新北师大版高中数学必修一第一单元《集合》检测题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫
=≤=-<⎨⎬-⎩⎭
，则M N ⋂为（ ）
A ．{}
01x x ≤<
B ．{}
01x x <<
C ．{}
02x x ≤<
D ．{}
02x x <<
2．已知集合{}
,M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）
①1
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．已知}{
|21M x x =-<<，3|
0x N x x ⎧-⎫
=≤⎨⎬⎭
⎩，则M N ⋂=（ ） A ．()0,1 B ．[)0,1
C ．(]1,3
D ．[]0,3
4．已知集合{}
2
|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合
4|05x C x x -⎧⎫
=≤⎨⎬+⎩⎭
，则集合A ，B ，C 的关系为（ ）
A ．
B A ⊆
B ．A B =
C ．C B ⊆
D ．A C ⊆
5．已知集合{
}2
|230A x x x =--<，集合{
}
1
|21x B x +=>，则C B A =（ ）
A ．[3,)+∞
B ．(3,)+∞
C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞
D ．(,1)
(3,)-∞-+∞
6．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且A B B =，则实数
m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2)
B ．[-1，3]
C ．[-2，+∞)
D ．[-1，+∞)
7．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若
()A B C ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．{}|21m m -≤≤
B ．1|12m m ⎧⎫
-≤≤⎨
⎬⎩⎭
C ．1|12m m ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩⎭ D ．11|24m m ⎧⎫-
≤≤⎨⎬⎩⎭
8．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做A 的幂集，记为()P a ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：（1）对于任意集合A ，都有()A P A ∈；（2）存在集合A ，使得()3nP A =；（3）若A
B =Φ，则()()P A P B ⋂=Φ；（4）若A B ⊆，则
()()P A P B ⊆；（5）若()()1n A n B -=，则[][]()2()n P A n P B =.其中正确命题的序号
为（ ）
A ．（1）（2）（5）
B ．（1）（3）（5）
C ．（1）（4）（5）
D ．（2）（3）（4）
9．已知全集为R ，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，102x B x
x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
∣，则A ∩（∁R B ）的
子集个数为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
10．已知函数
()f x =
M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则
()R M
C N =（ ）
A ．{|1}<x x
B ．{|1}x x ≥
C ．φ
D ．{|11}x x -≤<
11．下列结论正确的是（） A ．若a b <且c d <，则ac bd <
B ．若a b >，则22ac bc >
C ．若
0a ≠，则12a a +≥ D ．若0a b <<，集合1|A x x a ⎧
⎫==⎨⎬⎩
⎭，1|B x x b ⎧
⎫==⎨⎬⎩
⎭，则A B ⊇
12．设{}
2
|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的
集合的子集个数有 A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
二、填空题
13．已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________ 14．已知集合2|05x A x x -⎧
⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
,{}
2230,B x x x x R =--≥∈,则A B =_________. 15．已知集合2
|23
0A x x x ，{}|0B x x a =-=，若B A ≠
⊂，则实数a 的值为______.
16．已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠且A B ⋂≠∅，则m
的取值范围是________
17．已知{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，若A B =∅，则a 的取值范围是
__________
18．已知集合{}
10,A x ax x R =+=∈，集合{}
2
280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________
19．若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且下列四个关系：（1）1a =；（2）1b ≠；（3）
3c =；（4）4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是
___________.
20．已知集合{}{}
2
|21,|20x
A y y
B x x x ==+=--<，则()
R C A B =__________．
三、解答题
21．已知集合{}12,U x
x x P =-≤≤∈∣，{}
02,A x x x P =≤<∈，{}1,(11)B x a x x P a =-<≤∈-<<.
（1）若P =R ，求U A 中最大元素m 与
U
B 中最小元素n 的差m n -；
（2）若P =Z ，求
A
B 和U
A 中所有元素之和及
(
)U
A
B .
22．已知集合4231a A a a ⎧⎫
-=≤⎨⎬+⎩⎭
，{}
12B a a =+≤，{3}C x m x m =-<≤+
（1）求A
B ；
（2）若()C A
C ⊆，求m 的取值范围.
