初三+圆难题压轴题答案解析+
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∴由切线长定理得：∠ POH= （ 180°﹣60°）=60 °．
∵ PH=1 ，
∴tan∠POH= = = ．
∴OH= ．
∴点 P 的坐标为（ ，﹣ 1）．
同理可得： 当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（﹣
，1）；
当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（﹣ ，﹣ 1）； ②若圆 P 与直线 l 和 l1 都相切，如图 2 所示．
，
∴△ PBG≌△ PBF（ SAS）， ∴PG=PF．
4. 解：（ 1）∵ l 1⊥ l2，⊙ O 与 l 1， l2 都相切， ∴∠ OAD=45 °， ∵AB=4 cm ，AD=4cm ， ∴CD=4 cm ，AD=4cm ， ∴tan∠DAC= = = ， ∴∠ DAC=60 °， ∴∠ OAC 的度数为：∠ OAD+ ∠ DAC=105 °， 故答案为： 105；
综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时，∠ APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为（ 0， ）和（ 0，﹣ ）．
7．解答： 证明：（ 1）如图，连接 PM， PN， ∵⊙ P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N， ∴PM ⊥ MF ，PN ⊥ON 且 PM=PN ， ∴∠ PMF =∠ PNE=90°且∠ NPM =90°，∵ PE⊥ PF， ∠NPE =∠ MPF =90°﹣∠ MPE ，
同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（ ， 1）；
当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（﹣ 当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（﹣
，1）； ，﹣ 1）；
当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为（ ，﹣ 1）． ③若圆 P 与直线 l1 和 l 2 都相切，如图 3 所示． 同理可得：
∴
=（ ） 2．
＜ t＜ 2+2 ．
∵AD=4 ， AB=3 ， ∴BD=5 ，
2
S△CFE=（ ） ?S△DAB
= × ×3×4
=
．
∴S 矩形 是矩形， ∴FC∥ EG． ∴∠ FCE=∠ CEG． ∵∠ GDC= ∠ CEG，∠ FCE= ∠ FDE， ∴∠ GDC= ∠ FDE ． ∵∠ FDE+ ∠ CDB=90 °， ∴∠ GDC+ ∠ CDB=90 °． ∴∠ GDB=90 ° Ⅰ．当点 E 在点 A （ E′）处时，点 F 在点 B（ F′）处，点 G 在点 D（ G′处，如图 2① 所示． 此时， CF=CB=4 ． Ⅱ．当点 F 在点 D（ F″）处时，直径 F″G″⊥ BD ， 如图 2② 所示，
∴使∠ APB=30 °的点 P 有无数个． 故答案为：无数．
（2） ① 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 过点 C 作 CG⊥ AB ，垂足为 G，如图 1． ∵点 A （1， 0），点 B（ 5， 0）， ∴OA=1 ， OB=5 ． ∴AB=4 ． ∵点 C 为圆心， CG⊥ AB ，
∴AG=BG= AB=2 ．
在△ PMF 和△ PNE 中，
，∴△ PMF ≌△ PNE（ASA），
∴PE =PF ， （2）解：①当 t＞ 1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图， 由（ 1）得△ PMF ≌△ PNE，∴ NE=MF =t， PM=PN=1 ， ∴b=OF=OM +MF =1+ t， a=NE﹣ ON=t ﹣ 1， ∴b﹣ a=1+ t﹣（ t ﹣ 1） =2 ，∴ b=2+ a， ②0＜ t≤１时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，
当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（
， 0）；
当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（﹣
