2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析07

2020届高考模拟卷
高三文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z 满足(i i) 1z =-，其中 i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C 【解析】i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z +-+===--+，1i 22z =--，对应点为1122⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭，，在第三象限．
2．已知集合}2{1A =，，1{}0|B x ax =-=，若
A B B =I ，则实数 a 的取值个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3.
【答案】D
【解析】集合}2{1A =，，若A B B =I ，即：B A ⊆，则 B =∅，{}1B =，2{}B =；①当
B =∅时，0a =；②当1{}B =时，10a -=，解得1a =；③当2{}B =时，210a -=，解
得1
2
a =；综上， a 有3个值． 3．已知等差数列{} n a 满足28
10a a +=，且124,,a a a 成等比数列，则2016a （ ） A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．2017
【答案】C
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵28
10a a +=∴55210,5a a == ∵124,,a a a 成等比数列∴2214=a a a ⋅，即：25354))5()((d d d -=--，解得1d =， ∴2016 2016a =．
4．下列命题中正确的是（ ）
A ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R 均有210x x ++<”．
B ．若p 为真命题，q 为假命题，则p q ⌝∨（）为真命题．
C ．为了了解高考前高三学生每天的学习时间，现要用系统抽样的方法从某班50个学生中抽取一个容量为10的样本，已知50个学生的编号为1,2,350⋯，若 8号被选出，则18号也会被选出．
D ．已知
m n 、是两条不同直线，αβ、是两个不同平面，m αβ=I ，则“n α⊂，n m ⊥”是“αβ⊥”的充分条件． 【答案】C
【解析】命题“x ∃∈R 使得2 10x x ++<”的否定是“x ∀∈R 均有2 10x x ++≥”，故A
不正确；若 p 为真命题， q 为假命题，则 p q ⌝∨（）为假命题，故B 不正确；由系统抽样的知识知，
18825-=⨯，∴C 是正确的；由“m αβ=I ，n α⊂，n m ⊥”不能推
出“αβ⊥”，故D 不正确．
5．设P 是ABC △所在平面内的一点，且 4AB AC AP +=u u u r u u u r u u u r ，则PBC △与ABC △的面积之比是( )
A ．1
3
B ．
1
2
C ．
23
D ．
34
【答案】B
【解析】设
BC 中点为M ，则 2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，∵ 4AB AC AP +=u u u r u u u r u u u r
， ∴2AM AP =u u u u r u u u r ，即：P 是AM 中点，从而1
2
PBC ABC S S =△△．
6．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )
此
卷
只
装
订
不
密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ． 434+
B ． 43
C ．8
D ．12
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，侧面是底边长为2，高为2的等腰
三角形，所以该几何体的侧面积为1 42282
S =⨯⨯⨯=．
7．已知不等式组 012210x y x y >⎧⎪
⎨⎪-+⎩≤≤表示的平面区域为D ，若直线 2y x a =-+与区域 D 有
公共点，则a 的取值情况是（ ） A ．有最大值2，无最小值 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最小值1
2
，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值
【答案】A
【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，显然当直线2y x a =-+过点 1
,12
B （）
时，a 取得最大值为2；当直线2y x a =-+过点1
02
A （，）
时，a 取得最小值，但A 点不在可行域内．
8．已知2log (1),2
()(1).2x x f x f x x +>⎧=⎨+⎩ ≤，执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为 (1)f ，
则输出的P 值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】2()()()123log 42f f f ====，即：2A =，模拟执行程序框图，可得1S =，满足条件2S ≤，则132122P S ==+
=，，满足条件2S ≤，则3P =，11111236
S =++=，满足条件2S ≤，则11125
4123412
P S ==+++=，，不满足条件2S ≤，退出循环体，此时
4P =．
9．已知函数 2sin cos )() 0(3
f x x x ωωωπ
=+>（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等
于 2π，要得到函数3
cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数() y f x =的图象（ ） A ．向右平移 2π个单位
B ．向左平移 2π
个单位
C ．向右平移 4
π
个单位
D ．向左平移 4
π
个单位
【答案】D 【解析】
()2sin cos 3f x x x ωωπ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭132sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
2sin cos 3x x x ωωω=-133sin 22222x x ωω=+-3sin 232x ωπ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
由题意知() f x 的最小正周期为T =π，则1ω=，3 sin 2( )32f x x π=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
