粒子物理基础4

det(i j ) det( ji ) (1)d det(i j )
因此d 必须为偶数。 由于对于 d = 2 只存在3 个反对易厄米矩阵，即 Pauli 矩阵，
所以当m≠0时，我们有 d 4
9
m=0的情况：这时Dirac方程简化为
i
t
ii
xi
记住
i xi
~
pi
，上式可写成
i
t
i pi
为此，我们首先对无穷小变换 构造 S () 这时 可写成
g , (1) g （3.27）
其中 是无穷小矩阵，同时，由于（3.21）式，它必须是反对称的
因此
（3.28）
有六个独立而不为零的分量，
其中每一个都生成一个无穷小的Lorentz变换。
24
把S按 的幂展开并且只保留无穷小生成元的线性项，我们写出
的矩阵空间中仅有的4个独立矩阵1,1,2,3
不满足 i和所应满足的条件，
我们必须找4 4矩阵。
选择不是唯一的
一个可能的选择是：
0
i i
i
0
，i
=1,2,3，
1 0
01
（3.7）
12
这里每个矩阵元都是2 2矩阵，例如 0 代表
0 0
00
1代表
1 0
0 1
如此等等。容易验证，这样的选择满足
p
可取 i i
i j ji 2ij
Dirac方程变成
i p
t 10
这情况下，可理解为有2分量的旋量
其中Pauli 矩阵为
1 2
1
0 1
10
2
0 i
i 0
3
1 0
01
11
m≠0的情况： Dirac方程
i
t
ii
xi
m
中的系数
i(i =1,2,3)及 不可能是2 2矩阵，因为2 2矩阵
g g 0;g i
（3.8）
它们满足反对易关系：
g g g g 2g
1
g
1
1
1
（3.9）
15
Dirac方程（3.2）两边用 左乘后，可用g 矩阵写出：
i
t
iii m
即
ig 00 ig ii m
或
ig m 0
（3.10）
16
定义 =†g0
（3.11）
所以，
g 的变换象一个四维矢量。
29
'(x')g g '(x') (x)S 1()g g S() (x) (x)S 1()g S()S 1()g S() (x) (x)g g (x)
是个张量，在洛仑兹变换下满足张量的变换规律
空间反演
空间反射是一种分立的洛伦兹变换
x ' (x0, x) x
6
为了能从方程（3.2）自然地得出正确的能量—动量关系， 从量子力学知
i0
i
t
~
E
(能量)，
ii
i xi
~
pi
(动量 p 的i分量)；
又从狭义相对论知E, p , m间应有关系
E2
p
2
m2
于是要求有：
2
t 2
2 m2
（3.3）
7
从Dirac方程可导出
2
t 2
iii m
() (x) eik ux (k )
正能量
() (x) eikxv(k)
负能量
（3.38） （3.39）
其中我们让 k 0 是正的。为了满足Klein-Gordon方程，还必须有
k2 m2
四矢量 k 就是粒子的能量、动量。
32
Dirac方程意味着
(g k m)u(k) 0,
(g k m)v(k) 0
称为对易子。
容易证明，满足（3.31）的一组矩阵 为
i 2
[g
,
g
]
（3.33）
26
这样，我们就得到了无穷小的Lorentz变换下的 S()
当 为有限的变量时，相应的有限变换 S () 为
S () e (i / 4)
（3.34）
我们已找到了方程（3.26）的一个解 S ()
因而也就证明了Dirac方程的协变性。
i j j m
i2
2
xi 2
j i
i j ji
2
xix j
im
i
i
xi
2m2
（3.4）
为满足（3.3）中要求，必须有
2 i
2
1
{i , j } 0 (i≠j)
{i , } 0
（3.5）
8
{A, B} AB BA
称为反对易子。 可见i, 不能是普通的数，而必然具有矩阵形式。 为了使（3.2）中的哈密顿量是厄米算符，我们要求 i, 是厄米的。 令矩阵i, 的维数为 d, 对i≠j，由（3.5）可知
22
这样，方程（3.23）就可写成：
ig
x x'
x
