河南省南阳市2024届高三上学期期中考试数学

2023年秋期高中三年级期中质量评估
数学试题
注意事项：
1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。

2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。

第I 卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列集合中，表示空集的是A.{}0 B.{}
2,2
x x x <->且C.{}
2
10
x x ∈-=N D.{}
4
x x >2.命题“0x ∃∈R ，2
0010x x ++…”的否定为A.x ∀∈R ，2
10x x ++> B.x ∃∈R ，2
10x x ++>C.x ∀∈R ，210
x x ++… D.x ∃∈R ，2
10
x x ++<3.若复数z 满足()12z i +=，则z z -=A.2
- B.2
C.4i
- D.4i
4.公比不为1的等比数列{}n a 满足574816a a a a +=，若23964m a a a a =，则m 的值为A.8
B.9
C.10
D.11
5.若函数()()2
4125x
x
f x a a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围为
A.71,
3⎛⎫- ⎪⎝
⎭ B.(- C.73⎫⎪⎭
D.53⎫⎪⎪⎭
6.已知0,4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()
sin sin x α
α=，()
sin cos y α
α=，()
cos sin z α
α=，则
A.x y z
<< B.x z y << C.y x z << D.z x y
<<7.已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，若点P 在ABC △的内部，且满足
PAB PBC PCA ∠∠∠θ===，则称P 为ABC △的布洛卡（Brocard ）点，θ称为布洛卡角.布洛卡角满足：
cot cot cot cot A B C θ=++（注：tan cot 1x x =）.则
PA PB PC c a b
++=A.2sin θ
B.2cos θ
C.2tan θ
D.2cot θ
8.已知()2
12
x
f x ae x ax =+
-在()0,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为A.(]
,1-∞- B.()
,1-∞- C.()
0,+∞ D.[)
0,+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.如图是函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象，则函数()f x =
A.sin 3x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
B.sin 23x π⎛⎫-
⎪⎝⎭C.cos 26x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
D.5cos 26x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
10.已知n S 是数列{}n a 的前n 32n n S a =+，则A.{}n a 是等比数列 B.9100a a +>C.910110
a a a > D.0
n S >11.设,x y ∈R ，若2
2
41x y xy ++=，则x y +的值可能为A.2
- B.1
- C.1
D.2
12.设0a ≠，若x a =为函数()()()2
f x a x a x b =--的极小值点，则下列关系可能成立的是
A.0a >且a b >
B.0a >且a b <
C.0a <且a b
< D.0a <且a b
>第II 卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是______.
14.四边形ABCD 中，2AD =，3CD =，BD 是四边形ABCD 的外接圆的直径，则AC BD ⋅=
______.
15.奇函数()f x 满足()()21f x f x +=-，()12023f -=，则()2023f =______.16.互不相等且均不为1的正数a ，b ，c 满足b 是a ，c 的等比中项，则函数()2x
x
x f x a b
c -=++的最小值
为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为(
)*
n S n ∈N
，数列{}n
b 为等比数列.已知1
11a
b ==，
523a b =，424S S =.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）已知函数(
)21
cos sin 2
f x x x x ωωω=
-+
，其中0ω>，若实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为
2
π
.
（1）求ω的值及()f x 的单调递减区间；
（2）若不等式()2
2cos 22206f x a x a π⎛
⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时恒成立，
求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）
记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221n
n S n a n
+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；
（2）若1a ，3a ，7a 成等比数列，求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2024项的和.
20.（本小题满分12分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_____.
（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）条件①：()()sin sin sin 3sin b c B C a A b C ++=+条件②：2
5cos cos 24A A π⎛⎫
++=
⎪⎝⎭
（1）求角A ；
（2）若ABC △为锐角三角形，1c =，求ABC △面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数()3
f x x x =-，()2
g x x a =+，a ∈R ，曲线()y f x =在点()()
11,x f x 处的切线也是曲线
()y g x =的切线.
（1）若11x =，求a ；（2）求a 的取值范围.22.（本小题满分12分）
（1）已知函数()ln f x x x =，判断函数()()()11g x f x f x =++-的单调性并证明；（2）设n 为大于1的整数，证明：()
()
1111211n
n
n n n +-
+->.
2023年秋期高中三年级期中质量评估
数学参考答案
一.选择题：
1-8.BADC
CDBA 二.选择题：
9.BC
10.ABD
11.BC
12.AC
三.填空题：13.43或
8314.5-15.2023
-16.4
四.解答题：
17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由424S S =可得()114642a d a d +=+，即()6442d d +=+，解得2d =，
所以，()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，
25339b q a ===，∴3
q =则1
113n n n b b q
--==；
（2）()1
213
n n n a b n -=-⋅，
则()0
1
2
1
133353213
n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①，
可得()()1
2
1
31333233
213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②，
①-②得：(
)
()(
)()1
121
613212333
2131213
13
n n n n
n T n n ----=+++⋅⋅⋅+--⋅=+
--⋅-()2232n n =-⋅-，
因此，()131
n
n T n =-⋅+18.解：（1）(
)21
cos sin 2
f x x x x ωωω=
-
+
1cos2122x x ωω-=
-
+1
cos22
x x ωω=
+sin 26x πω⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭因为实数1x ，2x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2
π
.
所以()f x 的最小正周期22T π
πω