()33 sin 2442f x x π⎛π⎡π⎤+=+-
⎢⎥⎣+ ⎦
⎫⎪⎝⎭33sin 2cos 232232x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴要得到函数3cos 232y x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数() y f x =的图象向左平移4π个单位．
10．已知圆22()
():553C x y -+=-，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P ．若14
PA AB =u u u r u u u r
，则直线l 的方程为( )
A ．270x y -+=
B ．2130x y +-=或270x y -+=
C ．2130x y +-=
D ．270x y ++=
【答案】B
【解析】由14PA AB =u u u r u u u r 知，1
2PA AC =u u u r u u u u r ，则()()1
,3,52A A p A A x y y x y -=--，解得1A x =，代入圆的方程可得 4A y =或 6A y =，即：4(1)A ，或1,6A （）
，故直线l 的方程为：270x y -+=或 2 130x y +-=．
11．已知()f x 为偶函数，且满足()(2)f x f x =-+，方程()0f x =在[0]1，
内有且只有一个根
1
2016
，则方程()0f x =在区间[]20162016-，
内的根的个数为( ) A ．4032 B ．4036 C ．2016 D ．2018
【答案】A
【解析】()()f x f x -=，()(2)f x f x =-+，()( )2f x f x -=-+，() f x 是周期为2的周期
函数且() f x 图象关于直线1x =对称，又∵方程0( )f x =在[]01，内有且只有一个根
1
2016
，∴方程0( )f x =在[1]2，内有且只有一个根，故方程0( )f x =在一个周期内有两个根，20166[]201-，内包括2016个周期，共201624032⨯=个根．
12．已知双曲线 22
22
:1(0)1x y C a a a -
=>-的左右焦点分别为 12 ,F F ，若存在 k ，使直线 )1( y k x =-与双曲线的右支交于 ,P Q 两点，且1
PFQ △的周长为 8，则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】直线 ()1y k x =-经过双曲线的右焦点，∴1
PFQ △的周长为42a PQ +，
()221a PQ a
->Q ，()2414424a a PQ a a
a
-∴+>+
=
，4
8a <即，又
2
010
a a >⎧⎨->⎩，解得01a <<，1
12a ∴<<，双曲线斜率为正的渐近线的方程为：21a y x -=1
12a <<Q (2222
11113a a a a a --==-，所以，此渐近线的倾斜
角的取值范围为(0,)3
π
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为1 (0)2F -，，点2(2B ，在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 ．
【答案】22
184
x y +
= 【解析】设椭圆 C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
因为椭圆的左焦点为1()20F -，
，所以224a b -=． ① 因为点(2B ，在椭圆C 上，所以
22
42
1a b +=． ② 由①②解得，
22a =2b =． 所以椭圆C 的方程为22
184
x y +
=． 14．已知倾斜角为α的直线l 与直线 230x y +-=垂直，若向量 a b r r
，
满足 a b α=r r ，，5a =r 22a b +=r r b =r
． 【答案】1
【解析】由已知得tan 2α=，5
cos 5
a ∴=
，
2222cos ,a b a b a b a b +=++r r r r r r r r Q 2230b b ∴+-=r r ，解得1b =r
．
15．已知 a b c ，，分别是ABC △的角A B C ，，所对的边，且23
c C π
==
，，若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，则A = ． 【答案】26
A A ππ=
=或 【解析】∵sin sin sin sin 2sin 2C B A C B A A =++-=（），（）， ∴sin sin 2sin 2A B B A A ++-=（）（），2sin cos 4sin cos B A A A =， 当cos 0A =时，解得2
A π
=
；当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =， 由正弦定理可得2b a =；联立，2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
解得,33a b ==， 222b a c ∴=+2B π∴=
又3C π=，6A π∴=，综上可得：26
A A ππ
==或． 16．已知函数2 ()8ln f x x x =+，若存在点((),)A t f t ，使得曲线 ()y f x =在该点附近的
左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧，则t = ． 【答案】2
【解析】由2
() 8ln f x x x =+，8
2() f x x x
'=+，可求得曲线()
y f x =在点A 处的切线方程为28
8ln 2()( )() y t t t x t t -+=+-，
即：28
28)0()(ln 8y t x t t x t
=+-+->，记222288
8ln 28ln 88ln ()[(28ln 80)]()()h x x x t x t t x x t x t t x t t
=+-+-+-=+-++-+>则
()4288()22x t x t h x x t x t x ⎛
⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭'=+-+= ⎪⎝⎭若存在点()),(A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t 不是极值点，由
二次函数的性质知，当且仅当4
t t
=，即 2t =时，
t 不是极值点，即0()h x '≥，所以 () h x 在0+∞（，）上递增．又()0h t =，所以当2()0,x ∈时，()0h x <；当,()2x ∈+∞时，()0h x >，即存在唯一点248ln 2A +（，），使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足：()2*
