高中物理第5章万有引力与航天习题课1天体运动各物理量与轨道半径的关系教学案沪科版必修2

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______年______月______日
____________________部门
[学习目标] 1.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运
动问题的基本思路.2.掌握天体的线速度、角速度、周期、向心加速度
与轨道半径的关系.
一、天体运动的分析与计算
1.基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心
力由中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向.
2.常用关系：
(1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr.
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”.
例1 (多选)地球半径为R0，地面重力加速度为g，若卫星在距地面
R0处做匀速圆周运动，则( )
A.卫星的线速度为
B.卫星的角速度为g
8R0
C.卫星的加速度为
D.卫星的加速度为g
4
答案ABD
解析由＝ma＝m＝mω2(2R0)及GM＝gR，可得卫星的向心加速度a＝，角速度ω＝，线速度v＝，所以A、B、D正确，C错误.
针对训练某着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回
到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图1所示.设轨道舱的质量
为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，求轨道舱的速度和周期.
图1
答案R 2πr
R r g
解析轨道舱在月球表面时G＝mg ①轨道舱在半径为r的轨道上做圆周运动时，有
G＝m ②G＝mr ③由①②得v＝R g
r
由①③得T＝2πr
R r g
二、天体运行的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动.
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小.
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小.
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大.
(4)由G＝ma得a＝，r越大，a越小.
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”.
例2 20xx年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱
－33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞，这是历史上首次发
生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太
空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速
率比乙的大，则下列说法中正确的是( )
A.甲的运行周期一定比乙的长
B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大
答案D
解析甲的速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A错；由于未知
两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错误；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对.
例3 如图2所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，
它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是( )
图2
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2 2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
答案C
解析两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达式分别分析.由＝m得＝＝＝，故A错误.
由＝mr2得＝＝，故B错误.
由＝mrω2得＝＝，故C正确.
由＝ma得＝＝，故D错误.
1.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道
2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
图3
A.速度大
B.向心加速度大
C.运行周期长
D.角速度小
答案CD
解析飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F 引＝F向，
所以G＝ma＝＝＝mrω2，
即a＝，v＝，T＝，ω＝(或用公式T＝求解).
因为r1<r2，所以v1>v2，a1>a2，T1<T2，ω1>ω2，选项C、D正确.
2.(行星各运动参量与轨道半径的关系)如图4所示，在火星与木星轨
道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕
太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是( )
图4
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度
值
D.小行星带内各小行星绕太阳做圆周运动的线速度值大于地球公转的
线速度值
答案C
解析根据万有引力定律F＝G可知，由于各小行星的质量和到太阳的
距离不同，万有引力不同，A项错误；由G＝mr，得T＝2π，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以它们的周期均大于地球
的周期，B项错误；向心加速度a＝＝G，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由G＝m得线速度v＝，小行星的轨道半径
大于地球的轨道半径，线速度小于地球绕太阳的线速度，D项错误.
3.(天体运动各参量的比较)如图5所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨
道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的
是( )
图5
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
答案A
解析甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万
有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力.由牛顿第二定律G＝ma＝mr
＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知条件可得a甲＜a 乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A.
4.(天体运动的分析与计算)如图6所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知地球半径为R，地球表面重力
加速度为g，求：
图6
(1)A的线速度大小v1；
(2)A、B的角速度之比ω1∶ω2.
答案(1) (2)错误!
解析(1)设地球质量为M，行星质量为m，
由万有引力提供向心力，对A有：＝m ①
在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G ②
由①②得v1＝gR2
R＋h1
(2)由G＝mω2(R＋h)得ω＝错误!
所以A、B的角速度之比＝.
课时作业
一、选择题(1～7题为单选题，8～10题为多选题)
1.把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行
星( )
A.周期越大
B.线速度越大
C.角速度越大
D.向心加速度越大
答案A
解析行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引
力提供，由G＝m得v＝，可知r越大，线速度越小，B错误.由G＝
mω2r得ω＝，可知r越大，角速度越小，C错误.由＝k知，r越大，
T越大，A对.由G＝ma得a＝，可知r越大，向心加速度a越小，D错误.
2.据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距
月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A. B. C. D.18
19
答案C
解析根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有G＝m，那么卫星的
线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有＝＝.
3.两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星半径之比为＝q，则两个卫星的
周期之比为( )
A. B.q C.p D.q q
p
答案D
解析卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：G
＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正确，A、B、C错误.
