量的增 量），设相距 为 r时的静电能为 W，则
0 r q 0 r S 类似可得： q q C 0 2 l U d d 0 圆柱形电容器 ， C d R 0 r ln B
S C d
RA 球形电容器 C 4 R B R A 。 RB RA
例10 两共轴导体圆筒组成的 电容器，内、外筒半径 分别为 R 1和 R 2 （ R 2 2R 1）。充有两种电介质， 2 (1 / 2) 1，分界面处半径为 R。 若两介质的强度（击穿 场强）都是 E M，问：（1）当电压升高时， 哪层介质先击穿？（ 2）这个电容器能耐多高 电压？
习题 10.5
R A 2 R B， R 3R B， d 4 R B。内球带 电量 q ，外球接地。设球壳离 地很远， （1） A 的总带电量是多少？（ 2）若用导 线连接 A 、 B ， A 的带电量又是多少？
A B
q
Q
d
RB RA
O
(1) 球壳内表面带电 q ， 解： 设外表面带电 Q '。 UO q q Q' Q 4 0 R B 4 0 R A 4 0 R 4 0 d
习题 10.13 设半径都是 r的两条“无限长”输电 线 A和 B，两轴相距为 d，
且 d r，求两输电线单位长度 的电容。 解：设 A、 B单位长度分别带电 和 ，
A B
EP 2 0 x 2 1 ( )dx 2 0 x d x
d dr ln ln 0 r 0 r
0 C d U AB ln r
作业：10.23， 10.25， 10.26， 10.28
例9 一平板电容器，没有填 充介质时电容为 C 0，填满相对介电常 数为 r的介质后电容变为多少 ？ 解：设电容器正负极板 分别带 电 q和 q。
取如图所示的高斯面， 根据高斯定理 , 0 D 0 D S 0 S ， D 0 E 0 r 0 U Ed d 0 r
二、电容器的能量 电容器充电过程可视为 把微小正电量 dq 不断从负极 B移到正 极 A的过程，外力作功为
q dA ( U A U B )dq dq C Q Q q Q2 dq A dA 0 0 C 2C
所以，电容器的静电能 可以表示为
1 Q2 1 1 W Q( U A U B ) C( U A U B ) 2 2 C 2 2
设想这两个点电荷是从 相距无穷远处 (静电能为0)被匀速移到 相距为 r的位置的，外力作功为 r A F dr

为了计算 A，我们设想先将 q 1固定在某处，然后外力 使 q 2从
远处移过来，
q1 q 1q 2 dr A q2 q 2U 2 2 4 0r 4 0r
R2 max max dr dr R 1 2 r R 2 r 1 2 R
2 RE M [
1
2
ln R 2
1
1
ln R 1 (
1
1

1
2
) ln R ]
§10.6 静电场的能量 一、点电荷系统的静电 能 先看最简单的情况，有 两个点电荷，相距 r ，这个系统的静 电能是多少？
习题 10.29
解： 两个电容器并联。
C1 (上半球－ 远 ) 2 0 R， C 2 (下半球－ 远 ) 2 0 r R q 1 C1 1 1 q 2 C2 r 3 q 1 q 2 2 10 6 C
7 q 5 10 C 1 6 q 1 . 5 10 C 2
P 0 eE
ˆ ' P n
根据（极化强度和）极 化电荷分布计算其产生 的 电场，叠加到原先的电 场上，便可求出空间的 实际电 场分布。很多具体情况 是比较复杂的，特殊情 况下可 以用电介质中的高斯定 理方便地求出。
D dS q 0 D εE（各向同性电介质）
1 2 W E dV V 2
例11 金属球半径为 R，带电量为 Q，这个电荷系统的静电 能是多 少？
R 1 Q 1 1 Q 解法一： W UdS U dS 2 4 0 R 2 S 2 S Q2 8 0 R Q2 1 解法二：直接用电容器 静电能公式， W QU 2 8 0 R Q 解法三： E 4 0r 2
解： (1) 设内外筒单位长度分别 带电 和 。
根据高斯定理 (参考 p 28，图 9.13 )， D 2 rl l ， D ，E 2 r 2 r 2 r , R 1 r R 1 E , RrR 2 2 r 2
W0 A
W q 1q 2 1 q 1 U 1 q 2 U 2 (q 1 U 1 q 2 U 2 ) 4 0r 2
对于 n个点电荷，系统的相互 作用能
1 W qiUi 2 i
式中 U i为除 q i 外，其它所有电荷在 q i处产生的电势。
对于连续分布的电荷，
W 1 UdV 2 V W 1 UdS 2 S
每种介质中在内径处场 强最大，
E1max
， E 2 max 2 1 R 1 2 2 R
E1max R R 2 1 E 2 max 1 R 1 2R 1 故外层介质先击穿。 ( 2 ) 开始击穿时， max E M max 2 2 RE M 2 2 R U max
2 1 1 Q w e DE 0 E 2 2 2 32 2 0r 4 2 Q 1 W w e 4r 2dr QU （ U为球体的电势） R 8 0 R 2

1 请注意区分带电金属球 的 静电 能公式 " W QU" 与点电荷 2 在电场中的电势能公式 " W QU" 。