121112n n n a a a ++⋅⋅⋅+=∈N
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()
41n
n
n n
a b a -=-，求数列{ }n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2
21n a n =
-；（2）221n n n T n n ⎧=⎨-+⎩
，为偶数，，为奇数. 【解析】（1）()2
*121112n n n a a a ++⋅⋅⋅+=∈N Q
∴当1n =时，
111
2
a =，解得12a =． 当2n ≥时，()()2
*1211111
2
n n n a a a --++⋅⋅⋅+=∈N Q ∴()21121
222n n n n a 2
--=-=
解得2
21
n a n =
-，当1n =时也成立． （2）由（1）可得()
()()()44111143n
n n
n n n n a b n a a ⎛⎫-=-=--=-- ⎪⎝⎭
， 当n 为偶数时，()159131743422
n n
T n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯
=， 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11214121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+．
综上，221n n n T n n ⎧=⎨-+⎩
，
为偶数，为奇数．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P ABC ﹣中，底面ABC 为直角三角形，且90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，
2AB =，侧面PAB 为等边三角形． （1
）当PC =AC PB ⊥；
（2）当平面PAB ⊥平面ABC 时，求三棱锥A PBC -的高．
【答案】（1）见解析；（2）
239
13
【解析】（1）由题意得，1,3,2AC BC PA ===，
当3PC =时，22
2
,AC PC PA AC PC +=∴⊥， 又AC BC ⊥，CB PC C =I ，AC PBC ∴⊥平面，从而AC PB ⊥． （2）取AB 中点O ，连接,PO CO ，则PO AB ⊥，
∵平面PAB ⊥平面ABC AB =，PO AB ⊥，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABC ，从而PO OC ⊥，POC △是直角三角形
22312PC PO OC =+=+=，PBC △是腰长为2，底边长为3的等腰三角形 11339
3224PBC S =⨯⨯=△，又131322ABC S =⨯⨯=△，
由等体积可得三棱锥A PBC -的高为：
13
3
239
321133934ABC PBC S OP h S ⨯⨯⨯===⨯△△．
19．（本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 901)[00，，1001)[10，，140[50]1⋯，，后得到如下部分频率分布直方图，其中成绩在
130,[150]的称为“优秀”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在1200[13，）
内的人数及数学成绩“优秀”的人数； （2）用分层抽样的方法在在分数段为1100[13，）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段1200[13，）内的概率． （3）若统计了这100名学生的地理成绩后得到如下表格：
数学成绩“优秀”
数学成绩“一般”
总计 地理成绩“优秀” 10 40 50 地理成绩“一般”
20 30 50 总计
30
70
100
否优秀有关系”？
下面的临界值表供参考：
【答案】（1）30,30；（2）3
5
；（3）能在犯错误概率不超过005．的前提下，认为“数
学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．
【解析】（1）分数在1200[13，）内的频率为()10.10.150.150.250.05-++++10.70.3=-=；分数在]130[150，内的频率为0.250.050.3+=；所以分数在1200[13，）内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为1000.330⨯=．
（2）依题意，1100[12，）分数段的人数为1000.1515⨯=（人）
1200[13，）
分数段的人数为1000.330⨯=（人） ∵用分层抽样的方法在分数段为1100[13，）
的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在1100[12，）分数段内抽取2人，并分别记为 m n ，；在1200[13，）
分数段内抽取4人，并分别记为 a b c d ，，，；
设“从样本中任取 2人，至多有1人在分数段1200[13，
）内”为事件A ，
则基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,m n m a m d n a n d a b c d ⋯⋯⋯,,,,共15种；
则事件 A 包含的基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,m n m a m b m c m d n a n b ,,()(),,,n c n d 共
9种；()93
155
P A ∴=
=． （3）()
2
210010302040 4.762 3.84130705050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.05的前
提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”． 20．（本小题满分12分）
已知直线
()1y k x =-与抛物线2:2C y px =相交于,P Q 两点，设 ,P Q 在该抛物线的准线上的射影分别是,P Q ''，则无论k 为何值，总有PP QQ PQ ''+=． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设点 A 为y 轴上异于原点的任意一点，过点 A 作抛物线 C 的切线l ，直线3x =分别与直线l 及 x 轴交于点M N ，，以MN 为直径作圆E ，过点
A 作圆 E 的切线，切点为
B ，试探究：当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？请证明你的结论．
【答案】（1）2
4y x =；（2）线段 AB 的长度不发生变化．
【解析】（1）设抛物线的焦点为F ，则PP QQ PF QF ''+=+， ∵PP QQ PQ ''+=，∴直线() 1y k x =-过抛物线的焦点， 从而抛物线的焦点为1,0（），抛物线方程为24y x =． （2）设 0A b （，）