， 0）；
当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（ 0， 2）； 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（ 0，﹣ 2）． 综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：
×42．
∴
≤S 矩形 ABCD ≤12．
∴矩形 EFCG 的面积最大值为 12，最小值为
．
② ∵∠ GDC= ∠ FDE= 定值，点 G 的起点为 D，终点为 G″， ∴点 G 的移动路线是线段 DG ″． ∵∠ GDC= ∠ FDE ，∠ DCG ″=∠A=90 °， ∴△ DCG ″∽△ DAB ．
圆难题压轴题答案解析
1. 解：（ 1）如图 1，设⊙ O 的半径为 r， 当点 A 在⊙ C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H， ∴ BH=AB?cosB=4 ， ∴ AH=3 ， CH=4，
∴ AC=
=5，
∴此时 CP=r=5 ； （ 2）如图 2，若 AP∥ CE，APCE 为平行四边形， ∵ CE=CP ， ∴四边形 APCE 是菱形， 连接 AC 、 EP，则 AC ⊥ EP， ∴ AM=CM= ， 由（ 1）知， AB=AC ，则∠ ACB= ∠ B ，
此时⊙ O 与射线 BD 相切， CF=CD=3 ． Ⅲ．当 CF⊥ BD 时， CF 最小，此时点 F 到达 F″，′ 如图 2③ 所示．
S△BCD = BC ?CD= BD ?CF″．′
∴4×3=5×CF″′ ∴CF″=′ ．
∴ ≤CF ≤4．
∵S 矩形 ABCD =
，
∴ ×（
）
2
≤S
矩形 ABCD ≤
（3）当过点 A 、B 的⊙ E 与 y 轴相切于点 P 时，∠ APB 最大． ① 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 连接 EA ，作 EH ⊥x 轴，垂足为 H，如图 2． ∵⊙ E 与 y 轴相切于点 P， ∴PE⊥OP ∵EH ⊥ AB ， OP⊥ OH， ∴∠ EPO=∠ POH= ∠ EHO=90 °． ∴四边形 OPEH 是矩形． ∴OP=EH ， PE=OH=3 ∴EA=3 ． ∵∠ EHA=90 °， AH=2 ，EA=3 ，
（2）如图位置二，当 O1， A 1， C1 恰好在同一直线上时，设⊙ 连接 O1E，可得 O1E=2， O1E⊥ l 1， 在 Rt△ A 1D 1C1 中，∵ A1D1=4， C1D 1=4 ， ∴tan∠C1A 1D 1= ，∴∠ C1A 1D 1=60°， 在 Rt△ A 1O1E 中，∠ O1A 1E=∠ C1A 1D1=60 °，
∴该图形的周长 =12×（ ﹣ ） =8 ．
3. （1）解：连接 OB ， OD ，
∵∠ DAB=120 °，∴ 所对圆心角的度数为 240°，
∴∠ BOD=120 °， ∵⊙ O 的半径为 3，
∴劣弧 的长为：
×π3×=2 π；
（2）证明：连接 AC ， ∵AB=BE ，∴点 B 为 AE 的中点， ∵F 是 EC 的中点，∴ BF 为△ EAC 的中位线， ∴BF= AC ，
∴ CP=CE=
=，
∴ EF=2
=；
（ 3）如图 3：过点 C 作 CN⊥AD 于点 N ，
∵ cosB= 4 ， 5
∴∠ B＜ 45°， ∵∠ BCG＜ 90°， ∴∠ BGC＞ 45°， ∵∠ AEG= ∠ BCG≥ ∠ ACB= ∠ B， ∴当∠ AEG= ∠ B 时， A 、 E、G 重合， ∴只能∠ AGE= ∠ AEG ， ∵ AD ∥ BC ， ∴△ GAE ∽△ GBC ，
∴EH=
=
= ∴OP= ∴P（ 0， ）． ② 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P（ 0，﹣ ）． 理由： ① 若点 P 在 y 轴的正半轴上， 在 y 轴的正半轴上任取一点 M （不与点 P 重合）， 连接 MA ， MB ，交⊙ E 于点 N，连接 NA ，如图 2 所示． ∵∠ ANB 是 △ AMN 的外角， ∴∠ ANB ＞∠ AMB ． ∵∠ APB= ∠ ANB ， ∴∠ APB ＞∠ AMB ． ② 若点 P 在 y 轴的负半轴上， 同理可证得：∠ APB ＞∠ AMB ．
∵=，
∴+=+ ，
∴=， ∴BD=AC ，
∴BF= BD ；
