河北省保定市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1.设集合A={x∈N*|x≤2}，B={2，6}，则A∪B=（）
A. B. C. 2， D. 1，2，
【答案】C
【解析】
【分析】
结合并集的概念,取两个集合所有部分.
【详解】集合故,故选C.
【点睛】本道题目考查了集合的交并集运算,注意,并集取A,B两个集合所有部分.
2.若，则f[f（-3）]=（）
A. B. 0 C. 1 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
此为一个复合函数,先计算里面的值,再计算外面的函数值.
【详解】,故选D.
【点睛】本道题目考查了复合函数计算值,注意先计算里面函数的值,再计算外面函数的值.
3.的值等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,选B.
4.在△ABC中，已知D为AB上一点，若，则=（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减法,一步步推导,即可得出答案.
【详解】
,故选B.
【点睛】本带题目考查了向量的加减法,不断的利用邻边关系,不断利用向量的加减法,最后表示出向量.
5. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
对于选项A，因为，且图象关于原点对称，故选A.
考点：三角函数的性质.
6.设，，，则、、的大小关系为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
比较a,b的大小，可以结合对数函数性质进行解答，然后结合a,b,c与1的关系，即可得出答案。

【详解】对于的对数,当，a越小，越靠近y轴，所以；
而，故，故选A。

【点睛】本道题目考查了对数、指数比较大小，结合相关性质和1,0的关系，即可得出答案。

7.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（x）满足（）
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
首先结合左加右减原则，计算出新函数，然后结合正弦函数的性质，判断单调递增区间，即可得出答案。

【详解】函数向左平移个单位长度，得到新函数
.
当时，有：，满足函数单调递增，故选D。

【点睛】本道题目考查了正弦函数平移和正弦函数的性质，做此类题目可以结合正弦函数性质进行解答。

8.某工厂2017年投入的科研资金为120万元，在此基础上，每年投入的科研资金比上年增长12%，则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12=0.05，lg3=0.48，lg2=0.30）（）
A. 2020年
B. 2021年
C. 2022年
D. 2023年
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题目结合题意，建立不等式，然后结合对数运算，即可得出答案。

【详解】设第n年后，建立不等式，
故从2017年起第5年，故为2022，故选C。

【点睛】本道题目考查了对数运算性质，注意。

9.给出下列结论：
①；②已知扇形的面积是2cm2，半径是1cm，则扇形的圆心角是2；
③若，，则f（x）与g（x）表示同一函数；
④若，则；
⑤函数有零点，
其中正确的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题目结合扇形面积计算公式，三角函数二倍角公式，函数零点存在性定理等方法，即可得出答案。

【详解】①结果为2, ②结合扇形面积，代入数据，，错误
③定义域不一致，故不是同一函数，错误。

④
⑤由，由零点存在性定理可判断函数一定有零点，故正确，故选B。

【点睛】本道题目考查了三角函数二倍角公式，扇形面积计算公式和数形结合思想，记住。

10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于任意给定的两个非负数a，b且a＞b，不等式af（a）＜bf（b）恒成立，则不等式（ln x）f（ln x）＞f（1）的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题目结合单调性判定法则，得出为递减函数，对处理成建立不等式，计算的范围，即可得出答案。

【详解】结合对于任意给定的两个非负数a，b且a＞b，不等式af（a）＜bf（b）恒成立，可知为减函数，故
，得到，同时，故，故选C。

【点睛】本道题目考查了单调性判定法则，当的关系，判定原函数单调性。

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11.sin15°sin45°+cos15°cos45°的值是______
【答案】
【解析】
【分析】
本道题目利用，套公式，即可得出答案。

【详解】利用，则原式为
【点睛】本道题目考查了余弦的两角和与差公式，记住公式。

12.函数的图象必过定点__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据过定点可得函数的图象必过定点.
【详解】因为，，
所以，当时，
总有，
∴必过点，故答案为．
【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.
13.已知向量与满足，则则与的夹角为________。

【答案】
【解析】
试题分析:有题意得，
考点：求平面向量的夹角.
14.下列说法：
①终边在y轴上的角的集合是；
②函数的定义域为{x|x≥1}；
③函数y=lg（-x2+2x）的单调递增区间是（0，1]；
④函数是奇函数
其中正确的序号是______（填上所有正确命题的序号）
【答案】③④
【解析】
【分析】
①结合轴线角的写法，②结合定义域求法，③结合二次函数的性质，④结合三角函数的性质，即可得出答案。

【详解】①错误，应为；
②满足，解方程，得到定义域为，故错误；
③结合复合函数同增异减，要求整体函数递增，则求的增区间，结合二次函数的性质，满足条件，解得单调增区间为，故正确；
④
，故为奇函数，故正确。

【点睛】本道题目考查了轴线角，定义域求法，二次函数性质和奇偶性的判定条件，注意相关判定定理。

15.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，CD=1，点P是腰DC上的动点，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】
建立坐标系，用坐标表示向量，然后转化成二次函数的性质，计算最值，即可得出答案。

【详解】建立坐标系，以A为原点，为x轴正半轴，则
所以
当取到最小值，代入上式子，得到最小值为。

【点睛】本道题目考查了向量的坐标表示和二次函数的性质，解决向量问题，可以通过建立坐标系，进行解答。

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
16.已知，，其中α、β都是钝角．求：
（1）cosα的值；
（2）tan（α-β）的值
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合，即可得出答案。

