(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．若正数x ，y 满足2
1y x
+=，则2x y +的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b a b
+--的最小值是（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
3．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12
a b
+的最小值为（ ） A ．15
B
．8+C ．16
D
．8+4．设实数x ，y 满足约束条件21,
22,
x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．1
D ．-1
5．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14
a b
+的最小值为（ ） A ．9
B ．9-
C ．
92
D ．92-
6．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2
212m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取
值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<
D ．42m -<<
7．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ） A ．15人
B ．16人
C ．17人
D ．18人
8．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则z x y =+的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．10
9．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤
D ．c 9>
10．下列函数中，最小值为4的是（ ）
A ．4y x x
=+
B ．()4
sin 0πsin y x x x
=+
<< C ．e 4e x x y -=+
D
．y =
11．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．0
B ．4
C ．8
D ．12
12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64
B ．-36
C ．36
D ．64
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.
14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则z x y =+的最大值为______.
15．已知0,0a b >>，且
3
3
+
122
a b =++，则2+a b 的最小值为______________.
16．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，若z 的最大值为
11，则k 的值为______.
17．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则
3211
x y
x y +--的最小值为______． 18．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z x y =+的最小值为__________．
19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面
，则ab 的最小值为_______． 20．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的3倍．若存在正实
数x ，y 使得
12(2)(1)AC AB AD x y
=-+-成立，则x y +的最小值为___________． 三、解答题
21．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？
22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A C b c
B a c
--=+.
（1）求角A ；
（2）若ABC 的外接圆半径为2，求ABC 周长的最大值. 23．已知函数()()2
1
,4
f x ax bx a b R =++
∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+
-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 24．已知定义在R 上的函数()()2
232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值； （2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围.
25．已知函数2
(4)()x f x x +=
(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞
503
； （2）求函数f （x ）的最小值．
26．已知函数2()2,,f x x ax x R a R =-∈∈． （1）当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围；
（2）解关于x 的不等式2
()3f x a <．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由
21y x +=，对2x y +乘以2
1y x
+=，构造均值不等式求最值 .
【详解】
22242248x y x xy y x y xy ⎛
⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4
21
xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即
4
12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭.
故选：D 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．
2．C
解析：C 【分析】 化简得出441
511a b a b b a +=+---，将代数式14a b
+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得
411a b a b +--的最小值. 【详解】
已知正数a 、b 满足1a b +=，则
()414141511b a b
a a
b b a b a
--+=+=+---(
)41454a b a b b a b a ⎛⎫
=++-=+≥= ⎪⎝⎭
， 当且仅当2b a =时，等号成立，
因此，
411a b
a b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．D
解析：D 【分析】
妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】
正实数a ，b 满足231a b +=， 则
()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当
34b a b a =，即3133
,46
a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：
利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；
（2）和定，利用()2
4
x y xy +≤
，求积的最大值；
（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.
4．C
解析：C 【分析】
先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】
作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩
所表示的平面区域如图所示：
移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，
解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1
x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，
代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.
5．C
解析：C 【分析】
由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式
()1
2
a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14
a b +的最小值. 【详解】
由于代数式
14
a b
+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根， 由韦达定理可得2
2
a b ab c +=⎧⎨
=>⎩，所以，a 、b 均为正数，
所以，()141141419552222
a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当24
2,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92
. 故选：C. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．D
解析：D 【分析】
先根据已知结合基本不等式得21
8x y
+≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】
解：由于0x >，0y >，21x y +=，
所以
()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当
4y x x y =，即1
22
x y ==时等号成立， 由于不等式2
212m m x y
+>+成立，
故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.
7．D
解析：D 【分析】
设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果. 【详解】
设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，
则737y x y x <<⎧⎨≥+⎩
，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==， 该志愿者服务队总人数为76518++=人. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.
8．B
解析：B 【分析】
结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】
如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即
314z =+=故选B 【点睛】
本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法
9．C
解析：C 【分析】
由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】
由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c
a b c a b c
-+-+=-+-+⎧⎨
-+-+=-+-+⎩
解得6
11
a b =⎧⎨
=⎩
则()3
2
611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，
()013f <-≤
所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】
本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．
10．C
解析：C 【分析】
逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4
y x x
=+
没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4
y t t
=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；
C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+
≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e x
x
y -=+的最小值为4，故C 项正确；
D 项，
y =
≥=
，
时，等号成立，所以函数
y =D
项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22
x z
y =-
+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
表示的可行域，如图所示，
将2z x y =+转化为斜截式，即22
x z y =-
+，平移直线2x
y =-，由图可知当直
22x z
y =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩
，
所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.