（3）解：过点 B 作 AE 的垂线，与⊙ O 的交点即为所求的点 P， ∵BF 为△ EAC 的中位线， ∴BF ∥AC ， ∴∠ FBE= ∠ CAE ， ∵=， ∴∠ CAB= ∠DBA ， ∵由作法可知 BP⊥ AE ， ∴∠ GBP= ∠ FBP， ∵G 为 BD 的中点， ∴BG= BD ， ∴BG=BF ， 在△ PBG 和△ PBF 中，
在 Rt△ A 2O2F 中， O2F=2，∴ A 2F=
，
∵OO2=3t， AF=AA 2+A 2F=4t 1+
，
∴4t 1+
﹣ 3t1=2，
∴t1=2 ﹣
，
②当直线 AC 与⊙ O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1， A 1， C1 共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
（ ，﹣ 1）、（﹣ ， 1）、（﹣ ，﹣ 1）、
（ ， 1）、（﹣ ， 1）、（﹣ ，﹣ 1）、（ ，﹣ 1）、
（ ， 0）、（﹣
， 0）、（0， 2）、（ 0，﹣ 2）．
（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图
4 所示．
由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，
由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．
∴OG=OA+AG=3 ． ∵△ ABC 是等边三角形， ∴AC=BC=AB=4 ．
∴CG=
=
=2 ． ∴点 C 的坐标为（ 3， 2 ）． 过点 C 作 CD ⊥ y 轴，垂足为 D ，连接 CP2，如图 1， ∵点 C 的坐标为（ 3， 2 ），
∴CD=3 ， OD=2 ． ∵P1、 P2 是⊙ C 与 y 轴的交点， ∴∠ AP1B= ∠AP 2B=30 °． ∵CP2=CA=4 ， CD=3 ，
O1 与 l1 的切点为 E，
∴A 1E=
=，
∵A 1E=AA 1﹣ OO1﹣2=t﹣ 2， ∴t﹣ 2= ，
∴t= +2， ∴OO1=3t=2 +6；
（3）①当直线 AC 与⊙ O 第一次相切时，设移动时间为 t1， 如图，此时⊙ O 移动到⊙ O2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A 2B2C2D2 的位置， 设⊙ O2 与直线 l1， A 2C2 分别相切于点 F， G，连接 O2F， O2G， O2A2， ∴O2F⊥ l 1， O2G⊥ A 2G2， 由（ 2）得，∠ C2A 2D2=60°，∴∠ GA 2F=120 °， ∴∠ O2A 2F=60°，
∴=
．
∴=
．
∴DG ″= ．
∴点 G 移动路线的长为 ．
来
6.解：（ 1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形 ABC ， 以点 C 为圆心， AC 为半径作⊙ C，交 y 轴于点 P1、 P2． 在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1， 则∠ APB= ∠ ACB= ×60°=30 °．
∴ = ，即 =
，
解得： AE=3 ，EN=AN ﹣ AE=1 ，
∴ CE=
=
=．
2. 解：（ 1）①若圆 P 与直线 l 和 l2 都相切， 当点 P 在第四象限时， 过点 P 作 PH ⊥x 轴，垂足为 H，连接 OP，如图 1 所示． 设 y= x 的图象与 x 轴的夹角为 α． 当 x=1 时， y= ． ∴tanα= ． ∴α=60 °．
∴
+2﹣（ 2﹣
） =t2﹣（
+2），
解得： t2=2+2 ，
综上所述，当 d＜ 2 时， t 的取值范围是： 2﹣
5.解：（ 1）证明：如图 1， ∵CE 为⊙ O 的直径， ∴∠ CFE=∠ CGE=90 ∵EG⊥ EF， ∴∠ FEG=90 °． ∴∠ CFE=∠ CGE=∠ FEG=90 °． ∴四边形 EFCG 是矩形． （2） ① 存在． 连接 OD ，如图 2① ， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A= ∠ ADC=90 °． ∵点 O 是 CE 的中点， ∴OD=OC ． ∴点 D 在⊙ O 上． ∵∠ FCE=∠ FDE，∠ A= ∠ CFE=90 °， ∴△ CFE∽△ DAB ．
∴DP 2=
=．
∵点 C 为圆心， CD⊥ P1P2， ∴P1D=P2D= ． ∴P2（ 0， 2 ﹣ ）． P1（0， 2 + ）． ② 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P3（ 0，﹣ 2 ﹣ ）．P4（ 0，﹣ 2 + ）． 综上所述：满足条件的点 P 的坐标有： （0， 2 ﹣ ）、（ 0， 2 + ）、（ 0，﹣ 2 ﹣ ）、（ 0，﹣ 2 + ）．