23．已知集合A 为数集，定义1,()0,A x A
f x x A
∈⎧=⎨∉⎩．若{}*,8,A B x
x x N ⊆≤∈∣，定义：(,)d A B =(1)(1)A B f f -(2)(2)(8)(8)A A B B f f f f +-+⋅⋅⋅+-．
（1）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，求(),d A B ，(),d A C 的值；
（2）若{
}*
,,8,A B C x
x x N ⊆≤∈∣．
求证：()()(),,,d A B d A C d B C +≥； 求()()(),,,d A B d A C d B C ++的最大值．
24．已知集合{
}2
20,A x x x x R =+-=∈，集合{
}
2
0,B x x px p x R =++=∈. （1）若{}1A B ⋂=，求A
B ；
（2）若12,x x B ∈且22
123x x +=，求p 的值.
25．若全集U =R ，集合
{23},{27},{(4)(3)0}A x a x a B x x C x x x =-≤≤+=≤≤=-+≥.
（1）当3a =时，求,()U A B A C B ；
（2）若A
C A =，求实数a 的取值范围.
26．设集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，不等式2760x x -+<的解集为B ． （1）当a 为0时，求集合A 、B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．
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一、选择题
1．B 解析：B 【分析】
根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x
x x N x x x x x x ⎧⎫
=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭
，
所以{}
01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
2．C
解析：C 【分析】
①②③都可以写成m a =+,a b 是否是有理数，④计算
.
【详解】
①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，
3=
=
3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，
21
22==-
，
12
a ∴+=-
，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，
④
2
426=+=
而(2
2222a a b +=++，
,a b Q ∈，
(
2
a ∴+是无理数，
不是集合M 中的元素，
只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
3．A
解析：A 【分析】
根据分式不等式的解法，求得{}
03N x x =<≤，再结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{}3|
003x N x x x x ⎧-⎫
=≤=<≤⎨⎬⎭
⎩， 又由}{
|21M x x =-<<，所以{}
()010,1M N x x ⋂=<<=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合N 是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
4．D
解析：D 【分析】
根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系. 【详解】
解：由于{}{{}
2
|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤， {}4|0545x C x x x x -⎧⎫
=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭
，
可知，A C ⊆. 故选：D. 【点睛】
本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力.
5．A
解析：A 【分析】
首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】
解：
{}
2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}
1|21{|1}x B x x x +=>=>-，
{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.
6．D
解析：D 【分析】 先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.
【详解】
由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由A
B B =,即B A ⊆.
当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.
当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
.
解得：12m -≤<.
综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论． 【详解】
由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，
①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴1
2
-≤m ＜0； ②m ＝0时，C ＝R,成立；
③m ＞0，x 1m -＞，∴1
m
-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1， 综上所述，1
2
-
≤m ≤1，
故选：B ． 【点睛】
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
8．C
解析：C 【分析】
直接利用新定义判断五个命题的真假即可． 【详解】
由P （A ）的定义可知①正确，④正确， 设n （A ）＝n ，则n （P （A ））＝2n ，∴②错误， 若A ∩B ＝∅，则P （A ）∩P （B ）＝{∅}，③不正确； n （A ）﹣n （B ）＝1，即A 中元素比B 中元素多1个， 则n [P （A ）]＝2×n [P （B ）]．⑤正确， 故选：C ． 【点睛】
本题考查集合的子集关系，集合的基本运算，新定义的理解与应用．
9．D
解析：D 【分析】
解不等式得集合B ，由集合的运算求出()R A B ，根据集合中的元素可得子集个数．
【详解】
10{|21}2x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭
∣，{|2R B x x =≤-或1}x ≥，所以
()R A B {2,1,2}=-，其子集个数为328=．
故选：D ． 【点睛】
本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据函数定义域的求法求得,M N ，再求得()R M C N .
【详解】
由210x ->解得11x -<<，由10x +>解得1x >-.所以{}|1R C N x x =≤-，故
()R M
C N ={|1}<x x ，故选A.
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合补集和并集的运算，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
通过举例和证明的方式逐个分析选项. 【详解】
A ：取5,3,6,1a b c d =-==-=，则30,3ac bd ==，则ac bd >，故A 错误；
B ：取3,1,0a b c ===，则22ac bc =，故B 错误；
C
：2
1122a a a a ⎫
+=+=+≥成立，故C 正确；
D ：因为0a b <<，所以11
a b
>，则A B ，故D 错误；
故选：C. 【点睛】
本题考查不等关系和等式的判断，难度一般.判断不等关系是否成立，常用的方法有：（1）直接带值验证；（2）利用不等式的性质判断；（3）采用其他证明手段.（如借助平方差、完全平方公式等）.
12．D
解析：D 【分析】
先解方程得集合A ，再根据A B B =得B A ⊂，最后根据包含关系求实数a ，即得结果.
