河北省邯郸市六校2024届数学高一下期末统考试题含解析

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河北省邯郸市六校2024届数学高一下期末统考试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
1.直线3260x y --=在y 轴上的截距为( ) A .2
B .﹣3
C .﹣2
D .3
2.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,是下列命题正确的是( ) A .若//m α,//n α,则//m n B .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C .若m α
β=,n ⊂α,n m ⊥,则n β⊥ D .若m α⊥,//m n ,n β⊂,则
αβ⊥
3.各项不为零的等差数列}{
n a 中,2
3711440a a a -+=,数列}{
n b 是等比数列,且
77b a =,则68b b =( )
A .4
B .8
C .16
D .64
4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若2580a a +=,则5
2
S S =( ) A .-11
B .-8
C .5
D .11
5.若001a b ><<,
,则2a ab ab ,,的大小关系为 A .2a ab ab >>
B .2a ab ab <<
C .2ab a ab >>
D .2ab ab a >>
6.如果点()sin cos cos P θθθ,位于第四象限,则角θ是( ) A .第一象限角
B .第二象限角
C .第三象限角
D .第四象限角
7.若实数x ,y 满足条件250
24001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,则目标函数z =2x -y 的最小值( )
A .5
2
-
B .-1
C .0
D .2
8.祖暅原理也就是“等积原理”,它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是:“幂势既同,则积不容异”,“势”即是高,“幂”是面积.意思是,如果夹在两平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的平面所截,如果两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.已知,两个平行平面间有三个几何体,分别是三棱锥、四棱锥、圆锥(高度都是h ),其中:三棱锥的体积为V ,四棱锥的底面是边长为a 的正方形,圆锥的底面半径为r ,现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体,如果得到的三个截面面积总相等,那么,下面关系式正确的是( ) A .3V a h =
,3V r π=,1
a r π
= B .3V a h =
,3V r h π=,a
r π= C .3V a h =,3V r h π=,
1a r
π= D .3V a h =
,3V
r h π=,a r
π= 9.已知a R ∈且为常数,圆2
2
:220C x x y ay ++-=,过圆C 内一点()1,2的直线l 与圆
C 相交于,A B 两点,当弦AB 最短时,直线l 的方程为20x y -=,则a 的值为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
10.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是( ).
A .收入最高值与收入最低值的比是3:1
B .结余最高的月份是7月份
C .1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D .前6个月的平均收入为40万元
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

11.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
12.设a >0,角α的终边经过点P (﹣3a ,4a ),那么sinα+2cosα的值等于 . 13.已知:3
sin cos 2
αβ+=,则2sin cos αβ+的取值范围是__________. 14.在
中,
,则角的大小为____.
15.已知直线:360l x y +-=与圆2
2
12x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,则||CD =_______. 16.给出以下四个结论:
①过点(1,3)P -,在两轴上的截距相等的直线方程是20x y +-=;
②若2
1n S n n a =-+-是等差数列{}n a 的前n 项和,则1a =;
③在ABC 中,若2sin cos cos 1A A B +=,则ABC 是等腰三角形; ④已知0x >,0y >,且4400x y +-=,则lg lg x y +的最大值是2. 其中正确的结论是________(写出所有正确结论的番号).
三、解答题:本大题共5小题,共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知为锐角,且.
(I )求的值; (II )求
的值.
18.已知数列{}n a 中,11
2
a =
,点()1,2n n n a a +-在直线y x =上,其中1,2,3,n =⋅⋅⋅. (1)令11n n n b a a +--=,求证数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项;
(3)设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和是否存在实数λ,使得数列
n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列?若存在,试求出λ,若不存在,则说明理由.
19.某专卖店为了对新产品进行合理定价,将该产品按不同的单价试销,调查统计如下表: 售价x (元) 4 5 6 7 8 周销量y (件)
90
85
83
79
73
(1)求周销量y (件)关于售价x (元)的线性回归方程ˆy
bx a =+; (2)按(1)中的线性关系,已知该产品的成本为2元/件,为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价()x x N ∈定为多少?
参考公式:()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑,a y bx =-.
参考数据:()()1
82,
40n
i
i
i y x x y
y ==--=-∑,()2
1
10n
i i x x =-=∑
20.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x (x ≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q (x )=3 000+50x (单位:元). (1)求楼房每平方米的平均综合费用f (x )的解析式.
(2)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用最小值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
购地总费用
建筑总面积

