江苏省盐城市东台市创新学校高二数学上学期9月月考试

2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高二（上）9月月考数学
试卷
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．点P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的区域内，则实数b的范围是．2．已知xy=4 （x＞0，y＞0），x+y的最小值是M，则M= ．
3．函数y=lg（2x﹣x2）的定义域是．
4．不等式≥0的解集为．（用区间表示）
5．函数f（x）=x+（x≠0）的值域为．
6．如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．
7．函数f（x）=kx+1 在上恒为正数，则实数k的范围是．
8．已知集合A={y|y=|x|，x∈R}，B={y|y=1﹣2x﹣x2}，则A∩B= ．
9．若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= ．
10．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a= ．
11．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的函数序号是．
（1）y=x+；（2）y=lgx+；（3）y=；（4）y=x2﹣2x+3．
12．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为．
13．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，
则的取值范围是．
14．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是．
二、解答题（共90分）
15．已知函数f（x）=﹣x2+5x﹣6，求：
（1）y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标x的集合；
（2）y=f（x）的图象在x轴上方时横坐标x的集合；
（3）y=f（x）的图象恒在直线y=a+1下方时横坐标x的集合．
16．过点P（1，2）的直线l与x轴和y轴的交点分别为A（a，0）；B（0，b）（其中a＞0，b ＞0），分别求满足下列条件的直线l的方程．
（1）a=b；
（2）三角形AOB的面积最小．
17．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．如何安排生产该企业可获得最大利润？最大利润为多少？
18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）m=时，写出不等式：f（）＜0的解集；
（2）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．
19．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3）．（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．
20．已知不等式（2+x）（3﹣x）≥0的解集为A，函数f（x）=（k＜0）的定
义域为B．
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，试求实数k的取值范围；
（3）若B=且x1＜x2，又（x1+1）（x2+1）=﹣4，求x2﹣x1的值．
2014-2015学年江苏省盐城市东台市创新学校高二（上）9月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．点P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的区域内，则实数b的范围是b＜4 ．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：不等式的解法及应用．
分析：根据点P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0所表示的平面区域内，将点的坐标代入，列出关于b的不等式，求出实数b的取值范围．
解答：解：∵P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的区域内，
∴﹣2+6﹣b＞0，
解得b＜4，
则实数b的范围是b＜4，
故答案为：b＜4．
点评：考查二元一次不等式（组）与平面区域，理解二元一次不等式表示的平面区域，会利用数形结合的数学思想解决问题．
2．已知xy=4 （x＞0，y＞0），x+y的最小值是M，则M= 4 ．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：根据不等式x+y求解即可．
解答：解：∵xy=4 （x＞0，y＞0），
x+y=2=4，（x=y=2时等号成立）
∴x+y的最小值是4，
故答案为：4
点评：本题考查了基本不等式的运用，属于容易题．
3．函数y=lg（2x﹣x2）的定义域是（0，2）．
考点：对数函数的定义域．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接由对数式的真数大于0，然后求解二次不等式得答案．
解答：解：由2x﹣x2＞0，得x2﹣2x＜0，
解得0＜x＜2，
∴函数y=lg（2x﹣x2）的定义域是（0，2）．
故答案为：（0，2）．
点评：本题考查了对数型函数的定义域的求法，考查了二次不等式的解法，是基础题．4．不等式≥0的解集为∪∪∪上恒为正数，则实数k的范围是（﹣1，1）．
考点：一次函数的性质与图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=kx+1 在上恒为正数，则，解得实数k的范围．
解答：解：函数f（x）=kx+1 在上恒为正数，
则，
即，
解得：k∈（﹣1，1），
故实数k的范围是（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）
点评：本题考查的知识点是一次函数的性质与图象，其中根据已知得到，是解答的关键．
