江苏省2019高考数学二轮复习 专题八 附加题 第3讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程学案

第3讲 矩阵与变换、坐标
系与参数方程
[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B 级要求．
热点一 二阶矩阵与平面变换
例1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 2
2＝1，求曲线C 的方
程．
解 设曲线C 上任一点为(x ，y )， 经过变换T 变成(x 0，y 0)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y . 由x 204＋y 20
2
＝1，得曲线C 的方程为x 2＋4y 2
＝4. 思维升华 解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲
线，再根据条件求相应的系数值．
跟踪演练1 已知曲线C 1：x 2
＋y 2
＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
00
2对应的变换，再作矩阵B ＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 b 1
0对应的变换，得到曲线C 2：x 2
4＋y 2
＝1，求实数b 的值． 解 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤0
b 1
0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 2b 1 0.在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为
P ′(x ′，y ′)，
则有⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0 x 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′. 故⎩⎪⎨⎪⎧
2by 0＝x ′x 0＝y ′，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＝12b x ′，
x 0＝y ′.
代入曲线C 1方程得，y ′2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫12b x ′2＝1.
即曲线C 2方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b 2x 2＋y 2
＝1.
与已知的曲线C 2的方程x 2
4＋y 2＝1比较得(2b )2
＝4.
所以b ＝±1.
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法 例2 已知点P (3,1)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 2
b －1变换下得到点P ′(5，－1)．试求矩阵A 和它的逆矩阵A －1
. 解 依题意得⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 2b －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋23b －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5－1，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
3a ＋2＝5，3b －1＝－1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝0，
所以A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 20 －1.
因为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1 20 －1＝1×(－1)－0×2＝－1，
所以A －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 20 －1.
思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．
跟踪演练2 二阶矩阵M 对应的变换T M 将曲线x 2＋x －y ＋1＝0变为曲线2y 2
－x ＋2＝0，求M
－1
.
解 设曲线2y 2
－x ＋2＝0上一点P (x ，y )在M －1
对应变化下变成P (x ′，y ′)，
设M －1
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d ，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝ax ＋by ，
y ′＝cx ＋dy ，代入x 2＋x －y ＋1＝0得，方程(ax ＋by )2
＋(ax ＋by )
－(cx ＋dy )＋1＝0，
即b 2y 2
＋(a －c )x ＋(b －d )y ＋2abxy ＋a 2x 2
＋1＝0，与方程y 2
－x
2
＋1＝0比较得，a ＝0，b ＝1，
c ＝12
，d ＝1或a ＝0， b ＝－1，c ＝12
，d ＝－1.
所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －11
2 －1或M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤0 112 1. 热点三 特征值与特征向量
例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，并且矩阵M 对应的变
换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；
(2)求矩阵M 的另一个特征值．
解 (1)设M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
a
b c
d ，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a ＋b c ＋d ， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6，
b ＝2，
c ＝4，
d ＝4，
即M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6 24
4.
(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－6 －2 －4 λ－4
＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，
解得λ1＝8，λ2＝2. 故矩阵M 的另一个特征值为2. 思维升华 求矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a b c
d 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母
的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法． 跟踪演练3 已知矩阵A 的逆矩阵A －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 11
2.
(1)求矩阵A ；
(2)求矩阵A －1
的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1
的逆矩阵， 且|A －1
|＝2×2－1×1＝3≠0， 所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤ 23
－13－13 23. (2)矩阵A －1
的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2
＝λ2
－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，
令f (λ)＝0，得矩阵A －1
的特征值为λ1＝1，λ2＝3，
所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A －1
的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，
ξ2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11是矩阵A －1
的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．
热点四 曲线的极坐标方程
例4 (2018·江苏冲刺预测)已知曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t ，
y ＝t －1(t 为参数)，以原点O 为
极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝62＋sin 2
θ
.
(1)求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；
(2)射线OP ：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0<α<π2与C 2交于P 点，射线OQ ：θ＝α＋π2与C 2交于Q 点，求1OP 2
＋1
OQ 2
的值．
解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t ，
y ＝t －1(t 为参数)，
所以曲线C 1的直角坐标方程为x －2y －2＝0，
所以曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ－2＝0， 因为ρ＝
62＋sin 2
θ
，所以ρ2(2＋sin 2
θ)＝6，
所以曲线C 2的直角坐标方程为2x 2
＋3y 2
＝6. (2)依题意得，点P 的极坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧
ρ＝62＋sin 2
θ，θ＝α，
所以OP ＝62＋sin 2
α，1
OP 2＝2＋sin 2
α
6， 点Q 的极坐标满足⎩⎪⎨
⎪⎧
ρ＝6
2＋sin 2
θ
，θ＝α＋π
2
，
所以OQ ＝62＋cos 2
α，1
OQ 2＝2＋cos 2
α
6， 所以1OP 2＋1
OQ 2＝2＋sin 2α6＋2＋cos 2
α6＝5
6
.