21.某运动爱好者对自己的步行运动距离x (单位:千米)和步行运动时间y (单位:分钟)进行统计,得到如下的统计资料:
如果y 与x 存在线性相关关系,
(1)求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+(精确到0.01);
(2)将ˆ30y
>分钟的时间数据ˆi y 称为有效运动数据,现从这6个时间数据ˆi y 中任取3个,求抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率.
参考数据:(
)(
)
()
66
6
2
1
1
1
175.4,=80.30,14.30i i i i i i i y x x
y y x x
====---=∑∑∑,
参考公式:()()
()
6
1
6
2
1
ˆi
i
i i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑,ˆˆy bx
a =+. 参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
令0x =,求出y 值则是截距。

【题目详解】
直线方程化为斜截式为:
3
32
y x =
-,0x =时,3y =-, 所以,在y 轴上的截距为-3。

【题目点拨】
y 轴上的截距:即令0x =,求出y 值;同理x 轴上的截距:即令0y =,求出x 值
2、D 【解题分析】
根据空间中线线,线面,面面位置关系,逐项判断即可得出结果. 【题目详解】
A 选项,若//m α,//n α,则,m n 可能平行、相交、或异面;故A 错;
B 选项,若//αβ,m α⊂,n β⊂,则,m n 可能平行或异面;故B 错;
C 选项,若m α
β=,n ⊂α,n m ⊥,如果再满足αβ⊥,才会有则n 与β垂直,
所以n 与β不一定垂直;故C 错;
D 选项,若m α⊥,//m n ,则n α⊥,又n β⊂,由面面垂直的判定定理,可得αβ⊥,故D 正确. 故选D 【题目点拨】
本题主要考查空间的线面,面面位置关系,熟记位置关系,以及判定定理即可,属于常考题型. 3、D 【解题分析】
根据等差数列性质可求得7a ,再利用等比数列性质求得结果. 【题目详解】
由等差数列性质可得:()2
2
2
371131177744480a a a a a a a a -+=+-=-=
又{}n a 各项不为零 78a ∴=,即78b =
由等比数列性质可得:2
68764b b b ==
本题正确选项:D 【题目点拨】
本题考查等差数列、等比数列性质的应用,属于基础题. 4、A 【解题分析】
设数列{a n }的公比为q.由8a 2+a 5=0, 得a 1q(8+q 3)=0. 又∵a 1q≠0,∴q=-2.
∴52S S =52
11q q --=()51214
---=-11.故选A. 5、A 【解题分析】
利用作差比较法判断得解. 【题目详解】
①()2
1ab ab ab b -=-,
∵001a b ><<,

∴20ab ab ->, 故2ab ab >.
②∵001a b ><<,
, ∴(1)0a ab a b -=->, 所以a >ab. 综上2a ab ab >>, 故选A . 【题目点拨】
本题主要考查作差比较法比较实数的大小,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 6、C 【解题分析】
由点()sin cos cos P θθθ,位于第四象限列不等式,即可判断sin ,cos θθ的正负,问题得解. 【题目详解】
因为点()sin cos cos P θθθ,位于第四象限
所以sin cos 0cos 0θθθ>⎧⎨
<⎩,所以sin 0
cos 0
θθ<⎧⎨
<⎩ 所以角θ是第三象限角 故选C 【题目点拨】
本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系,还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与角的终边的关系,属于基础题. 7、A 【解题分析】
线性规划问题,首先画出可行域,再令z =0,画出目标函数,上下平移得到z 的最值。

【题目详解】
可行域如图所示,当目标函数平移到A ()0,2.5 点时z 取最小值52
-, 故选A 【题目点拨】
线性规划中线性的目标函数问题,首先画出可行域,再令z =0,画出目标函数,上下平移得到z 的最值。

8、D 【解题分析】
由祖暅原理可知:三个几何体的体积相等,根据椎体体积公式即可求解. 【题目详解】
由祖暅原理可知:三个几何体的体积相等, 则213V a h =
⋅⋅,解得3V a h
=, 由213V r h π=
⋅⋅,解得3V r h
π= 所以
a
r
π=. 故选:D 【题目点拨】
本题考查了椎体的体积公式,需熟记公式,属于基础题. 9、B 【解题分析】
由圆的方程求出圆心坐标与半径,结合题意,可得过圆心与点(1,2)的直线与直线2x ﹣y =0垂直,再由斜率的关系列式求解. 【题目详解】
圆C :2
2
220x x y ay ++﹣
=化简为2
2
2
11x y a a +++()(﹣)=, 圆心坐标为1C a (﹣,)
21a +.
如图,
由题意可得,当弦AB 最短时,过圆心与点(1,2)的直线与直线20x
y ﹣=垂直. 则
21
112
a -=---,即a =1. 故选:B . 【题目点拨】
本题考查直线与圆位置关系的应用,考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法,是中档题.一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,联立的时候较少;在求圆上的点到直线或者定点的距离时,一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离,再加减半径,分别得到最大值和最小值;涉及到圆的弦长或者切线长时,经常用到垂径定理. 10、D 【解题分析】
由图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3:1,故A 项正确; 结余最高为7月份,为802060-=,故B 项正确;
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同,故C 项正确;
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元,故D 项错误. 综上,故选D .
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