【详解】
{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,
因为A
B B =，所以B A ⊂，
因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为11
0,,35
，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 【点睛】
本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
二、填空题
13．【分析】先将的可能结果列出然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合【详解】将表示为可得如下结果：其中为都出现了次所以若方程至少有三组不同的解则的取值集合为故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关 解析：{}3,6,14
【分析】
先将i j x x -的可能结果列出，然后根据i j x x -相同结果出现的次数确定出k 的取值集合. 【详解】
将i j x x k -=表示为()
,,i j x x k ，可得如下结果：
()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1，
()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3， ()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12， ()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2， ()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，
其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,14 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是理解方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解的含义，即i j x x -的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.
14．【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和再根据交集的定义求出【详解】∵集合∴故答案为【点睛】本题考查集合的交集的运算解题时要认真审题注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用是基础题
解析：(]
5,1--. 【分析】
分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合A 和B ，再根据交集的定义求出
A B ⋂.
【详解】 ∵集合2
{|
0}{|52}5
x A x x x x -=<=-<<+， 2{|230}{|13}B x x x x R x x x =--≥∈=≤-≥，或，∴{|51}A B x x ⋂=-<≤-，
故答案为(]
5,1--． 【点睛】
本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.
15．-1或3【分析】解方程用列举法表示集合AB 由即得解【详解】集合若故a=-1或3故答案为：-1或3【点睛】本题考查了集合的包含关系考查了学生概念理解数学运算能力属于基础题
解析：-1或3
【分析】
解方程，用列举法表示集合A ，B ，由B A ≠
⊂，即得解. 【详解】 集合2
|230
{1,3}A
x x x ，{}|0{}B x x a a =-==
若B A ≠
⊂，故a =-1或3 故答案为：-1或3 【点睛】
本题考查了集合的包含关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
16．【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于的不等式组解出即可【详解】解：若且则解得即故答案为：【点睛】本题考查了集合的交集并集的定义属于基础题 解析：[6,8)-
【分析】
根据集合的并集和集合的交集得到关于m 的不等式组，解出即可． 【详解】
解：{|68}A x x =-，{|}B x x m =， 若A B B ≠且A B ⋂≠∅，
则6
8m m -⎧⎨
<⎩
，解得68m -≤<，即[)6,8m ∈- 故答案为：[)6,8-． 【点睛】
本题考查了集合的交集、并集的定义，属于基础题．
17．【分析】根据集合所以集合没有公共元素列出两个集合的端点满足的不等关系结合数轴可以得出的范围得到结果【详解】集合由借助于数轴如图所示可得故答案为：【点睛】该题主要考查集合中参数的取值范围的问题两个集合
解析：(,1]-∞-. 【分析】
根据集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，A B φ⋂=，所以集合,A B 没有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围，得到结果. 【详解】
集合{|14}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<， 由A B φ⋂=，借助于数轴，如图所示，
可得1a ≤-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】
该题主要考查集合中参数的取值范围的问题，两个集合的关系，属于中档题目.
18．【分析】先化简集合利用分类讨论和即可求出构成的集合【详解】由可得:即:解得或故:由可得:当时方程无实数解此时满足当时方程的实数解为故:由可得:或解得或的所有取值构成的集合为:故答案为:【点睛】本题主
解析：11
{0,,}24
-
【分析】
先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合. 【详解】
由{
}
2
280B x x x =--=
可得:2280x x --= 即:()()240x x +-= 解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- {}
10,A x ax x R =+=∈ 由10ax += 可得:1ax =-
当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆ 当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1
x a =-
,故:1{}A a
=- 由A B ⊆可得:12a -
=-或1
4a -= 解得12a =或1
4
a =-
a 的所有取值构成的集合为:1
1{0,,}24
-.
故答案为:11{0,,}24
-. 【点睛】
本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集.
