江苏省南通市高2021届高2018级高三上学期新高考期中备考数学试卷Ⅰ及参考答案

(新高考)2020-2021学年上学期高三期中备考卷
数学
1
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数3
1i 2i
z a -=-为纯虚数，则实数a 的值为( )
A.1-
B.1
C.2-
D.2
【参考答案】D
【试题解答】由322
1i 1i (1i)(2i)2i 2i 2(2)i
2i 2i (2i)(2i)44a a a a a z a a a a a a
-+++++--++=====---+++为纯虚数， 可得20
20
a a -=⎧⎨
+≠⎩，解得2a =.
2.已知集合{|(2)(2)5}A x x x =+-<，2{|log ()1,}B x x a a =->∈N ，若A B =∅，则a
的可能取值组成的集合为( ) A.{0}
B.{1}
C.{0,1}
D.(,1)-∞
【参考答案】A
【试题解答】{|(2)(2)5}{|33}A x x x x x =+-<=-<<，
2{|log ()1,}{|2,}B x x a a x x a a =->∈=>+∈N N ，
因为A
B =∅，所以0a =.
3.为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客户中随机抽取500名客户的评分，评分均在区间[50,100]上，分组为[50,60)，[60,70)，
[70,80)，[80,90)，[90,100]，其频率分布直方图如图所示.规定评分在60分以下表示对该
公司的服务质量不满意，则这500名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为( )
A.15
B.16
C.17
D.18
【参考答案】A
【试题解答】由频率分布直方图可知，评分在区间[50,60)上的频率为
1(0.0070.020.030.04)100.03-+++⨯=，
所以评分在区间[50,60)上的客户有0.0350015⨯=(人)， 即对该公司的服务质量不满意的客户有15人.
4.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(1)0f -=，若3(log 8)a f =-，
2(log 4)b f =-，23
(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A.c a b <<
B.a b c <<
C.a c b <<
D.c b a <<
【参考答案】A
【试题解答】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减且(1)0f -=， 所以(1)0f =，
又23
21>，所以23
(2)0c f =<，
而321log 8log 42->->-=-，所以0b a >>，所以c a b <<.
5.已知四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，2AB DC =，0AD AB ⋅=，若
||2
||2AB AD ==，则AF DE ⋅=( )
A.
14
B.
12
C.
34
D.1
【参考答案】A
【试题解答】依题意，可知四边形ABCD 为直角梯形，AB DC ∥，AB AD ⊥，
且1113()2224DE DA AB DC AD AB =
++=-+，1
4
AF AD AB =+， 所以22113131
()()4242164
AF DE AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-+=-+=.
6.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1A D ，AC 上的点，且满足
13A D MD =，2AN NC =，则异面直线MN 与11C D 所成角的余弦值为( )
A.
25
B.
5 C.
3 D.
2 【参考答案】A
【试题解答】取线段AD 上一点E ，使2AE ED =，连接ME ，NE ，如图所示， 因为13A D MD =，2AN NC =，所以11
3
MD CN DE A D AC AD ===， 所以NE CD ∥，1NE AA ∥，
又11CD C D ∥，所以易知MNE ∠为异面直线MN 与11C D 所成的角. 设该正方体的棱长为3a ，则223EN CD a ==，11
3
ME AA a ==， 所以在MNE Rt △中，22MN ME EN =+=22(2)5a a a +=，
所以25cos 55EN MNE MN a
∠=
==
.
7.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线分别为1l ，2l ，点A 是x 轴上与坐标原点O 不
重合的一点，以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ，B ，交直线2l 于点O ，C ，若
2||3||BC OA =，则该双曲线的离心率是( )
A.
23
或3 B.2 C.
23
或2 D.3
【参考答案】C
【试题解答】由题意，不妨设1:b l y x a =，2:b
l y x a
=-， 设BOA θ∠=，则tan b
a
θ=
， 设||4(0)OA m m =>，由2||3||BC OA =，得||23BC m =， 由对称性知，BC OA ⊥，且线段BC 被OA 平分. 如图，设BC 与OA 交于点D ，则||3BD m =，连接AB ，
由于OA 为直径，所以OB AB ⊥，
则||||sin 4sin AB OA m θθ==，||||cos 4cos OB OA m θθ==，
由||||||||OA BD OA AB ⋅=⋅，得22
4316sin cos m m θθ=，3sin 22
θ=， 因为π02θ<<
，所以π23θ=或2π23θ=，即π6θ=或π23
θ=. 又tan b
a θ=
，所以33b a =或3b a
=.
