课件6：2.2.2 等差数列的前n项和(一)

【答案】(1)210
(2)6
24 (3)79
例 4 若数列{an}的公差为 d 的等差数列，求证：数列{Snn} 也是等差数列．
【证明】∵{an}是等差数列，公差为 d， ∴Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n. ∴Snn＝d2n＋(a1－d2)，∴nS＋n＋11－Snn＝d2(常数)． ∴数列{Snn}为等差数列，公差为d2.
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题型一 等差数列的前 n 项和公式
例 1 已知数列{an}是等差数列， (1)若 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； (2)若 a2＋a5＝19，S5＝40，求 a10.
【解】(1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－ 2 1d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，
2
＝TS1155＝3×2×151＋5 1＝3406＝1253.
【答案】1253
探究 2 等差数列{an}中，S2n－1＝(2n－1)·an，从而有bann＝TS22nn－－11. 思考题 3 (1)等差数列{an}中，若 a11＝10，则 S21＝ ________. (2)等差数列{an}中，若 S15＝90，则 a8＝________. (3)已知{an}、{bn}都是等差数列，它们的前 n 项和分别为 Sn、 Tn，且对任意的 n∈N*有TSnn＝72nn＋＋161.则ba1111＝________.
探究 3 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中，如果运 用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
思考题 4 设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列Snn的前 n 项和，求 Tn. 【答案】Tn＝14(n2－9n)
思考题 2 已知一等差数列的前五项之和为 120，后五项之和为
180，又各项之和为 360，则此数列共有( )项．
A．13
B．12
C．14
D．15
【答案】B
例 3 (1)在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数列前 11 项 和 S11＝________.
【解析】因为数列{an}为等差数列， 所以 S11＝11a12＋a11. 根据等差数列的性质，若 p＋q＝m＋n，则 ap＋aq＝am＋an，
1＋n－1d＝－512， ∴n＋12nn－1d＝－1 022. 解得 n＝4，d＝－171.
a1＋d＋a1＋4d＝19， (2)方法一 由已知可得5a1＋5×24d＝40. 解得 a1＝2，d＝3.所以 a10＝a1＋9d＝29. 方法二 由 S5＝5a3＝40，得 a3＝8. 所以 a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得 d＝3. 所以 a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
得 a1＋a11＝a4＋a8＝16.所以 S11＝11×216＝88.
【答案】88
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若TSnn ＝3n2＋n 1，则ab88＝________.
15a1＋a15 【解析】ab88＝22ba88＝ab11＋＋ab1155＝15b12＋b15
答：不一定是，理由如下： 因为等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1 －d2)n，令d2＝a，a1－d2＝b，则 Sn＝an2＋bn，因此一个数列的前 n 项和是一个没有常数项的二次函数，则此数列为等差数列．所以 若某数列的前 n 项和的公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a、b、c 为常数)， 则当且仅当 c＝0 时，这个数列是等差数列．
(1)如果 1 号盒子内放了 11 粒米，那么后面的盒子比它前一 号的盒子多放几粒米？
(2)如果 3 号盒子内放了 23 粒米，那么后面的盒子比它前一 号的盒子多放几米粒？
解 从 1～9 号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an}， (1)a1＝11，S9＝351，求得 d＝7. (2)a3＝23，S9＝351，求得 d＝8.
课后巩固
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前 5 项和 S5＝( )
A．7
B．15
C．20D．25源自【答案】B【解析】S5＝5a12＋a5＝5a22＋a4＝51＋2 5＝15.
2．已知等差数列{an}满足 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前
10 项的和 S10＝( )
(3)图像特征 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n， ①当 d＝0，a1≠0 时，Sn 是 n 的一次函数． ②当 d≠0 时，Sn 是 n 的二次函数． 当 d＞0 时，Sn 有最小值； 当 d＜0 时，Sn 有最大值．
(4)在 a1，an，d，n，Sn 五个量中，已知其中三个量，可以求 得其余两个量．
探究 1 a1，n，d 称为等差数列的三个基本量，an 和 Sn 都可以用 这三个基本量来表示，五个量 a1，n，d，an，Sn 中可知三求二， 一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)求解，这种方 法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与 未知的联系及整体思想的运用．
思考题 1 在等差数列{an}中，前 n 项和为 Sn. (1)已知 S8＝48，S12＝168，求 a1 和 d； (2)已知 a3＋a15＝40，求 S17.
【思路分析】n＝a12＋Snan，只需求出 a1＋an.
【解析】∵a1＋a2＋a3＝34， ① an＋an－1＋an－2＝146， ② ∴①＋②，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝180. 又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， ∴3(a1＋an)＝180，则 a1＋an＝60. ∴Sn＝na12＋an＝602n＝30n＝390.∴n＝13.
A．138
B．135
C．95
D．23
【答案】C
3．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和．已知 a2＝3，a6＝11，
则 S7 等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
【答案】C 【解析】S7＝7a12＋a7＝7a22＋a6＝7×214＝49，故选 C.
4．在编号为 1～9 的九个盒子中，共放有 351 粒米，已知每 个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米．
【解】 (1)由等差数列的前 n 项和公式， 得81a21a＋1＋286d6＝d＝481，68. 解这个方程组，得ad1＝＝4－. 8， (2)∵a1＋a17＝a3＋a15＝40， ∴S17＝a1＋2 a17·17＝20×17＝340.
例 2 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146， 且所有项的和为 390，则这个数列有________项．
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
要点 等差数列{an}的前 n 项和公式
(1)两种不同形式
na1＋an
①当已知首项 a1 和末项 an 时，用 Sn＝ 2 ；
②当已知首项 a1 和公差 d 时，用 Sn＝ na1＋nn－ 2 1d .
(2)公式的结构 ①Sn＝na12＋an形似于梯形面积公式． ②Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n 形似 n 的二次式，且常数项为 0， n2 的系数为d2即公差的一半！ {an}为等差数列⇔Sn＝An2＋Bn.
1．写出下列常见等差数列的前 n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n＝？ (2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝？ (3)2＋4＋6＋…＋2n＝？
答：(1)12n(n＋1) (2)n2 (3)n2＋n
2．如果一个数列的前 n 项和的公式是 Sn＝an2＋bn＋c(a、b、 c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？