19．6【分析】利用集合的相等关系结合（1）；（2）；（3）；（4）有且只有
一个是正确的通过分析推理即可得出结论【详解】若（1）正确则（2）也正确不合题意;若（2）正确则（1）（3）（4）不正确即则满足条
解析：6 【分析】
利用集合的相等关系，结合（1）1a =；（2）1b ≠；（3）3c =；（4）4d ≠有且只有一个是正确的,通过分析推理即可得出结论. 【详解】
若（1）正确，则（2）也正确不合题意;
若（2）正确，则（1）（3）（4）不正确，即1,1,3,4a b c d ≠≠≠=， 则满足条件的有序组为: 2,3,1,4a b c d ====；或3,2,1,4a b c d ====; 若（3）正确，则（1）（2）（4）不正确,即1,1,3,4a b c d ≠===, 则满足条件的有序组为: 2,1,3,4a b c d ====;
若（4）正确，则（1）（2）（3）不正确,即1,1,3,4a b c d ≠=≠≠, 则满足条件的有序组为: 2,1,4,3a b c d ==== 或3,1,4,2a b c d ====或4,1,2,3a b c d ====, 所以符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是6个. 故答案为6 【点睛】
本题考查集合的相等关系,考查分类讨论思想,正确分类是关键,属于中档题.
20．【分析】求函数的值域求得集合解一元二次不等式求得集合由此求得【详解】根据指数函数的性质可知所以有解得即所以故答案为【点睛】本小题主要考查集合交集补集的运算考查指数型函数值域的求法考查一元二次不等式的 解析：(]1,1-
【分析】
求函数的值域求得集合A ，解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R C A B ⋂. 【详解】
根据指数函数的性质可知，211x
y =+>，所以()1,A =+∞，有
()()22210x x x x --=-+<解得12x -<<，即()1,2B =-，所以()R C A B =(]1,1-.
故答案为(]1,1-. 【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的运算，考查指数型函数值域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
三、解答题
21．（1）3；（2）所求元素之和为1，(
){}1,1,2U
A
B =-或
(
){1,0,1,2}U
A
B =-.
【分析】
（1）根据P =R ，然后利用补集的运算，分别求得
U
A ，
U
B 再求解.
（2）根据P =Z ，得到{}
{}02,0,1A x x x =≤<∈=Z ，{}1B =或{}0,1，进而得到
{}0A
B =或A B =∅求解.
【详解】
（1）因为P =R ，{
}
12,U x
x x P =-≤≤∈∣， 所以{|10U A x x =-≤<或}2x =，{}1,12U B x
x a x =-≤≤-<≤∣， ∴2m =，1n =-， ∴(13)2m n --=-=. （2）∵P =Z ，
∴{}
{}12,1,0,1,2U x x x =-≤≤∈=-Z ， ∴{}{}02,0,1A x x x =≤<∈=Z ，{}1B =或{}0,1.
∴{}0A B =或A B =∅，即A B 中元素之和为0. 又
{}1,2U
A =-，其元素之和为121-+=.
故所求元素之和为011+=. ∵{}0A B =或A B =∅，
∴
(
){}1,1,2U
A
B =-或(){1,0,1,2}U A U
C B C U =∅==-.
【点睛】
本题主要考查集合的补集运算，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 22．（1）(1,1]A B ⋂=-；（2）1m . 【分析】
（1）先利用分式不等式的解法和绝对值不等式的解法化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.
（2）根据()C A C ⊆，得到C A ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论求解.
【详解】
（1）因为集合423(1,5]1a A a a ⎧⎫
-=≤=-⎨⎬+⎩⎭
，{}
12[3,1]B a a =+≤=-，
所以(1,1]A B ⋂=-. （2）因为()C A
C ⊆，所以C A ⊆，
①当3m m -≥+即3
2
m ≤-
时，C =∅，符合题意， ②当3m m -<+即3
2m >-时，则135m m -≥-⎧⎨+≤⎩
，
解得13
2
m -
<≤，
综上：1m 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用以及分式不等式和绝对值不等式的解法，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．（1）(),2d A B =，(),3d A C =；（2）①证明见解析；②16 【分析】
（1）根据定义直接计算即可；
（2）①可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，根据()cardA card A B ≥⋂，
()cardA card A C ≥⋂可证；
②由()()(),,,d A B d A C d B C ++()2cardA cardB cardC ≤++可得. 【详解】 （1）
{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，
()(1)(1)(2,)(2)(8)(8)A B A B A B d A B f f f f f f =-+-+-∴+
1011110100000000=-+-+-+-+-+-+-+-2=， ()(1)(1)(2)(2,)(8)(8)A C A C A C f f f f d f f A C =-+-+
+-
1010100000000000=-+-+-+-+-+-+-+-3=；
（2）①由题可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，
()()()(),,cardA cardB card A B cardA d A B cardC card A C d A C ∴=+-⋂++-⋂+ ()(),d B C cardB cardC card B C =+-⋂， ()(),cardA card A B cardA card A C ≥⋂≥⋂， ()()2cardA card A B card A C ∴≥⋂+⋂，
()()()2cardA card B C card A B card A C ∴+⋂≥⋂+⋂，
即()()()2cardA card A B card A C card B C -⋂-⋂≥-⋂，
∴
()()()2cardA cardB cardC card A B card A C cardB cardC card B C ++-⋂-⋂≥+-⋂，
即()()(),,,d A B d A C d B C +≥，得证； ②()()(),,,d A B d A C d B C ++
()()()cardA cardB card A B cardA cardC card A C cardB cardC card B C =+-⋂++-⋂++-⋂
()()()()2cardA cardB cardC card A B card A C card B C =++-⋂+⋂+⋂⎡⎤⎣⎦
()2cardA cardB cardC ≤++，
当且仅当()()()0card A B card A C card B C ⋂=⋂=⋂=时等号成立，
∴当{}
*8,x x B C x A N ⋃⋃=≤∈∣且A B A C B C ⋂=⋂=⋂=∅时，
()()(),,,d A B d A C d B C ++有最大值为16.