当
3b a =时，223a b =，则22233a c a =-，离心率23
e =； 当
3b
a
=时，223b a =，则2223c a a -=，离心率2e =.
8.若函数2
()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )
A.(1,)e
B.1(,1)e
C.1(,)e
+∞
D.(,)e +∞
【参考答案】C
【试题解答】由题意知，2
()x f x m e
-'=-+，
当0m ≤时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，没有两个不同的零点； 当0m >时，2
()0x f x m e
-'=-+=，得2ln x m =+，
2ln x m >+，()0f x '>，函数()f x 在(2ln ,)m ++∞上单调递增； 2ln x m <+，()0f x '<，函数()f x 在(,2ln )m -∞+上单调递减，
故()f x 在2ln x m =+处取得最小值， 所以ln (2ln )(2ln )0m
f m m m e +=-++<，得1m e
>
， 所以m 的取值范围为1(,)e
+∞.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知241(3)x x
+的展开式中各项系数之和为A ，第二项的二项式系数为B ，则( ) A.256A =
B.260A B +=
C.展开式中存在常数项 D .展开式中含2x 项的系数为54 【参考答案】ABD
【试题解答】令1x =，得241(3)x x
+的展开式中各项系数之和为44256=，所以256A =， 选项A 正确；
241
(3)x x
+的展开式中第二项的二项式系数为14C 4=，所以4B =，260A B +=，选项B
正确；
241(3)x x +的展开式的通项公式为244831441C (3)()3C r r r r r r
r T x x x
---+==，
令830r -=，则8
3
r =，所以展开式中不存在常数项，选项C 错误；
令832r -=，则2r =，所以展开式中含2x 项的系数为42
243
C 54-=，选项
D 正确.
10.已知函数π
()sin()(03)4f x x ωω=+<≤的图象的一条对称轴为直线π
8
x =
，()f x '为函数()f x 的导函数，函数()()()g x f x f x '=+，则下列说法正确的是( )
A.直线π
8
x =
是()g x 图象的一条对称轴 B.()g x 的最小正周期为π C.π(,0)8
是()g x 图象的一个对称中心 D.()g x 的最大值为5
【参考答案】BD
【试题解答】因为π()sin()4f x x ω=+的图象的一条对称轴为直线π8
x =， 所以
πππ
π842
k ω+=+，k ∈Z ，所以82k ω=+，k ∈Z ， 又03ω<≤，所以2ω=，所以π()sin(2)4f x x =+，所以π
()2cos(2)4
f x x '=+，
所以π
π322
()sin(2)2cos(2)cos 2sin 244
22g x x x x x =+++=
-
1
5cos(2)(tan )3
x ϕϕ=+=，
ππ4k ϕ≠+，且3π
π4
k ϕ≠+，所以()g x 的最大值为5，最小正周期为π，故A 、C 错误，
B 、D 正确.
11.如图，直接三棱柱111ABC A B C -，ABC △为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且
12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，
则( )
A.FM 与BD 一定是异面直线
B.三棱锥D MEF -的体积为定值1
3
C.直线11B C 与BD 所成角为
π2
D.若D 为1AA 的中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球表面积为5π 【参考答案】BCD
【试题解答】A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故该说法错误； B 项，由已知可得111B F AC ⊥，
又平面ABC ⊥平面11CAA C ，所以1B F ⊥平面11CAA C ，
在矩形1AEFA 中，DEF △的面积111
21122
S EF A F =⨯⨯=⨯⨯=， 又111112B F AC ==，所以三棱锥D MEF -的体积1
111
11333
M DEF V S B F -=⨯=⨯⨯=， 所以该说法正确；
C 项，由1AA ⊥平面111A B C ，得111AA B C ⊥，
又1111B C A B ⊥，所以11B C ⊥平面11A B BA ，所以11B C BD ⊥，所以该说法正确； D 项，由题意可得四边形1BB FE 为矩形，连接BF ，
则矩形1BB FE 外接圆的圆心为BF 的中点1O ，且11O F O B == 过1O 作1O N EF ⊥与点N ，连接DN ，1O D ，
则11
2
O N =
，1DN =，1O N DN ⊥，故1O D =，
所以1O 就是四棱锥1D BB FE -的外接球的球心，所以外接球半径R = 故外接球的表面积2
4π5πS R ==，故该说法正确. 12.若存在两个不相等的实数1x ，2x ，使1x ，2x ，
12
2
x x +均在函数()f x 的定义域内，且满足1212()()
(
)22
x x f x f x f ++=
，则称函数()f x 具有性质T ，下列函数具有性质T 的是( ) A.()2x
f x = B.2
()|2|f x x x =- C.()lg f x x =
D.()sin f x x x =+
【参考答案】BD
【试题解答】对于A ，因为函数()f x 的定义域为R ，()20x
f x =>，
所以
1212()()2222x x f x f x ++=≥12