∵ PH=1 ，
∴tan∠POH= = = ．
∴OH= ．
∴点 P 的坐标为（ ，﹣ 1）．
同理可得： 当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（﹣
，1）；
当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（﹣ ，﹣ 1）； ②若圆 P 与直线 l 和 l1 都相切，如图 2 所示．
，
∴△ PBG≌△ PBF（ SAS）， ∴PG=PF．
4. 解：（ 1）∵ l 1⊥ l2，⊙ O 与 l 1， l2 都相切， ∴∠ OAD=45 °， ∵AB=4 cm ，AD=4cm ， ∴CD=4 cm ，AD=4cm ， ∴tan∠DAC= = = ， ∴∠ DAC=60 °， ∴∠ OAC 的度数为：∠ OAD+ ∠ DAC=105 °， 故答案为： 105；
综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时，∠ APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为（ 0， ）和（ 0，﹣ ）．
7．解答： 证明：（ 1）如图，连接 PM， PN， ∵⊙ P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N， ∴PM ⊥ MF ，PN ⊥ON 且 PM=PN ， ∴∠ PMF =∠ PNE=90°且∠ NPM =90°，∵ PE⊥ PF， ∠NPE =∠ MPF =90°﹣∠ MPE ，
同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（ ， 1）；
当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为（﹣ 当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（﹣
，1）； ，﹣ 1）；
当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为（ ，﹣ 1）． ③若圆 P 与直线 l1 和 l 2 都相切，如图 3 所示． 同理可得：
∴
=（ ） 2．
＜ t＜ 2+2 ．
∵AD=4 ， AB=3 ， ∴BD=5 ，
2
S△CFE=（ ） ?S△DAB
= × ×3×4
=
．
∴S 矩形 是矩形， ∴FC∥ EG． ∴∠ FCE=∠ CEG． ∵∠ GDC= ∠ CEG，∠ FCE= ∠ FDE， ∴∠ GDC= ∠ FDE ． ∵∠ FDE+ ∠ CDB=90 °， ∴∠ GDC+ ∠ CDB=90 °． ∴∠ GDB=90 ° Ⅰ．当点 E 在点 A （ E′）处时，点 F 在点 B（ F′）处，点 G 在点 D（ G′处，如图 2① 所示． 此时， CF=CB=4 ． Ⅱ．当点 F 在点 D（ F″）处时，直径 F″G″⊥ BD ， 如图 2② 所示，
∴使∠ APB=30 °的点 P 有无数个． 故答案为：无数．
（2） ① 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 过点 C 作 CG⊥ AB ，垂足为 G，如图 1． ∵点 A （1， 0），点 B（ 5， 0）， ∴OA=1 ， OB=5 ． ∴AB=4 ． ∵点 C 为圆心， CG⊥ AB ，
∴AG=BG= AB=2 ．
在△ PMF 和△ PNE 中，
，∴△ PMF ≌△ PNE（ASA），
∴PE =PF ， （2）解：①当 t＞ 1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图， 由（ 1）得△ PMF ≌△ PNE，∴ NE=MF =t， PM=PN=1 ， ∴b=OF=OM +MF =1+ t， a=NE﹣ ON=t ﹣ 1， ∴b﹣ a=1+ t﹣（ t ﹣ 1） =2 ，∴ b=2+ a， ②0＜ t≤１时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上，
当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（
， 0）；
当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（﹣
， 0）；