（2）结合
，代入数据，即可得出答案。

【详解】解：（1）∵已知，，其中α、β都是钝角，∴cosα=-=-．
（2）由（1）可得tanα==-，sinβ==，tanβ==-，
∴tan（α-β）==．
【点睛】本道题目考查了同角三角函数关系式和正切角的和与差公式，代入数据，即可得出答案。

17.已知，．
（1）若，求x的值；
（2）当时，求；
（3）若与所成的角为钝角，求x的范围
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用向量平行，对应坐标成比例，计算x，即可得出答案。

（2）利用向量垂直，数量积为0，建立等式，计算x，即可得出答案。

（3）当所成角为钝角，则，代入坐标，即可得出答案。

【详解】解：（1）∵已知，，若，则=，求得x=-2．
（2）当时，•=4x-2=0，x=，====5．
（3）若与所成的角为钝角，则＜0且，不共线，∴4x-2＜0，≠，求得x＜，且x≠-2，
故x的范围为{x|x＜且x≠-2 }．
【点睛】本道题目考查了向量平行，向量垂直，向量数量积与0的关系，向量平行说明对应坐标成比例，向量垂直说明向量数量积为0，即可得出答案。

18.已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）求函数f（x）在区间上的值域
【答案】（1）最小正周期，对称轴为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式，化简，即可得出答案。

（2）结合x所满足的条件，计算出
的范围，结合正弦函数的性质，计算值域，即可得出答案。

【详解】解：（1）
=sin2x+
=sin2x++
=2sin（2x+）+．
∵f（x）的最小正周期T=，
由，k∈Z，可得x=，k∈Z．
∴f（x）的对称轴为x=，k∈Z；
（2）由x∈，得2x+∈（-，）．
∴2sin（2x+）∈[-2，），
则f（x）∈[-2+，2）．
【点睛】本题考查了二倍角公式和正弦函数的性质，做此类题首先先化简，然后在求值域。

19.据气象中心观察和预测：发生于菲律宾的东海面M地的台风,现在已知台风向正南方移动其移动速度与时
间的函数图象如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为内台风所经过的路程．
（1）当时，求的值，并将随变化的规律用数学关系式表示出来；
（2）若N城位于M地正南方向，且距N地，试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会，在台风发生后多少时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
【答案】（1）24；（2）见解析；（3）
【解析】
试题分析：（1）先求出线段OA的解析式为v=4t，然后把t=10直接代入求出此时的速度，即可求出S（t）的值；（2）先分段求出速度v与时间t的函数函数关系，再分别乘以时间即可求得对应的函数S（t）的解析式；（3）先由分段函数的解析式以及对应的定义域可以求得其最大值，发现其最大值大于650，即可下结论会侵袭到N城，再把S（t）=650代入即可求出对应的t．
试题解析：解：（1）由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，
所以S＝×4×12＝24 km．
（2）当0≤t≤10时，S＝·t·3t＝；
当10<t≤20时，S＝×10×30＋30（t－10）＝30t－150；
当20<t≤35时，S＝×10×30＋10×30＋（t－20）×30－×（t－20）×2（t－20）＝．
综上可知，．
（3）因为当t∈[0，10]时，Smax＝×102＝150<650，
当t∈（10，20]时，Smax＝30×20－150＝450<650，
所以当t∈（20，35]时，令，解得．因为20<t≤35，所以t＝30．
故沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
考点：分段函数的应用．
20.已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性，说明理由；
（2）当x＞0时，判断f（x）的单调性并加以证明；
（3）若f（2t）-mf（t）＞0对于t∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
(1)利用与的关系,结合定义域判断奇偶性,即可得出答案.(2)换元法,转化成对勾函数,结合对勾函数性质,即可.(3)代入的解析式,建立关于s的新函数，结合该函数单调性，计算最值，即可得出答案。

【详解】（1）∵函数f（x）=3x+，定义域R，关于原点对称，
且对一切x∈R，都有f（-x）=3-x+=+3x=f（x）成立，
∴f（x）是偶函数．
综上所述：f（x）是偶函数．
（2）函数f（x）=3x+在（0，+∞）上是增函数，
令3x=t，当x＞0时，t＞30=1，则y=g(t)=t+，
设1<t1＜t2，
g（t1）-g（t2）=（t1+）-（t2+）=（t1t2-1）•，
又由a∈（0，）且1<t1＜t2，
则＜0，t1t2-1>0，
则g（t1）-g（t2）<0，
函数y=t+在t∈（1，+∞）上是增函数，
即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）∵函数f（x）=3x+，
∴f（2t）-mf（t）＞0对于t∈（0，+∞）恒成立，
等价于：m（3t+）＜32t+对于t∈（0，+∞）恒成立，
即m（3t+）＜（3t+）2-2对于t∈（0，+∞）恒成立，
∵3t+＞0，∴m＜3t+-对于t∈（0，+∞）恒成立，
令3t +=s，∵t∈（0，+∞），
∴由（2）知：s＞2，则m＜s -对于s∈（2，+∞）恒成立，
记y=s -，在s∈（2，+∞）上是增函数，
∴y＞2-=1，
∴m≤1
即m的取值范围为（-∞，1]，
综上所述：m的取值范围是（-∞，1]．
【点睛】本道题目考查了单调性的判定和函数最值计算，解决复杂函数的时候，可以考虑采用换元思想，即可得出答案。