1222()2
x x x x f ++==， 由于12x x ≠，所以
1212()()()22
f x f x x x
f ++>恒成立，故A 不具有性质T ；
对于B ，函数()f x 的定义域为R ，取11x =21x =，则12
12
x x +=，
所以1212()()()12x x f x f x f +===，所以1212()()
()22
x x f x f x f ++=
成立，故B 具有性质T ；
对于C ，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当10x >，20x >时，12
2
x x +≥
由于12x x ≠，所以
12
2
x x +>()lg f x x =在(0,)+∞上单调递增， 所以1212()()()22
f x f x x x f ++<恒成立，故C 不具有性质T ；
对于D ，函数()f x 的定义域为R ，易知()f x 为奇函数，
取210x x =-≠，则1202x x +=，所以21()()0f x f x +=，12()(0)02
x x
f f +==， 所以1212()()
()22
x x f x f x f ++=
成立，故D 具有性质T .
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6，7，8，9，10这
5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为 .
【参考答案】
1
10
【试题解答】从6，7，8，9，10这5个正整数中随机抽取3个数，
可能的情况有(6,7,8)，(6,7,9)，(6,7,10)，(6,8,9)，(6,8,10)，(6,9,10)，(7,8,9)，
(7,8,10)，(7,9,10)，(8,9,10)共10种，
其中恰好构成勾股数的情况有1种，为(6,8,10)， 所以所求概率为
110
.
14.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，且离心率2
3
e =，点P 是
椭圆上位于第二象限内的一点，若12PF F △是腰长为4的等腰三角形，则12PF F △的面积为 .
【试题解答】由题意知24c =，则2c =， 又2
3
c e a =
=，∴3a =，由椭圆的定义得12||||26PF PF a +==， 又12PF F △是腰长为4的等腰三角形，且点P 在第二象限，∴2||4PF =，1||2PF =， 过2F 作21F D PF ⊥于点D ，则||1PD =
，2||DF ∴12PF F △
的面积为
1
22
⨯=15.已知正实数a ，b 满足2
(2)4ab a b +=，则a b +的最小值为 . 【参考答案】2
【试题解答】由2
(2)4ab a b +=，得24(2)a a b b
+=
，
故2
2
224()(2)4a b a a b b b b +=++=+≥(
当且仅当b =
，2a =时取等号)， 所以a b +的最小值为2.
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，111
22
n n a a +=
+，则n S = ；若1
2
n n S na t ≤+恒成立，则实数t 的取值范围为 .(本题第一空2分，第二空3分)
【参考答案】1
2(1)2
n n +-，[4,)+∞
【试题解答】由12a =，11122n n a a +=+，得11
1(1)2
n n a a +-=-，111a -=，
所以数列{1}n a -是首项为1，公比为1
2
的等比数列，
所以111111()22n n n a ---=⨯=，11
12
n n a -=+，
12211111112(1)2(1)222122n
n n n n
S a a a n n n --=+++=+++++=+=+--.
又12n n n na n -=+
，所以11112(1)()2(1)2222n n n n n n n t S na n n -+≥-=+--+=-恒成立， 即1
4(1)2n n t +≥-，n *∈N 恒成立.
令12n n n b +=，则111210222n n n n n n n n
b b +++++-=-=-<，所以{}n b 是递减数列，
所以1012n n +<≤，1
0112
n n +≤-<，即4t ≥，
实数t 的取值范围为[4,)+∞.
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在①1
cos 3
B =
，②2b =，ABC △的周长为8，③3c =，ABC △的外接圆半径为2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2cos b a C =， ?，求sin A . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【参考答案】见解析. 【试题解答】若选条件①，
由正弦定理2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又()B A C π=-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，
sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=， sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，
因为0πA <<，0πC <<，所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，
则22
cos cos(π)cos(π2)cos 2(12sin )2sin 1B A C A A A A =--=-=-=--=-，
又1cos 3B =
，所以212sin 13A -=，22
sin 3
A =，sin A =.