8．已知集合A={y|y=|x|，x∈R}，B={y|y=1﹣2x﹣x2}，则A∩B= {y|0≤y≤2} ．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：由y=|x|求出集合A，利用配方法和二次函数的求出集合B，再由交集的运算求A∩B．解答：解：由y=|x|≥0得，则集合A={y|y≥0}，
由y=1﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+2≤2得，则B={y|y≤2}，
所以A∩B={y|0≤y≤2}，
故答案为：{y|0≤y≤2}．
点评：本题考查交集及其运算，以及函数的值域，属于基础题．
9．若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= 2 ．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：由二次不等式的解集形式，判断出 1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m 的值．
解答：解：∵ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），，
∴a＞0，
1，m是相应方程ax2﹣6x+a2＜0的两根，
解得 m=2；
故答案为：2．
点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．
10．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a= 3 ．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．
解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4
当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．
∵x=a处取最小值，
∴a=3
故答案为：3
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．
11．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的函数序号是（4）．
（1）y=x+；（2）y=lgx+；（3）y=；（4）y=x2﹣2x+3．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据基本不等式，对钩函数的单调性分别求出最值，及范围即可判断．
解答：解：∵x＞0，
∴y=x+=4，（x=2时等号成立），
∵y=lgx+；
∴gx+≥2（x＞1）或lgx+≤﹣2，（0＜x＜1）
∵y=（x＞0），
∴＞2，
∵y=x2﹣2x+3，（x＞0），
∴当x=1时，最小值为1﹣2+3=2，
最小值为2的函数序号（4），
故答案为：（4）
点评：本题考察了函数的单调性，基本不等式的应用属于中档题．
12．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为2500m2．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题；应用题．
分析：设出宽，进而可表示出长，利用矩形面积公式求得面积的表达式，进而利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值．
解答：解：设每个小矩形的高为am，则长为b=（200﹣4a），记面积为Sm2
则S=3ab=a•（200﹣4a）=﹣4a2+200a（0＜a＜50）
∴当a=25时，S max=2500（m2）
∴所围矩形面积的最大值为2500m2
故答案为：2500m2
点评：本题主要考查了函数的最值在实际中的应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，设出自变量和因变量，将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键．
13．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是．
考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入
分析比较后，即可得到的取值范围．
解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式
当x=1，y=1时，=﹣1×1+1×1=0
当x=1，y=2时，=﹣1×1+1×2=1
当x=0，y=2时，=﹣1×0+1×2=2
故和取值范围为
故答案为：．
点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．
14．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．
解答：解：∵x＞0，
∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），
∴=≤=，即的最大值为，
故答案为：a≥
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．
二、解答题（共90分）
15．已知函数f（x）=﹣x2+5x﹣6，求：
（1）y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标x的集合；
（2）y=f（x）的图象在x轴上方时横坐标x的集合；
（3）y=f（x）的图象恒在直线y=a+1下方时横坐标x的集合．
考点：二次函数的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）解方程﹣x2+5x+6=0即可；
（2）解﹣x2+5x+6＞0即可；
（3）由f（x）=﹣x2+5x﹣6≤﹣（x﹣）2﹣6+=﹣（x﹣）2+，从而求a．
解答：解：（1）由﹣x2+5x+6=0解得，
x=6或x=﹣1；
故y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标x的集合为{6，﹣1}；
（2）由﹣x2+5x+6＞0解得，
﹣1＜x＜6；
故y=f（x）的图象在x轴上方时横坐标x的集合为{x|﹣1＜x＜6}；
（3）∵f（x）=﹣x2+5x﹣6≤﹣（x﹣）2﹣6+
=﹣（x﹣）2+；