12．D
解析：D 【分析】
先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a
∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，
∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.
∴12
3
12
034a b
x x a a x x a ⎧
⎪<⎪
⎪
+==-⎨⎪
⎪-==-⎪⎩
，解得：=26a b -⎧⎨=⎩ ∴()6
=2=64b a -
故选：D 【点睛】
不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.
二、填空题
13．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条
解析：【解析】
作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的
解析：1
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，
当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.
15．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先 解析：623
【分析】
先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】
由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++， 又由
()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)](
)992962222222
a a
b b a b a b a b a b +++++++⋅+=++≥+⨯=+++++++， 当且仅当
()326(2)=
22
a b a b ++++时，即22(2)a b +=+时等号成立， 即z 的最小值为962+2+a b 的最小值是623. 故答案为623. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得
(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，
属于中档试题.
16．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大
解析：23 【分析】
先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解. 【详解】
画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
可得交点(0,1),(7,1)A B ，
又由21211
x y y x -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,7)C ，
目标函数2z y x =-可化为122
z
y x =+， 当直线122
z
y x =
+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.
故答案为：23
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力.
17．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才
解析：5+. 【详解】
正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y y
x ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨
--⎪--=-⎪⎩
故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y
⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------
（）（）
1111-y x ⎫⎫-
⎪⎪⎭⎭
. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
18．2【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】画出表示的可行域如图由可得将变形为平移直线由图可知当直经
解析：2 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出3310x y x y y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
约束条件表示的可行域，如图，
由10330x y x y --=⎧⎪
⎨⎪+-=⎩可得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=
⎩
， 将z x y =+变形为y x z =-+，
平移直线y x z =-+， 由图可知当直y x z =-+经过点31,22⎛⎫
⎪⎝⎭
时， 直线在y 轴上的截距最小， 最大值为31
222
z =+=，故答案为2. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
19．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由
解析：1
3
【解析】
分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角
和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值. 详解：
2c cosB ＝2a ＋b ，
由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+
∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++
化简得：2sin cos sin 0B C B +=， 又0,sin 0B
B π<，得1cos 2
C =-，
0C π<<，得23
C π=
， 则△ABC
的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，
222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等， ∴2229ab ab a b +≤，即1
3
ab ≥
， 故ab 的最小值是13
. 故答案为
13
. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.
20．【分析】由面积比得再利用三点共线可得出的关系从而利用基本不等式可求得的最小值【详解】如图设与交于点由得所以又三点共线即共线所以存在实数使得因为所以所以又因为所以当且仅当即时等号成立所以的最小值为故答
【分析】
由面积比得3BM MD =，再利用,,A M C 三点共线可得出,x y 的关系，从而利用基本不等式可求得x y +的最小值． 【详解】
如图，设AC 与BD 交于点M ，由
1
sin 231sin 2
ABC ADC
AC BM AMB
S BM S DM AC DM AMD ⋅∠===⋅∠△△得
3BM MD =，所以
1313
()4444
AM AB BM AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+，
又,,A M C 三点共线，即,AM AC 共线，所以存在实数k 使得AC k AM =，
因为
12
(2)(1)
AC AB AD
x y
=-+-，所以
11
2
4
2
3
1
4
k
x
k
y
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪-=
⎪⎩
，所以
32
7
x y
+=，
又因为0,0
x y
>>，所以
132132132526
()()(5)52
7777
y x y x
x y x y
x y x y x y
⎛⎫+
+=++=++≥+⨯=
⎪
⎪
⎝⎭
，当且仅当32
y x
x y
=，即36
7
x
+
=，
26
7
y
+
=时等号成立．
所以x y
+的最小值为526
+
．
故答案为：
526
+
．
【点睛】
本题考查向量共线定理，考查基本不等式求最值，解题关键是利用平面向量共线定理得出,x y的关系，然后用“1”的代换，凑配出定值，用基本不等式求得最小值．
三、解答题
21．铁盒底面的长与宽均为5cm时，用料最省.