，切线l 的方程为y kx b =+， 联立方程组24y kx b
y x
=+⎧⎨=⎩，消元得()222240k x kb x b +-+=，
∵直线 l 与抛物线 C 相切，
∴()2
22
2440kb k b ∆=--=，即
1kb =．∴1
k b
=． ∴直线 l 的方程为1
y x b b =+．令 3x =得 3
y b b
=+． ∴()33,,3,0M b N b ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭．
∴圆 E 的圆心为33,22b E b ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，半径322b r b =+
∴2
2
3922b AE b ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
．
∵ AB 是圆E 的切线，∴22222
6AB AE BE AE r =-=-=．
∴AB =
即点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不发生变化． 21．（本小题满分12分）
设a ∈R ，函数2()(ln ),e x f x ax x g x ax =-=-． （1）若函数()()2h x f x x =+，讨论()h x 的单调性．
（2）若()( )0f x g x ⋅>对 0(),x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
1
e 2e
a <<． 【解析】（1）()()2221
0ax x h x x x
+-'=>
①当 0a ＞时，480a ∆=+>
，2142x a a
-+-+=
=，
∴()h x
在10,2a ⎛- ⎝⎭
单调递减，在12a ⎛⎫
-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增； ②当0a =时，()21
x h x x
-'=
， ∴()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增；
③当1
02
a -<<时，480a ∆=+>
，x ==
∴()h x
在⎛ ⎝⎭
和⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
单调递减，在1122a a ⎛-+- ⎝⎭
单调递增； ④当1
2
a -
≤时，480a ∆=+≤，()0h x '≤恒成立，此时函数单调递减． （2）若()0f x >对()0,x ∈+∞恒成立，即2ln 0ax x ->对()0,x ∈+∞恒成立，
则2max
ln x a x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，设()()2ln 0x h x x x =>，则()3
12ln x h x x -'=， 当1
2
0e x <<时，()0h x '>，函数()h x 递增；
当1
2
e x >时，()0h x '<，函数()h x 递减， 所以当0x >时，()12max
1e 2e
h x h ⎛⎫==
⎪⎝⎭，∴1
2e a >． ∵()h x 无最小值，∴()0f x <对()0,x ∈+∞恒成立不可能． ∵()()0f x g x ⋅>对()0,x ∈+∞恒成立，∴()e 0x g x ax =->，
即e x
a x
<对()0,x ∈+∞恒成立．
设()()()2e 1e ,x x
x H x H x x x -'=∴=，当01x <<时，()0H x '<，函数()H x 递减；
当1x >时，0()H x '>，函数 ()H x 递增， ∴当0x >时，min (()e )1H x H ==，∴e a <．
综上可得，
1
e 2e
a <<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲
线1C
的极坐标方程是ρ=1
C
上各点的纵坐标都压缩为原来的2
倍，得到曲线2C ，直线l
的参数方程是0022
x x y y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t 为参数）．
（1）写出曲线1C 与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设00(),M x y ，直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，若8
3
MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直
角坐标方程．
【答案】（1）22
2
2
12:2,:12x C x y C y +=+=；（2）22163
x y +=
（取夹在平行直线y x =±之间的两端弧）．
【解析】（1）221:2C x y +=，
设点(),P x y ''是曲线2C
上任一点，则2
x x
y y '=⎧⎪⎨'=
⎪⎩
解得x x y '
=⎧⎪⎨
'=⎪⎩ ∴曲线2C 的直角坐标方程为：2
212
x y +=．
（2）由直线 l 与曲线2C
相交可得：2
22000032202
t x y +++-=， 2200228
83332
x y MA MB +-⋅=⇒=，即220026x y +=，
2226x y +=表示一椭圆，
取y x m =+代入2
212
x y +=，得：2234220x mx m ++-=，
由∆≥0
，得m ，
故点M 的轨迹是椭圆22
26x y +=
夹在平行直线 y x =± 23．（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x =+-．
（1）若()|1|f x m -≥恒成立，求实数m 的最大值M ；
（2）在（1）成立的条件下，正实数,,m n p 满足
3 2m n p M ++=，求证： 3mn np pm ++≤．
【答案】（1）2；（2）见解析．
【解析】（1）由已知可得12,0 1,012(,1)1x x f x x x x ->⎧⎪=<⎨⎪-⎩≤≥，所以min ()
1f x =， 由题意知，只需 ||11m -≤，解得111m --≤≤，02m ≤≤， 所以实数m 的最大值2M =． （2）证明： 3m n p ++=Q ，
2222() 2229m n p m n p mn np mp ∴++=+++++=，
,,m n p Q 为正实数，
∴由均值不等式，得22 2m n mn +≥（当且仅当
m n =时取等号）， 22 2n p np +≥（当且仅当n p =时取等号），22
2p m pm +≥（当且仅当p m =时取等号），
222 m n p mn np pm ∴++++≥（当且仅当m n p ==时取等号），
222
2 222933()3m n p m n p mn np pm mn np pm ++=+++++=++∴≥，
3mn np pm ∴++≤（当且仅当m n p ==时取等号）．。