【点睛】
关键点睛：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，解题的关键是能根据定义得出
()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，进而根据集合的关系可求解.
24．（1）12,,12A B ⎧
⎫⋃=--⎨⎬⎩⎭
；（2）)322
p =-或)322
p =或1p =-.
【分析】
（1）由{}1A B ⋂=可得1B ∈，求出p 后可求B ，从而可求A B .
（2）利用韦达定理可得关于p 的方程，从而可求p 的值. 【详解】
（1）因为{}1A B ⋂=，故1B ∈，所以2110p p +⨯+=，解得12
p =-， 故20x px p ++=即为2
11
022
x x -
-=，其解为1211,2x x ==-，
故11,2B ⎧
⎫=-⎨⎬⎩⎭
，而{}2,1A =-， 故12,,12A B ⎧⎫⋃=--
⎨⎬⎩⎭
. （2）因为12,x x B ∈，故12,x x 为20x px p ++=的根.
若12x x =，则122
x x ==
或122x x ==-，
此时20x px p ++=2-，
故)3
22
p =-
或)322
p =.
若12x x ≠，则12,x x 为20x px p ++=的两个不同的解，
而22123x x +=即为()2
121223x x x x +-=，所以2
230p p --=，
解得1p =-或3p =.
又2
40p p ∆=->，故0p <或4p >，故3p =舍去.
故p 的值为)3
22
p =-或)322
p =或1p =-.
【点睛】
易错点点睛：本题中，注意12,x x B ∈的含义为12,x x 为方程的根，解析中要注意根据两者是否相等分类讨论. 25．（1）[2,6],()(,6](7,)U A B A
C B ==-∞+∞；（2）(,6][6,)a ∈-∞-+∞.
【分析】
（1）由集合的交、并、补的运算即可得解； （2）由集合的包含关系可得：因为A C A =，所以A C ⊆，再列不等式33a +≤-或
24a -≥，求解即可.
【详解】
解：（1）因为3a =，所以[1,6],A =又因为[2,7],B =所以(,2)(7,)U C B =-∞+∞， 故[2,6]A B =，()(,6](7,)U A C B =-∞+∞； （2）因为A
C A =，所以A C ⊆，
{}(4)(3)0(,3][4,)C x x x =-+≥=-∞-⋃+∞又
又集合{}
23[2,3],A x a x a a a =-≤≤+=-+ 所以33a +≤-或24a -≥， 即6a ≤-或6,a ≥
故实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞. 【点睛】
本题考查了集合的交、并、补的运算，重点考查了集合的包含关系，属基础题. 26．（1）{|10}A x x =-<<，{|16}B x x =<<；（2）1a -或23a ． 【分析】
（1）根据题意，由0a =可得结合A ，解不等式2760x x -+<可得集合B ， （2）根据题意，分A 是否为空集2种情况讨论，求出a 的取值范围，综合即可得答案． 【详解】
解：（1）根据题意，集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈， 当0a =时，{|10}A x x =-<<，
276016x x x -+<⇒<<，则{|16}B x x =<<，
（2）根据题意，若A B ⊆， 分2种情况讨论：
①，当12a a -时，即1a -时，A =∅，A B ⊆成立； ②，当12a a -<时，即1a >-时，A ≠∅，
若A B ⊆，必有11
26a a -⎧⎨⎩
，
解可得23a ，
综合可得a 的取值范围为1a -或23a ． 【点睛】
本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论A 为空集，属于基础题．。