若选条件②，
由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又π()B A C =-+，
所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=，
sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，
因为0πA <<，0πC <<，
所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，所以a c =， 因为ABC △的周长为8，2b =，所以3a c ==，
由余弦定理可得2223231cos 2233
A +-==⨯⨯，所以sin 3A =.
若选条件③，由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =， 又π()B A C =-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，
sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=， sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，
因为0πA <<，0πC <<，
所以ππA C -<-<，0A C -=，A C =，所以a c =， 又3c =，所以3a =，
因为ABC △的外接圆半径为2，所以
34sin A =，所以3
sin 4
A =. 18.(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122(2,)n n S S n n *
-=+≥∈N ，数列{}n b 中，
1122a b ==.
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)若2211n n b b -=+，212n n n b b a +=+，求数列{}n b 的前10项和.
【参考答案】(1)2n
n a =；(2)139.
【试题解答】(1)由122(2)n n S S n -=+≥①，可得1222(3)n n S S n --=+≥②， ①-②1122()n n n n S S S S ----=-，所以12(3)n n a a n -=≥， 又21122a a a +=+，12a =，所以24a =，所以212a a =，
故{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n
n a =.
(2)由题意得2211n n b b --=，2122n n n b b +-=，所以212112n
n n b b +--=+，
则1212312n n n b b ----=+，2232512n n n b b ----=+，…，2
5312b b -=+，13112b b -=+，
所以112
1
2112(12)
1(222)123(2)12
n n n n b b n n n n -----=-+++
+=-+=+-≥-，
所以2122(2)n n b n n -=+-≥，所以221(2)n
n b n n =+-≥， 所以1
221223(2)n n n b b n n +-+=+-≥，易得12b b +也适合上式，
所以{}n b 的前10项和为23612910(222)(117)139b b b b ++++=++
++-+++=.
19.(12分)在一场青年歌手比赛中，由20名观众代表平均分成A ，B 两个评分小组，给参赛选手评分，下面是两个评分小组对同一名选手的评分情况：
(1)分别计算这两个小组评分的平均数和方差，并根据结果判断哪个小组评分较集中； (2)在评分较集中的小组中，去掉一个最高分和一个最低分，从剩余的评分中任取2名观众的评分，记X 为这2个人评分之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.
【参考答案】(1)9.1A x =，20.266A s =；9.0B x =，2
0.056B s =；B 组的评分更集中一些；
(2)分布列见解析；67
280
EX =. 【试题解答】(1)1
(8.39.39.69.48.59.68.88.49.49.7)9.110
A x =
+++++++++=； 1
(8.69.19.28.89.29.19.29.38.88.7)9.010B x =+++++++++=. 22221
[(8.39.1)(9.39.1)(9.79.1)]0.26610A s =-+-++-=； 2
2221
[(8.69.0)(9.19.0)(8.79.0)]0.05610
B s =-+-++-=. 根据方差的概念及实际含义可知，B 组的评分的几种程度更高一些. (2)从B 组评分中去掉一个最高分9.3，去掉一个最低分8.6， 易知X 的所有可能取值为0，0.1，0.3，0.4，0.5.
从8人的评分中任取2人的评分，共有2
8C 28=种等可能的结果，
把B 组成绩按照从大到小排成一列为8.7，8.8，8.8，9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，
则222223C C C 5(0)2828P X ++===，1211
1223
C C C C 82(0.1)28287
P X +==
==，
12
22
C C 41(0.3)28287P X ====，11111223C C C C 82(0.4)28287P X +====，
1113
C C 3(0.5)2828
P X ===，
所以X 的分布列是
X 的数学期望5212367
00.10.30.40.52877728280
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=
. 20.(12分)如图，在多面体ABCDP 中，ABC △是边长为4的等边三角形，PA AC =，
22BD CD ==，42PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC .
(1)求证：DE ∥平面PAC ；
(2)线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由.
【参考答案】(1)证明见解析；(2)当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角.
【试题解答】(1)因为22BD CD ==ABC △是边长为4的等边三角形，
所以22222
(22)(22)16BD CD BC +=+==，
所以BDC △是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒. 又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥， 因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC
平面ABC BC =，所以DE ⊥平面ABC .
因为42PC PB ==，4PA AC AB ===，
所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==， 所以PA AC ⊥，PA AB ⊥， 又AC
AB A =，所以PA ⊥平面ABC ，所以DE PA ∥，
因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，所以DE ∥平面PAC .