当点 P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（ 0， 2）； 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（ 0，﹣ 2）． 综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：
×42．
∴
≤S 矩形 ABCD ≤12．
∴矩形 EFCG 的面积最大值为 12，最小值为
．
② ∵∠ GDC= ∠ FDE= 定值，点 G 的起点为 D，终点为 G″， ∴点 G 的移动路线是线段 DG ″． ∵∠ GDC= ∠ FDE ，∠ DCG ″=∠A=90 °， ∴△ DCG ″∽△ DAB ．
圆难题压轴题答案解析
1. 解：（ 1）如图 1，设⊙ O 的半径为 r， 当点 A 在⊙ C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H， ∴ BH=AB?cosB=4 ， ∴ AH=3 ， CH=4，
∴ AC=
=5，
∴此时 CP=r=5 ； （ 2）如图 2，若 AP∥ CE，APCE 为平行四边形， ∵ CE=CP ， ∴四边形 APCE 是菱形， 连接 AC 、 EP，则 AC ⊥ EP， ∴ AM=CM= ， 由（ 1）知， AB=AC ，则∠ ACB= ∠ B ，
此时⊙ O 与射线 BD 相切， CF=CD=3 ． Ⅲ．当 CF⊥ BD 时， CF 最小，此时点 F 到达 F″，′ 如图 2③ 所示．
S△BCD = BC ?CD= BD ?CF″．′
∴4×3=5×CF″′ ∴CF″=′ ．
∴ ≤CF ≤4．
∵S 矩形 ABCD =
，
∴ ×（
）
2
≤S
矩形 ABCD ≤
（3）当过点 A 、B 的⊙ E 与 y 轴相切于点 P 时，∠ APB 最大． ① 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 连接 EA ，作 EH ⊥x 轴，垂足为 H，如图 2． ∵⊙ E 与 y 轴相切于点 P， ∴PE⊥OP ∵EH ⊥ AB ， OP⊥ OH， ∴∠ EPO=∠ POH= ∠ EHO=90 °． ∴四边形 OPEH 是矩形． ∴OP=EH ， PE=OH=3 ∴EA=3 ． ∵∠ EHA=90 °， AH=2 ，EA=3 ，
（2）如图位置二，当 O1， A 1， C1 恰好在同一直线上时，设⊙ 连接 O1E，可得 O1E=2， O1E⊥ l 1， 在 Rt△ A 1D 1C1 中，∵ A1D1=4， C1D 1=4 ， ∴tan∠C1A 1D 1= ，∴∠ C1A 1D 1=60°， 在 Rt△ A 1O1E 中，∠ O1A 1E=∠ C1A 1D1=60 °，
∴该图形的周长 =12×（ ﹣ ） =8 ．
3. （1）解：连接 OB ， OD ，
∵∠ DAB=120 °，∴ 所对圆心角的度数为 240°，
∴∠ BOD=120 °， ∵⊙ O 的半径为 3，
∴劣弧 的长为：
×π3×=2 π；
（2）证明：连接 AC ， ∵AB=BE ，∴点 B 为 AE 的中点， ∵F 是 EC 的中点，∴ BF 为△ EAC 的中位线， ∴BF= AC ，
∴ CP=CE=
=，
∴ EF=2
=；
（ 3）如图 3：过点 C 作 CN⊥AD 于点 N ，
∵ cosB= 4 ， 5
∴∠ B＜ 45°， ∵∠ BCG＜ 90°， ∴∠ BGC＞ 45°， ∵∠ AEG= ∠ BCG≥ ∠ ACB= ∠ B， ∴当∠ AEG= ∠ B 时， A 、 E、G 重合， ∴只能∠ AGE= ∠ AEG ， ∵ AD ∥ BC ， ∴△ GAE ∽△ GBC ，
∴EH=
=
= ∴OP= ∴P（ 0， ）． ② 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P（ 0，﹣ ）． 理由： ① 若点 P 在 y 轴的正半轴上， 在 y 轴的正半轴上任取一点 M （不与点 P 重合）， 连接 MA ， MB ，交⊙ E 于点 N，连接 NA ，如图 2 所示． ∵∠ ANB 是 △ AMN 的外角， ∴∠ ANB ＞∠ AMB ． ∵∠ APB= ∠ ANB ， ∴∠ APB ＞∠ AMB ． ② 若点 P 在 y 轴的负半轴上， 同理可证得：∠ APB ＞∠ AMB ．
∵=，
∴+=+ ，
∴=， ∴BD=AC ，
∴BF= BD ；
（3）解：过点 B 作 AE 的垂线，与⊙ O 的交点即为所求的点 P， ∵BF 为△ EAC 的中位线， ∴BF ∥AC ， ∴∠ FBE= ∠ CAE ， ∵=， ∴∠ CAB= ∠DBA ， ∵由作法可知 BP⊥ AE ， ∴∠ GBP= ∠ FBP， ∵G 为 BD 的中点， ∴BG= BD ， ∴BG=BF ， 在△ PBG 和△ PBF 中，