4.a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星.其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上.某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示，下列说法中正确
的是( )
图1
A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C.a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D.a、c存在在P点相撞的危险
答案A
解析由G＝m＝mω2r＝mr＝ma可知，选项B、C错误，选项A正确；因a、c轨道半径相同，周期相同，既然图示时刻不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误.
5.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”.该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A.轨道半径之比约为360
480
B.轨道半径之比约为360
4802
C.向心加速度之比约为360×4802
D.向心加速度之比约为360×480
答案B
解析由公式G＝m()2r，可得通式r＝，设“55 Cancri e”的轨道半径为r1，地球轨道半径为r2，则＝＝，从而判断A错，B对；再由G ＝ma得通式a＝G，则＝·＝＝，所以C、D皆错.
6.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B.mv4
GN
C. D.Nv4
Gm
答案B
解析设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得G＝m′①
m′＝m′g②
由已知条件：m的重力为N得N＝mg ③
由③得g＝，代入②得：R＝mv2
N
代入①得M＝，故B项正确.
7.如图2所示，甲、乙两颗卫星在同一平面上绕地球做匀速圆周运动，公转方向相同.已知卫星甲的公转周期为T，每经过最短时间9T，卫星
乙都要运动到与卫星甲同居地球一侧且三者共线的位置上，则卫星乙
的公转周期为( )
图2
A.T
B.T
C.T
D.T
答案A
解析由(－)t＝2π①
t＝9T ②
由①②得T乙＝T，选项A正确.
8.火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它
绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍.根据以
上数据，下列说法中正确的是( )
A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B.火星公转的周期比地球的长
C.火星公转的线速度比地球的大
D.火星公转的向心加速度比地球的大
答案AB
解析由G＝mg得g＝G，计算得A对；由G＝m()2r得T＝2π，计算
得B对；周期长的线速度小(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转的向心加速度a＝G，计算得D错.
9.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A.若v2∝R则该层是土星的卫星群
B.若v∝R则该层是土星的一部分
C.若v∝则该层是土星的一部分
D.若v2∝则该层是土星的卫星群
答案BD
解析若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若是土星的卫星群，则由G
＝m，得v2∝，故A错误，D正确.
10.科学探测表明，月球上至少存在丰富的氧、硅、铝、铁等资源，设
想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经长期的
开采后月球与地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的轨道运动，
则与开采前相比(提示：a＋b＝常量，则当a＝b时，ab乘积最
大)( )
A.地球与月球间的万有引力将变大
B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运行的周期将变大
D.月球绕地球运行的周期将变小
答案BD
解析万有引力公式F＝中，G和r不变，因地球和月球的总质量不变，当M增大而m减小时，两者的乘积减小，万有引力减小，故选项A错误，选项B正确；又＝mr，T＝，M增大，则T减小，故选项C错误，
选项D正确.
二、非选择题
11.两行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比MA∶MB＝2∶1，两行星半径之比RA∶RB＝
1∶2，则两个卫星周期之比Ta∶Tb＝_______，向心加速度之比为
_______.
答案1∶48∶1
解析卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，有：G＝mR，得T＝2π.
故＝·＝，由G＝ma，得a＝G，
故＝·＝.
12.某课外科技小组长期进行天文观测，发现某行星周围有众多小卫星，这些小卫星靠近行星且分布相当均匀，经查对相关资料，该行星的质
量为M.现假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，已知引力常量为G.
(1)若测得离行星最近的一颗卫星的运动轨道半径为R1，忽略其他小卫星对该卫星的影响，求该卫星的运行速度v1为多大？
(2)在进一步的观测中，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动轨道半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多小卫星的总质量m卫为多大？
答案(1) (2)－M
解析(1)设离行星最近的一颗卫星的质量为m1，有G＝m1，解得v1＝.
(2)由于靠近行星周围的众多卫星分布均匀，可以把行星及靠近行星的小卫星看做一星体，其质量中心在行星的中心，设离行星很远的卫星
质量为m2，则有G＝m2R24π2
2
T 2
解得m卫＝－M.
13.我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道.这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星.设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面
重力加速度为g，求“高分一号”在时间t内，绕地球运转多少圈？
答案t
错误!
2π
解析在地球表面mg＝GMm
R2
在轨道上＝m(R＋h)4π2
T2
所以T＝2π＝2π错误!
故n＝＝.。