S() (x) mS() (x) 0
（3.25）
由于对于任何 ，都能从（3.22）导出这个方程，并由于
x x '
(1 )
我们必须有
S()g S 1() (1) g
（3.26）
因此，我们的任务就是寻求方程（3.26）的一个解， 一旦证明了（3.26）有一个解并把它找出，Dirac方程的协变性便确立了。23
J0
i( *
t
*
) t
（3.1）
其中 表示夸克或轻子波函数。
3
我们要寻找在时间演变下保持不变的非负的几率密度。
由于（3.1）不是正定的表达式， 它只能作为一个守恒量（例如电荷）的密度， 但却不能被解释为守恒的几率密度。
由于这个缘故，我们将放弃方程(2．26)，
m2 0
而希望能够找到一个对时间导数为一阶的方程，
观察者 O 描述事件用坐标 x ，观察者 O’描述同一事件用坐标 x'
两组坐标间的Lorentz变换就给出将此两组坐标联系起来的规则
x' x （3.20）
这是一个线性齐次变换，其系数
仅依赖于两个参照系O 和 O’的相对速度和空间取向。
20
Lorentz变换的基本不变量是间隔不变量
ds 2 g dx dx dx dx
（3.40）
我们假设粒子是有质量的，即m≠0。在粒子的静止坐标系中，
k (m,0)
（3.40）简化为
(g 0 1)u(k ) 0, (g 0 1)v(k ) 0, （3.41）
显然存在二个线性独立的解 u 和二个 v。
33
在通常的表示式中，
1 0
g0
0
1
我们把 u, v记作
1
u
Dirac方程及其厄米共轭：
ig 0
t
ig k
xk
m
0
利用
i
t
†
(g 0 )†
i
†
xk
(g
k
)†
m
†
0
g 0 (g 0 ) , (g k ) ( k ) k k g k
g 0 2 1 g k 2 1
(3.13)右乘 g 0 ，得
或
i
t
g
0
i
xk
gk
m
0
i g m 0
它应容许做直接了当的几率解释。
同时，由于方程对时间是线性的， 很自然地，我们让方程对空间也是线性的 （这是为了满足Lorentz不变性的要求）。
4
基于这些考虑，Dirac于1928年为电子 (静止质量m) 写下了如下形式的相对论性量子力学方程：
i t
iii m
i
xi
（3.2）
并由物理要求确定了系数
2
显然，由拉氏量密度（2.27）
L 1 2
1
1
m
2 2 1
1 2
2 2
m
2 2 2
m2
导出的运动方程，即Klein-Gordon 方程满足相对论协变的 要求。
然而，应用Noether定理，很容易发现， 由此给出守恒荷由下式对三维空间的积分给出
（见（2.32）式 J i( * * ) ）
反对称张量，
“赝”表示在宇称变换下有一额外的变号。
28
这里我们以g 为例加以证明。从式（3.24）可以推得
'(x（3.35）
其中用到
g 0S () g 0 S 1 ()
（3.36）
因此，由（3.26）我们得到
'(x')g '(x') (x)S 1()g S() (x) (x)g (x) （3.37）
对全空间积分（3.16），我们得到：
d 3 x 0
t
因此可将
r
（3.17） （3.18）
解释为正定的几率密度。
若考虑带电费米子，如电子，则可放入电荷，使成4维电流:
j e g
19
3.4 Dirac 方程的相对论协变性证明 Dirac方程必须在Lorentz变换下是协变的。 让我们先来复习一下Lorentz变换是什么意思。 处在不同惯性参照系的两个观察者 O 和 O’， 他们用不同的空时坐标去描述同一物理事件。
取 S () g 0 ，它满足
S 1()g S() (g 0, g ) g
于是，Dirac波函数在空间反演下变换为
'(x ') P (x) g 0 (x)
所以 g 5 是pseudoscalar， g g 5 是 axial vector
3.5 Dirac 方程的自由粒子解
我们来寻找自由Dirac方程（3.10）的平面波解， 即下列形式的解：
S()
I
i 4
......