∴a+1＞，
故a＞﹣．
点评：本题考查了二次函数的性质应用，属于基础题．
16．过点P（1，2）的直线l与x轴和y轴的交点分别为A（a，0）；B（0，b）（其中a＞0，b ＞0），分别求满足下列条件的直线l的方程．
（1）a=b；
（2）三角形AOB的面积最小．
考点：直线的一般式方程．
专题：直线与圆．
分析：（1）当a=b时可设直线的方程为+=1，代点可得a值，可得方程；
（2）由题意易得+=1，由基本不等式可得ab≥8，当且仅当=即a=2且b=4时取等号，由此可得直线方程．
解答：解：（1）当a=b时可设直线的方程为+=1，
代入点P（1，2）可得=1，解得a=3，
∴直线l的方程为x+y﹣3=0；
（2）由题意可得直线的方程为：+=1，
由直线过点P（1，2）可得+=1，
∵a＞0，b＞0，∴1=+≥2，
∴≥2，∴ab≥8，
当且仅当=即a=2且b=4时取等号，
∴三角形AOB的面积S=ab≥4，
∴当三角形AOB的面积取最小值4时，
直线方程为+=1即2x+y﹣4=0．
点评：本题考查直线的一般式方程，涉及截距式方程和基本不等式，属基础题．
17．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．如何安排生产该企业可获得最大利润？最大利润为多少？
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：应用题；不等式的解法及应用．
分析：先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．
解答：解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，
则该企业可获得利润为z=5x+3y，
且，
联立，
解得 x=3 y=4，
由图可知，最优解为P（3，4），
∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．
故答案为：27万元．
点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．
18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．
（1）m=时，写出不等式：f（）＜0的解集；
（2）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）当m=时，f（x）=x2﹣x﹣1，令f（x）＜0，解得：x∈（﹣1，2），若f（）
＜0，则∈（﹣1，2），进而可得不等式：f（）＜0的解集；
（2）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，分m=0和m≠0两种情况讨论满足条件的m的取值，最后综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（1）当m=时，f（x）=x2﹣x﹣1，
令f（x）＜0，即x2﹣x﹣1＜0，
解得：x∈（﹣1，2），
若f（）＜0，则∈（﹣1，2），
解得：x∈
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次不等式，恒成立问题，是函数与不等式的综合应用，难度中档．
19．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3）．（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3，由韦达定理求得b=﹣4a﹣4，c=3a，可得f（x）=ax2﹣4（a+1）x+3a．再根据△=16（a+1）2﹣36a2=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）由题意可得＞0，再由a＜0可得 a2+8a+4＞0，由此求得a的范围．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3，即ax2+（b+4）x+c=0两个根是1，3，故由韦达定理可得﹣=4，=3，
∴b=﹣4a﹣4，c=3a，f（x）=ax2﹣4（a+1）x+3a．
再根据方程f（x）+6a=0，即ax2﹣4（a+1）x+9a=0有两个相等的实根，
∴△=16（a+1）2﹣36a2=0，解得a=﹣，
∴f（x）=﹣x2﹣x﹣．
（2）由于f（x）=ax2﹣4（a+1）x+3a 的最大值为正数，可得＞0，即
＜0，
再由a＜0可得 a2+8a+4＞0，求得 a＜﹣4﹣2，或﹣4+2＜a＜0，
即a的范围是：{a|a＜﹣4﹣2，或﹣4+2＜a＜0 }．
点评：本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．
20．已知不等式（2+x）（3﹣x）≥0的解集为A，函数f（x）=（k＜0）的定
义域为B．
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，试求实数k的取值范围；
（3）若B=且x1＜x2，又（x1+1）（x2+1）=﹣4，求x2﹣x1的值．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据不等式的解法即可求集合A；
（2）根据B⊆A，建立条件关系即可求实数k的取值范围；
（3）根据根与系数之间的关系即可求x2﹣x1的值
解答：解：（1）由（2+x）（3﹣x）≥0得﹣2≤x≤3，即A=．
（2）要使函数有意义，则kx2+4x+k+3≥0，
若B⊆A，设g（x）=kx2+4x+k+3，（k＜0），
则满足，
即，
解得﹣4≤k≤．
（3）要使函数有意义，则kx2+4x+k+3≥0，
若B=且x1＜x2＜0，
则x1，x2是方程kx2+4x+k+3=0的两个根且x1＜x2＜0，
则x1+x2=，x1x2=，
∵（x1+1）（x2+1）=4，
∴x1x2+x1+x2=3，
即==3，
则k=．
则x1+x2==8，x1x2==﹣5，
则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=64﹣4×（﹣5）=84，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
则x1﹣x2==﹣．
点评：本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求解，综合考查函数的应用．。