(2)存在满足题意的T ，连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设存在(,0,0)T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤， 设平面BAD 的法向量为1111(,,)x y z =n ， 则由(2,0,2)BD =
，(0,2)AD =-
，得11110
x z z +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩，
令11z =，得11x =-
，1y =
，故1(=-n ； 设平面TAD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则由(,0,2)DT λ=-
，(,AT λ=-，
由212220
x z x λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=
，2y =
22(λ=n ，
由122
1
cos ,0-
+
+〈〉=
=n n ，得12103λ-+=，故32λ=， 所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角.
21.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22
222:1x y C c b
+=，
其中0a c b >>>，222
a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e
，且满足12:e e =A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且18||5
PB =
.
(1)求椭圆1C 的方程；
(2)与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求||MN 的最大值.
【参考答案】(1)2193
x y 2+=；32.
【试题解答】(1)由题意知1c
e a =，222222c b c a e --==， 因为12:3e e =22232c c a a -=，222
223c a c -，
将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=， 即2
2
2
2
(2)(23)0a c a c --=，所以22
32
a c =， 又222a
b
c =+，所以3a b =，2c b =
，所以2,0)A b ，(0,)B b -，
所以直线AB 的方程为2
y x b =
-， 与椭圆22122:13x y C b b
+=联立并消去y ，得2
2223()3x x b b +-=， 整理得10x =，2625x b =
，所以62(,)55
b b
P ， 因为18||5PB =226218(0)()555
b b b -++=， 得3b =
3a =，
椭圆1C 的方程为2193
x y 2
+=.
(2)当直线MN 的斜率不存在时，易得||2MN =.
当直线MN 的斜率存在时，设直线:(0)MN y kx m k =+≠，与椭圆22
2:163
x y C +=联立并消去y ，
得2
2
2
(12)4260k x kmx m +++-=，
因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以2
2
2
2
164(12)(26)0Δk m k m =-+-=， 整理得22630k m +-=(*)，
将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得2
2
2
(13)6390k x kmx m +++-=， 由(*)式可得2
2
2
2
2
2
2
364(13)(39)12(93)36Δk m k m k m k =-+-=+-=.
设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，则2
613M N km
x x k
-+=+，223913M N m x x k -=+，
所以2|||13M N MN x x k =-==+，
设2
13k t +=，则1t >，||MN ==≤
，22<，
所以当4t =，即1k =±时，||MN 最大，且最大值为
2
. 22.(12分)已知函数()ln x
f x x x ae a =-+，其中a ∈R . (1)若()f x 在定义域内是单调函数，求a 的取值范围；
(2)当1a =时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立. 【参考答案】(1)1[,)e
+∞；(2)证明见解析.
【试题解答】(1)因为()ln x
f x x x ae a =-+，所以()ln 1x
f x x ae '=+-， 要使()f x 在定义域内是单调函数，需满足()0f x '≥或()0f x '≤. ①若()0f x '≥，则ln 1
x
x a e +≤
，
令ln 1
()(0)x x G x x e +=>，得1
ln 1
()x
x x G x e
--'=， 易知(1)0G '=，且函数1
ln 1y x x
=--在(0,)+∞上单调递减，
当0x >时，1x e >，所以在区间(0,1)上，()0G x '>；在(1,)+∞上()0G x '<，
所以ln 1
()x x G x e +=
在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 此时ln 1
()x
x G x e
+=无最小值，不满足题意； ②若()0f x '≤，则ln 1
x
x a e
+≥， 由①知，()G x 的最大值为1
(1)G e
=，
所以当1
a e
≥时，()f x 在定义域上单调递减，满足题意.
综上，a 的取值范围是1
[,)e
+∞.
(2)当1a =时，()ln 1x
f x x x e =-+，要证()cos f x x <，即证ln cos 1x x x e x <+-， 当01x <≤时，ln 0x x ≤，而cos 11cos11cos10x e x +->+-=>， 所以ln cos 1x x x e x <+-成立，即()cos f x x <成立.
当1x >时，令()cos ln 1(1)x
h x e x x x x =+-->，则()sin ln 1x
h x e x x '=---， 设()sin ln 1(1)x
g x e x x x =--->，则1()cos x g x e x x
'=--， ∵1x >，所以1
()cos 110x g x e x e x
'=--
>-->，所以当1x >时，()g x 单调递增， 所以()sin 10g x e x >-->，即()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()cos110h x e >+->，即()cos f x x <成立. 综上，对任意(0,)x ∈+∞，恒有()cos f x x <成立.。