（3.29）
S 1 ()
I
i 4
......
（3.30）
其中六个系数 的每一个也都是4×4矩阵，
同时，它也必须是反对称的。
25
把（3.27）--（3.30）带入（3.26），到 的一次项，我们得到
[g
, ] 2i(gg
g
g
)
（3.31）
其中 [ A, B] AB BA
(3.12) （3.13）
(3.14) 17
做 *(3.10)+( 3.14)*，得：
g g 0
或
g 0
（3.15）
因此，我们得到了可以作为流的一种表达形式：
j g
它满足守恒律： 或
j 0
t
r
+
div
j
=
0
（3.16）
18
r 其中我们将几率密度 确定为
4
r * 1
x'
m '(x')
0
（3.23）
21
由于Dirac 方程是线性的，我们要求 (x) 和 '(x')
之间的变换是线性的，即：
'(x') S() (x) （3.24）
其中
S () 是作用于4分量波函数
的4×4矩阵。它依赖于O和O’的相对速度和空间取向。
S必须有逆矩阵，以便当O知道O’用函数 '(x') 来描述他的坐标系中的物理态时，O能够构成他自己的波函数 (x)
即两事件的间隔不因参照系变换而改变。
（3.21）
这是从真空中的光速在一切Lorentz系中都相同得到的。
在第一个坐标系中我们的系统用波函数 (x) 描述，
而在变换后的坐标系中用 ' (x' ) 描述。
相对论协变性要求，它们必须满足同样的Dirac 方程：
ig
x
m (x)
0
（3.22）
ig
第三章 Dirac方程
3.1 Dirac 方程的提出 3.2 Dirac 方程的矩阵系数 3.3 Dirac 方程的几率密度和流 3.4 Dirac 方程的相对论协变性证明 3.5 Dirac 方程的自由粒子解 3.6 二分量中微子理论 3.7 Dirac 拉氏量密度
1
3.1 Dirac 方程的提出 夸克和轻子是我们所知的基本粒子， 因此我们要建立描述它们的场方程。 既然狭义相对性原理现在已被普遍接受， 一个正确的量子理论就必须满足相对论的要求， 即在一个惯性系统中成立的运动定律必须在一切惯性系统中都是正确的。 用数学语言来说，相对论性量子理论必须表述为Lorentz协变的形式。 同时，夸克和轻子都是自旋为 1/2 的粒子， 因此，描写它们的波方程必须考虑自旋。
i j ji 2 ij i i 0
2 1
13
这情况下，应有四分量 r (r =1,2,3,4)，可写成
1
2
3 4
它是4分量旋量，称为双旋量或Dirac旋量。
注意，它不是4维矢量。
14
3.3 Dirac 方程的几率密度和流 引进 “g” 矩阵：
g0
1 0
01
gi
i
0 σi
σi 0
i (i =1,2,3), 及波函数 所应满足的条件。
5
3.2 Dirac 方程的矩阵系数 为了使这个方程成一个合理的方程， 首先，它必须对一个自由粒子给出正确的能量--动量关系，即
应满足Klein-Gordon 方程；
第二，它必须容许有一个连续性方程和对波函数的几率解释； 第三，它必须是Lorentz协变的。 我们现在分别讨论这些要求
27
可以证明，由波函数 , 及矩阵 g ，可以组成下列各种物理量
对任意解 ，可形成自旋空间中的标量和矢量，如 g
等等。在时空变换下，g 和 p , x 一样按正常矢量变换。
g 5 g g g 5
标量(S)， 赝标量(PS) 矢量(V)，
g 5 ig 0g1g 2g 3
赝矢量或轴矢量(A)
(1)
(m,0)
0 0 0
0
v
(1)
(m,0)
0 1 0
g
i
0 σi
σi 0
0
u
(
2)
(m,0)
1 0 0
0
v
(2)
(m,0)
0 0 1
（3.42）
34
利用式（3.34）给出的Lorentz变换可以将这些静止解推向具有速度
v | k | / k 0 的坐标系。由于