思维升华 解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
跟踪演练4 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在
C 3上，求a .
解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝a 2
(a ＞0)，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0.
(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，
ρ＝4cos θ.
若ρ≠0，由方程组得16cos 2
θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2
θ
－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1. 热点五 参数方程
例5 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－2
2
t ，y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在极坐
标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求PA ＋PB . 解 方法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2
＋y 2
－25y ＝0， 即x 2
＋(y －5)2
＝5.
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－
22t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫22t 2＝5，即t 2
－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(－32)2
－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝32，
t 1t 2＝4.
又直线l 过点P (3，5)， 故由上式及t 的几何意义，
得PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 方法二 (1)同方法一．
(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.
由⎩⎨
⎧
x 2＋(y －5)2＝5，y ＝－x ＋3＋5，
得x 2
－3x ＋2＝0.
解得⎩⎨
⎧
x ＝1，y ＝2＋5
或⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝1＋ 5.
不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，
又点P 的坐标为(3，5)．故PA ＋PB ＝8＋2＝3 2. 思维升华 过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α
的直线参数方程的标准形式为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正
负之分．使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则P 1P 2＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为1
2
(t 1＋t 2)．
跟踪演练5 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2t (t
为参数)，直线l 与抛物线y 2
＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1－2
2
t ，y ＝2＋2
2t (t 为参数)
代入抛物线方程y 2
＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝
⎛⎭⎪⎫1－22t ， 解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.
1．(2018·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 31 2. (1)求A 的逆矩阵A －1
；
(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3,1)，求点P 的坐标．
解 (1)因为A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
31
2，又det(A )＝2×2－1×3＝1≠0，
所以A 可逆，从而A －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 －3－1 2.
(2)设P (x ，y )，则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 31 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤31， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3－1，
因此，点P 的坐标为(3，－1)．
2．(2018·江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 解 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6－θ＝2，
则直线l 过点A (4,0)，且倾斜角为π
6，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π
6.
如图，连结OB .
因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π
2，
所以AB ＝4cos π
6
＝2 3.
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.
3．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
11
0，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
2.
(1)求AB ；
(2)若曲线C 1：x 28＋y 2
2
＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．
解 (1)因为A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
11
0，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
2，
AB ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0
11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 21
0.
(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )， 则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤0 21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧
2y 0＝x ，x 0＝y ，
所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝y ，y 0＝x
2.
因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 20
2＝1，
从而y 28＋x 2
8
＝1，即x 2＋y 2
＝8.
因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线
C 2：x 2＋y 2＝
8.
1．(2018·苏锡常镇四市模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2
14 x 的一个特征值为3，求M －1
. 解 由⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －1－4 λ－x ＝0，
得(λ－2)(λ－x )－4＝0的一个解为3，代入得x ＝－1，
因为M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 14 －1，
所以M
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤16 16
23 －13. 2．已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
－1 2 1
x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2y ， x ，y 为实数．若A α＝B α，求x ＋y 的值．
解 由已知，得A α＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤－1 2 1
x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2＋2y 2＋xy ， B α＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 12 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2＋y 4－y .
因为A α＝B α，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2＋y 4－y .
故⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－12，
y ＝4.
所以x ＋y ＝7
2
.
3．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
x
1y
0的属于特征值－2的一个特
征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．
解 由已知，得A α＝－2α，
即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2 2， 则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1＝－2，y ＝2，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤－1
1 2 0. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1. 4．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参
数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 2
9
＋y 2
＝1.
当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
9＋y 2＝1，x ＋4y －3＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－21
25，y ＝24
25.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425.
(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为
d ＝
|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17
.
当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9
17
.
由题设得
a ＋9
17
＝17，所以a ＝8；
当a <－4时，d 的最大值为
－a ＋1
17
. 由题设得－a ＋1
17＝17，所以a ＝－16.
综上，a ＝8或a ＝－16.
5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径． 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .
圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，
即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 6．(2016·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 540 －1. 7．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t ，y ＝32
t (t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0，
椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 2
4＝1， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，
x 2＋y 24＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－17，y 2＝－837，
∴取A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17
，－837. 故AB ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＋8372＝167. 8．(2018·扬州模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋22t ，y ＝22t (t
是参数，m 是常数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且PQ ＝2，求实数m 的值．
解 (1)因为直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋22t ，y ＝22t
(t 是参数)，
所以直线l 的普通方程为x －y －m ＝0.
因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，故ρ2＝6ρcos θ，
所以x 2＋y 2＝6x ，
所以曲线C 的直角坐标方程是(x －3)2＋y 2＝9. (2)曲线C 表示以C (3,0)为圆心，3为半径的圆，设圆心到直线l 的距离为d ， 则d ＝32－12＝22，
又d ＝|3－m |2
＝22， 所以|3－m |＝4，即 m ＝－1或m ＝7.。