湖南师范大学2010年 量子力学考研真题

2011年全国硕士研究生入学考试
自命题科目试题册
业务课代码：725
业务课名称：量子力学
满分：150分 考试时间：3小时 考生须知：1、答案必须写在答题纸上，写在其他纸上无效。

2、答题时必须使用黑色水笔作答，用其他笔答题不给分。

不得使用涂改液。

_______________________________________________________________________________ 、 一、名词解释（共30分，每题5分）
1、波函数；
2、Schrodinger ；
3、海森堡测不准关系；
4、自发辐射；
5、电子的自旋；
6、力学量的表象。

二、证明题（本题40分，每小题10分）
1、定义反对易[]BA AB B A +=+,,证明[][][]B C A C B A C AB ++-=,,,
2、已知p r L ⨯=，试证明：[][]z i y L L i L L x z y x ==,,,。

3、对于Pauli 算符{}z y x σσσ,,，设)(z f σ是一个可以展开成z σ的幂函数的任意 函数，证明y x z z i f f σσσσσσσ±=±=±±±其中),2()(
4、已知力学量A 是一个不显含时间的力学量，并且与系统的Hamiltonian 对易， 证明力学量A 在任何量子态)(t ψ的平均值都不随时间改变。

三、计算题（共80分，每小题20分）
1、已知一维谐振子的坐标和动量可用产生和湮灭算符表示为
)(2十∧∧∧
-=a a m x ω ， )(2十
∧∧∧--=a a m i p ω 设谐振子初始时刻的波函数为2/)10()0(+=ψ，试求：
（1）谐振子在任意时刻t 的波函数；（2）在任意时刻t 谐振子坐标的平均值；
（3）在任意时刻t 谐振子坐标的涨落。

2、设粒子处于一维δ势阱中，势函数为)0(),()(>-=γγδx x V ，求粒子的束缚 态波函数和对应的能量本征值。

3、求自旋算符z s 的本征态)(2/1z s χ，并计算在)(2/1z s χ态下自旋算符y s s x 和的涨落。

4、设体系的Hamiltonian 可分解为两部分H H H '+=0,其中0H 是精确可解的并 且是非简并的，H '是微扰部分。

试推导非简并微扰理论中H 的能量本征值和 本征函数的表达式（精确到一级近似）。