在 Rt△ A 2O2F 中， O2F=2，∴ A 2F=
，
∵OO2=3t， AF=AA 2+A 2F=4t 1+
，
∴4t 1+
﹣ 3t1=2，
∴t1=2 ﹣
，
②当直线 AC 与⊙ O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1， A 1， C1 共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
（ ，﹣ 1）、（﹣ ， 1）、（﹣ ，﹣ 1）、
（ ， 1）、（﹣ ， 1）、（﹣ ，﹣ 1）、（ ，﹣ 1）、
（ ， 0）、（﹣
， 0）、（0， 2）、（ 0，﹣ 2）．
（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图
4 所示．
由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，
由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．
∴OG=OA+AG=3 ． ∵△ ABC 是等边三角形， ∴AC=BC=AB=4 ．
∴CG=
=
=2 ． ∴点 C 的坐标为（ 3， 2 ）． 过点 C 作 CD ⊥ y 轴，垂足为 D ，连接 CP2，如图 1， ∵点 C 的坐标为（ 3， 2 ），
∴CD=3 ， OD=2 ． ∵P1、 P2 是⊙ C 与 y 轴的交点， ∴∠ AP1B= ∠AP 2B=30 °． ∵CP2=CA=4 ， CD=3 ，
O1 与 l1 的切点为 E，
∴A 1E=
=，
∵A 1E=AA 1﹣ OO1﹣2=t﹣ 2， ∴t﹣ 2= ，
∴t= +2， ∴OO1=3t=2 +6；
（3）①当直线 AC 与⊙ O 第一次相切时，设移动时间为 t1， 如图，此时⊙ O 移动到⊙ O2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A 2B2C2D2 的位置， 设⊙ O2 与直线 l1， A 2C2 分别相切于点 F， G，连接 O2F， O2G， O2A2， ∴O2F⊥ l 1， O2G⊥ A 2G2， 由（ 2）得，∠ C2A 2D2=60°，∴∠ GA 2F=120 °， ∴∠ O2A 2F=60°，
∴=
．
∴=
．
∴DG ″= ．
∴点 G 移动路线的长为 ．
来
6.解：（ 1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形 ABC ， 以点 C 为圆心， AC 为半径作⊙ C，交 y 轴于点 P1、 P2． 在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1， 则∠ APB= ∠ ACB= ×60°=30 °．
∴ = ，即 =
，
解得： AE=3 ，EN=AN ﹣ AE=1 ，
∴ CE=
=
=．
2. 解：（ 1）①若圆 P 与直线 l 和 l2 都相切， 当点 P 在第四象限时， 过点 P 作 PH ⊥x 轴，垂足为 H，连接 OP，如图 1 所示． 设 y= x 的图象与 x 轴的夹角为 α． 当 x=1 时， y= ． ∴tanα= ． ∴α=60 °．
∴
+2﹣（ 2﹣
） =t2﹣（
+2），
解得： t2=2+2 ，
综上所述，当 d＜ 2 时， t 的取值范围是： 2﹣
5.解：（ 1）证明：如图 1， ∵CE 为⊙ O 的直径， ∴∠ CFE=∠ CGE=90 ∵EG⊥ EF， ∴∠ FEG=90 °． ∴∠ CFE=∠ CGE=∠ FEG=90 °． ∴四边形 EFCG 是矩形． （2） ① 存在． 连接 OD ，如图 2① ， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A= ∠ ADC=90 °． ∵点 O 是 CE 的中点， ∴OD=OC ． ∴点 D 在⊙ O 上． ∵∠ FCE=∠ FDE，∠ A= ∠ CFE=90 °， ∴△ CFE∽△ DAB ．
∴DP 2=
=．
∵点 C 为圆心， CD⊥ P1P2， ∴P1D=P2D= ． ∴P2（ 0， 2 ﹣ ）． P1（0， 2 + ）． ② 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P3（ 0，﹣ 2 ﹣ ）．P4（ 0，﹣ 2 + ）． 综上所述：满足条件的点 P 的坐标有： （0， 2 ﹣ ）、（ 0， 2 + ）、（ 0，﹣ 2 ﹣ ）、（ 0，﹣ 2 + ）．