==，解得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，由()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈，得()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
（2）不等式()2
2cos 22206f x a x a π⎛
⎫⎡⎤++--< ⎪⎣⎦⎝⎭对任意,126x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时恒成立，
()22cos 2226f x a x a π⎛
⎫⎡⎤++-- ⎪⎣⎦⎝⎭
2sin 22cos 222
66x a x a ππ⎛⎫⎛
⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 22166x a x a ππ⎛⎫⎛
⎫=-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
令cos 26t x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，20,62x π
π⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭，∴()cos 20,16x π⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭
22210t at a -+--<，()0,1t ∈()2
211a t t -<+，21
21
t a t +>-恒成立
令()11,0m t =-∈-，221222
21
1t m m m t m m
+++==++<--∴21a -…，解得：12
a ≥-，故实数a 的取值范围是1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
19.解：（1）因为
221n
n S n a n
+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()2
1121211n n S n n a n --+-=-+-②，
①-②得，()()()2
2
112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，
即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，
即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且*
N n ∈，
所以{}n a 是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得312a a =+，16
a a =+又1a ，3a ，7a 成等比数列，所以()()2
11126a a a +=⋅+，解得12a =，所以1n a n =+∴
()()11111
1212
n n a a n n n n +==-++++.
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前2024项和为：111111111150623344520252026220261013
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20.解：解析：（1）选择条件①：
由题意及正弦定理知()2
2
3b c a bc +=+，
∴2
2
2
a b c bc =+-，∴2221
cos 22
b c a A bc +-==
∵0A π<<，∴3
A π
=
.
选择条件②：因为2
5cos cos 24A A π⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
，所以25sin cos 4A A +=，
即2
51cos cos 4A A -+=，解得1
cos 2
A =，又0A π<<，所以3
A π
=
（2）由sin sin b c
B C
=可得
sin sin 3sin sin C B b C C
π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=
=
112tan C
==+因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3
A π
=
，A B C π++=得到2
3
B C π+=
，故022032C C πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得62C ππ<<，所以122b <<.
1sin 2ABC S bc A ==△，ABC S ∈△21.解：（1）由题意知，()10f =，()2
31f x x =-'，()1312f =-='，
则()y f x =在点()1,0处的切线方程为()21y x =-，22
y x =-设该切线与()g x 切于点()()
22,x g x ，()2g x x '=，则()2222g x x =='，解得21x =，则()11220g a =+=-=，解得1a =-；
（2）因为()2
31f x x =-'，则()y f x =在点()()11,x f x 处的切线方程为()()
()3
2
111131y x x x x x --=--，
整理得(
)
2
3
11312y x x x =--，
设该切线与()g x 切于点()()
22,x g x ，()2g x x '=，则()222g x x '=，则切线方程为()
()2
2222y x a x x x -+=-，整理得2
222y x x x a =-+，
则21232
123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩
，整理得2
223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令()4329312424
h x x x x =--+，则()()()32
9633311h x x x x x x x '=--=+-，
令()0h x '>，解得1
03x -<<或1x >，
令()0h x '<，解得1
3
x <-或01x <<，
则x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：
则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)
1,-+∞22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，函数()g x 的定义域为()1,1-函数()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x =+++--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增
证明：()()()()()1ln 11ln 1g x x x x x -=--+++，∴()()g x g x -=所以()g x 为()1,1-上的偶函数.
()()()12ln 1ln 1ln
ln 1011x g x x x x x '+⎛
⎫=+--==--> ⎪--⎝⎭
对()0,1x ∀∈恒成立.所以函数()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增
（2）（证法一）要证明()
()
1111211n
n
n n n +
-
+->，需证明
()
()11111111111
n n
n
n
n n n
n
+
-
+
-+⋅->⋅
即证明()()1111111111ln 0n n n n n n n n +-+-⎡
⎤+-⎢⎥⋅>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，即11111ln 11ln 10n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（1）可知即证10g n ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
.∵
()10,1n ∈且()g x 在()0,1单调递增，∴()100g g n ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
所以()()
1
111211n
n
n n n +-
+->对*n N ∈，1n >成立.
（证法二）要证明()()
1111211n
n
n n n +-
+->即证明()()111ln 11ln 12ln n n n n n ⎛⎫⎛⎫
+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即证()()()()1ln 11ln 12ln n n n n n n +++-->，即证()()()()1ln 1ln ln 1ln 1n n n n n n n n ++->---设函数()()()1ln 1ln g x x x x x
=++-()()ln 1ln 0g x x x =+->'，故函数()g x 在()0,+∞上单调递增
又1n n >-，∴()()1g n g n >-，故原不等式成立.。