11、10. 【解题分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【题目详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120, 所以1120AB BC CC ⋅⋅=,
因为E 为1CC 的中点, 所以11
2
CE CC =
, 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ,
所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高, 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=11111
1201032212
AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
【题目点拨】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题. 12、﹣ 【解题分析】
试题分析:利用任意角三角函数定义求解. 解:∵a >0,角α的终边经过点P (﹣3a ,4a ), ∴x=﹣3a ,y=4a ,r==5a , ∴sinα+2cosα==﹣.
故答案为﹣.
考点:任意角的三角函数的定义. 13、5[2,]2
【解题分析】
由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数,再运用三角函数的值域求解.
【题目详解】 由已知得3
cos sin 2
βα=
-, 所以33
2sin cos 2sin sin sin 22
αβααα⎛⎫+=+-=+ ⎪⎝⎭,
又因为1cos 11sin 1βα-≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ,所以31sin 1
2
1sin 1
αα⎧
-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩,
解得
1sin 12α≤≤,所以352sin 22α≤+≤, 故填52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【题目点拨】
本题考查三角函数的值域,属于基础题. 14、 【解题分析】
根据正弦定理化简角的关系式,从而凑出的形式,进而求得结果.
【题目详解】 由正弦定理得:,即

本题正确结果: 【题目点拨】
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形问题,属于基础题. 15、4 【解题分析】
联立直线l 的方程和圆的方程,求得,A B 两点的坐标,根据点斜式求得直线,AC BD 的方程,进而求得,C D 两点的坐标,由此求得||CD 的长. 【题目详解】
由22
36012x x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
解得((0,23,3A B ,直线l 的斜率为33-,所以直线,AC BD 3,所以):233,:333AC BD l y x l y x -==-,令0y =,
得()()2,0,2,0C D -,所以4CD =. 故答案为4
【题目点拨】
本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查相互垂直的两条直线斜率的关系,考查直线的点斜式方程,属于中档题. 16、②④ 【解题分析】
①中满足题意的直线还有3y x =-,②中根据等差数列前n 项和的特点,得到a ,③中根据同角三角函数关系进行化简计算,从而进行判断,④中根据基本不等式进行判断. 【题目详解】
①中过点(1,3)P -,在两轴上的截距相等的直线还可以过原点,即两轴上的截距都为0,即直线3y x =-,所以错误;
②中2
1n S n n a =-+-是等差数列{}n a 的前n 项和,根据等差数列前n 项和的特点,
2122n d d S n a n ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭,是一个不含常数项的二次式,从而得到10a -=,即1a =,所以正确;
③中在ABC 中,若2sin cos cos 1A A B +=,则可得
22cos cos 1sin cos A B A A =-=,
所以可得cos 0A =或cos cos B A =,所以可得2
A π
=或A B =,从而得到ABC 为
直角三角形或等腰三角形,所以错误; ④中因为0x >,0y >,且4400x y +-=,
由基本不等式,得到404244x y x y xy =+≥⋅=,
所以100xy ≤,当且仅当4x y =,即20,5x y ==时,等号成立. 所以lg lg lg lg1002x y xy +=≤=, 即lg lg x y +的最大值是2,所以正确. 故答案为:②④ 【题目点拨】
本题考查截距相等的直线的特点,等差数列前n 项和的特点,判断三角形形状,基本不等式求积的最大值,属于中档题.
三、解答题:本大题共5小题,共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I );(II )
【解题分析】
试题分析:(1)根据两角和差的正切公式,将式子展开,根据题干中的条件代入即可;(2)这是其次式的考查,上下同除以,得到正切的一个式子,根据题干中的正切
值代入即可. (I )
(II )因为,所以
18、(1)证明过程见详解;(2)3
22=-+
n
n n a ;(3)存在实数2λ=,使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列. 【解题分析】
(1)先由题意得到12+-=n n a a n ,再由11n n n b a a +--=,得到
12111
2
11++++-=--=-n n n n n n b a a b a a ,即可证明结论成立; (2)先由(1)求得1
132+⎛⎫-⋅ ⎪
⎝⎭
=n n b ,推出11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ,利用累加法,即
可求出数列{}n a 的通项;
(3)把数列a n }、{b n }通项公式代入a n +2b n ,进而得到S n +2T 的表达式代入T n ,进而推断当且仅当λ=2时,数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列. 【题目详解】
(1)因为点()1,2n n n a a +-在直线y x =上,所以12+-=n n a a n ,因此
2121++-=+n n n a a
由11n n n b a a +--=得112111(1)1
12112
++++++--==-+++-----n n n n n n n n n n a a b a a b a a a n n
a 1111(1)21
2112
21++++===-++--------n n n n n n n n a a a a a a n a n a
所以数列{}n b 是以1
2
为公比的等比数列; (2)因为112a =
,由2121=-a a 得234
a =,故211314--=-=
b a a ,
由(1)得1
1
1
1131132422--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪


⎝⎭⎭

=⎝⎝n n n n b b ,
所以11
1132++⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ,即11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ,
所以2
211132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ,3
321132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ,…,11132-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n
a a , 以上各式相加得:()12311113222⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦-n
n n a a
2
1111223313112212
-⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--⨯
=--+-n n
n n
所以322=-+
n
n n a ; (3)存在λ=2,使数列n n S T n λ+⎧⎫

⎬⎩⎭
是等差数列. 由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,a n +2b n =n ﹣2
∴()()
12213222222n n
n n n n n
n n n T T n n S T n S T n T n n n
λλλ+--+++--+=-==+ 又1231
131
42
112212
n n n n
T b b b ⎛⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭=++
+=
=--
⎪⎝⎭
-=13322n +-+,

13233222n n n S T n n n λλ++--⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
, ∴当且仅当λ=2时,数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列. 【题目点拨】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合,熟记等比数列的定义,等比数列的通项公式,以及等差数列与等比数列的求和公式即可,属于常考题型.
19、(1)ˆ4106y x =-+;(2)14元
【解题分析】
(1)由表中数据求得,x y ,结合参考数据可得b .再代入方程即可求得线性回归方程
ˆy
bx a =+. (2)设售价为x 元,代入(1)中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解. 【题目详解】 (1)由表可得4567865x ++++=
=,因为9085837973
825
y ++++==,
由参考数据
()()1
40n
i
i
i x x y
y =--=-∑,()2
1
10n
i i x x =-=∑,
所以代入公式可得()()
()
1
2
1
40
410
n i
i
i n
i i x x y y b x x ==---=
=
=--∑∑,
则82(4)6106a y bx =-=--⨯=,
所以线性回归方程ˆ4106y
x =-+; (2)设售价为x 元,由(1)知周销量为4106y x =-+, 所以利润(2)(4106)598W x x =-⨯-+>,
解得
27
152
x <<,因为x ∈N ,则14x =. 所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元. 【题目点拨】
本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题. 20、(1)20000
()503000(12,*)f x x x x N x
=+
+≥∈;(2)该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用最小值为5 000元. 【解题分析】
【试题分析】先建立楼房每平方米的平均综合费用()f x 的函数
()()()80001000020000
50300012,4000f x Q x x x x N x x
⨯=+
=++≥∈,再应基本不等
式求其最小值及取得极小值时x 的值: 解:设楼房每平方米的平均综合费用()f x ,
()()()8000100002000050300012,30005000
4000f x Q x x x x N x x ⨯=+
=++≥∈≥=,当且仅当20x =时,等号取到.所以,当20x =时,最小值为5000元.
21、(1)ˆ 5.627.31y
x =+(2)9
20
【解题分析】
(1)先计算所给数据距离、时间的平均值x ,y ,利用公式求b ,再利用回归方程求a . (2)由(1)计算30y >的个数,先求从6个y 中任取3个数据的总的取法,再计算抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的取法,利用古典概型概率计算公式可得所求. 【题目详解】
解:(1)依题意得175.4
3.9,29.236
x y ==
=,
所以()()
()
6
1
6
2
1
80.30
ˆ 5.6214.30
i
i
i i
i x x y y b
x x ==--==
≈-∑∑ 又因为ˆˆ29.23 5.62 3.97.31a
y bx =-=-⨯≈, 故线性回归方程为ˆ 5.627.31y
x =+. (2)将x 的6个值,代入(1)中回归方程可知, 前3个小于30,后3个大于30 ,
所以满足ˆ30y
>分钟的有效运动数据的共有3个, 设3个有效运动数据为,,a b c ,另3个不是有效运动数据为,,A B C ,则从6个数据中
任取3个共有3
6C =20种情况(或一一列举),其中,抽取的3个数据恰有两个为有效
运动数据的有9种情况,即abA ,,,,,,,,abB abC acA acB acC bcA bcB bcC ,所以从这
6个时间数据ˆi y
中任取3个,抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率为9
20
P =
. 【题目点拨】
本题考查线性回归方程的建立,古典概型的概率,考查数据处理能力,运用知识解决实际问题的能力,属于中档题.。

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