【分析】
法一：因为体积为3
50cm高为2cm，所以底面积是定值25，设长为xcm，则宽为
25
x
，列出表面积结合基本不等式即可；
法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.
【详解】
解法1：设铁盒底面的长为xcm，宽为
25
x
，则..
表面积
25100
2544425
S x x
x x
=++⨯=++..
2565≥=.. 当且仅当25
x x
=
，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为
25x
，表面积为2
ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x
=++⨯
=++> 2221004100
4x y x x -'=-=
.. 令22
4100
0x y x -'==得，5x =.
当()0,5x ∈时，0y '<，函数22
4100
x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数22
4100
x y x
-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
22．（1）3
π
；（2） 【分析】
（1）正弦定理角化边可得a c b c
b a c
--=+，利用余弦定理，结合角A 的范围，即可得答案；
（2）由（1）得3
A π
=
，由正弦定理可得a 的值，利用余弦定理及均值不等式，即可求得
b+c 的最大值，进而可得答案. 【详解】 （1）由
sin sin sin A C b c B a c --=+及正弦定理得：a c b c b a c
--=+，
化简得222b c a bc +-=，
∴2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
又∵(0,)A π∈，∴3
A π
=
.
（2）∵
ABC 的外接圆半径为2，3
A π
=
，
∴由正弦定理得
3
24
sin
a
R π
==
，解得a =
∴由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，
∴2
2
2
2
2
12()3()32b c b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭
，
∴b c +≤b c =时，等号成立， ∴
ABC
的周长的最大值为a b c ++=
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、均值定理的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
23．（1）()2111
424
f x x x =++；（2）答案见解析. 【分析】 （1）由题得1
04
a b -+=，20b a =-≤△且0a >，化简即得,a b 的值，即得函数的解析式；
（2）由题得220cx x c -+<，再对c 分类讨论解不等式. 【详解】
（1）()1
104
f a b -=-+
=， 因为()0f x ≥恒成立，则20b a =-≤△且0a >，
即22
1110,0,444a a a a ⎛⎫⎛⎫+-≤∴-≤∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12b =， ()2111
424
f x x x ∴=
++ （2）()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
即
22111131424424x x c x x c ⎛⎫⎛
⎫++>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 220cx x c ∴-+<
当0c
时：解得0x >；
当0c >时：244c =-
故当1c ≥时：
2440c =-≤，不等式无解；
故当1c <时：2
440c =->x <<
综上所述，0c
，不等式解集为0,
；
1c ≥时，不等式解集为∅；
01c <<时，不等式解集为⎝
⎭
【点睛】
本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次不等式的恒成立的问题，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．（1）3；（2）[2,)-+∞ 【分析】
（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.
（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为245
2
x x a x -+≥-
-求解. 【详解】
（1）()()()()2
23221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ，
因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-， 所以1230+=-=x x a ， 解得3a =
（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立， 所以()()
2
245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立，
因为2x >， 所以20x ->
所以2452
x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立，
而24512222-+⎛
⎫-=--+≤- ⎪
--⎝
⎭x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号， 所以 2a ≥-，
所以a 的取值范围[2,)-+∞. 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
25．（1）8|03
x x ⎧<<
⎨⎩或}6x >；（2）16 【分析】 （1）令2(4)503
x x +>，解得x 的范围与0x >求交集即可得解集. （2）将2
(4)()x f x x
+=展开整理，然后用基本不等式求最值. 【详解】
（1）2
20(4)50()(4)5033x x f x x x x >⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩
⎩或}6x >. （2
）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2
(4)()x f x x
+=取得最小值16. 【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，和基本不等式求最值，属于基础题.
26．（1）(0,2)；（2）当0a >时，解集为(,3)a a -；当0a =时，解集为空集；当0a <时，解集为(3,)a a -．
【分析】
（1）解一元二次不等式可得；
（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．
【详解】
（1）当1a =时，2()2f x x x =-，所以()0f x <，即220x x -<
解得02x <<.所以()2f x 的解集为(0,2).
（2） 由2()3f x a <，得 22230x ax a --<，所以 (3)()0x a x a -+<，
当0a >时，解集为(,3)a a -；当0a =时，解集为空集；
当0a <时，解集为(3,)a a -．
【点睛】
本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．。