湘教版高中数学选修1-1文科课件 2.2.1 双曲线的定义与标准方程课件

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？
提示 不是，是双曲线的某一支．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
预习测评
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－| MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点的轨迹是以F1、F2为焦点 的双曲线，则甲是乙的( )．
(3)常见的题型：一是判断含有参数的方程的曲线类型；二是 已知方程的曲线类型，求方程中参数的取值范围．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值 分别指出方程所表示的曲线类型．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 ①当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行的直线． ②当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为 2
的圆． ③当 k<0 时，方程为y42－－x24＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线． k ④当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆． k ⑤当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引
1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的 点的轨迹为 以 F1、F2 为端点的两条射线 ． 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的 点的轨迹 不存在 ．
∵a＝ 2，c＝4， ∴b2＝c2－a2＝14， ∴点M的轨迹方程是x22－1y42 ＝1(x≥ 2)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
点评 利用双曲线的定义时注意不要漏掉“差的绝对值”， 若|PF1|－|PF2|＝2a，则表示双曲线的一支．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．如图，设双曲线x42－y92＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在 双曲线上．
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/ 乙，只有当2
a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线． 答案 B
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这曲线是( )． A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积 将减小．证明如下：
令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝12r1·r2sin θ.
由双曲线定义及余弦定理，有
（r1－r2）2＝4a2，
①
r21＋r22－2r1·r2cos θ＝4c2. ②
课前探究学习
1．设双曲线与椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交，
在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程． 解 法一 由椭圆方程2x72 ＋3y62 ＝1，得椭圆的两个焦点为F1(0，
－3)，F2(0，3)．由椭圆与双曲线的交点A的纵坐标为4，可得这个 交点A( 15，4)．设所求双曲线的方程为ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．标准方程的理解 (1)标准方程的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－ c2(a>b>0)相区别，在椭圆中a>b>0，而在双曲线中，a，b大小则 不确定． (2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线 标准方程的类型，焦点跟着正项走．若x2项的系数为正，则焦点 在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
课堂讲练互动
活页规范训练
②－①得r1·r2＝2（14－c2－co4saθ2 ），
所以S△F1MF2＝（c21－－ac2o）s sθin
θ
＝
b2
θ.
tan 2
因为0<θ<π，在(0，π)内， 1 θ是减函数．
tan 2
因此当θ增大时，S△F1MF2＝ b2θ减小．
tan 2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
π (1)若∠F1MF2＝ 2 ，求△F1MF2的面积；
π (2)若∠F1MF2＝ 3 ，求△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝ 23π，求△F1MF2的面积又是多少？ (3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△ F1MF2的面积怎样变化吗？试证明你的结论．
课前探究学习
课堂讲练互动
x2 8＋k
－
10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案 x62－1y22 ＝1
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
4．双曲线2x2－y2＝8上一点P到其一个焦点的距离为10， 则P点到另一个焦点的距离为________．
答案 6或14
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
要点阐释 1．定义的理解 (1)定义中“小于|F1F2|且不等于零”这一限制条件十分重 要，其根据是“三角形两边之差小于第三边”，若2a＝2c，则点 的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若2a>2c，则点 的轨迹不存在；若2a＝0，则点的轨迹是线段F1F2的垂直平分 线． (2)距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，若F1， F2分别表示双曲线的左、右焦点，且|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在 左支上；若|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上．双曲线的点满足 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，2a＜|F1F2|，a>0}.
时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲
线还要区别焦点在x轴上和y轴上的情况．
(2)确定方程所表示的曲线的类型时，首先应明确方程Ax2＋
By2＝C表示双曲线的条件，即AB<0，且C≠0.化成
x2 C
＋
y2 C
＝1.若焦
AB
点在x轴上，则CA>0，CB<0；若焦点在y轴上，则CB>0，CA<0.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1、F2 叫做双曲线的 焦点 点之间的距离叫做双曲线的 焦距 ．
，两焦
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2(1．)焦双点曲在线x的轴标上准的方双程曲线的标准方程是ax22－by22＝1(a>0，b>0，) 焦点(F2)1焦(－点c在，0y)轴，上F的2 (双c，曲0线) 的标．准方程是ay22－bx22＝1(a>0，b>0，) 焦点 F1(0，－c) ，F2(0，c) ．
解析 原方程可化为xb2＋y2＝1，∵ab<0，∴ba<0， a
知曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.
答案 B
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．与双曲线
x2 8
－
y2 10
＝1具有相同焦点的双曲线方程是
________(只写出一个即可)．
解析
与
x2 8
－
y2 10
＝1具有相同焦点的双曲线方程为
(3)双曲线中 a、b、c 的关系是 c2＝a2＋b2 ．
(4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设 为 Ax2＋By2＝1(A·B < 0)．
(5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴 上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
点评 (1)由于三角形面积 S△F1MF2＝12r1r2sin θ，所以只要
求出 r1r2 即可，因此可考虑到双曲线定义及余弦定理求出 r1r2，体 现了数学中的一种整体思想．(2)本题由 θ＝π3 ，π2 ，23π时的△ F1MF2 面积的值的变化猜想到随 θ 的增大面积减小的事实，进而 要求进行证明，这是一种很重要的题型，同时也体现了运用由特 殊到一般的思想解决问题的方法，要注意认真体会．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例剖析 题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P3，145，Q－136，5； (2)c＝ 6，经过点(－5，2)，焦点在x轴上．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解
(1)设双曲线方程为
x2 m
＋
y2 n
＝1(mn＜0)，因为点P，Q在双
活页规范训练
解 (1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13，设|MF1|＝r1， |MF2|＝r2(r1>r2)．由双曲线定义，有 r1－r2＝2a＝4，两边平方得 r21 ＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即 52－16＝4S △F1MF2，求得 S△F1MF2＝9.
自主探究 1．双曲线的定义中，为什么常数要小于|F1F2|?
提示 (1)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是 以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)．
(2)如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平 分线．
(3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 根据双曲线的标准方程求参数的值或范围
【例3】 求适合下列条件的参数的值或范围：
(1)已知
x2 1－k
－
y2 |k|－3
＝－1，当k为何值时，①方程表示双曲
线；②表示焦点在x轴上的双曲线；③表示焦点在y轴上的双曲
线；
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 (1)①若方程表示双曲线，则须满足 1|k－|－k3>>00或1|k－|－k3<<00，，解得k<－3或1<k<3； ②若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则1<k<3； ③若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k<－3椭圆方程，得焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，A 点坐标为( 15 ，4)．所以2a－|AF2||＝ （ 15）2＋（4＋3）2 －
（ 15）2＋（4－3）2 ＝4，所以a＝2，b2＝c2－a2＝5.故所求双 曲线的方程为y42－x52＝1.
课前探究学习
曲线上，所以
m9 ＋21265n＝1， 295m6＋2n5＝1，
解得
m＝－16， n＝9.
所以所求双曲线的
标准方程为－x12 6＋y92＝1，即y92－1x62 ＝1.
(2)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝ 6，所以设所求双曲线方
程为xλ2－6－y2λ＝1(0＜λ＜6)．因为双曲线过点(－5，2)，所以2λ5
π (2)若∠F1MF2＝ 3 ，在△MF1F2 中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cosπ3 ， 即|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，r1r2＝36，求得 S△F1MF2＝12r1r2sinπ3 ＝9 3. 同理可求得∠F1MF2＝23π时 ，S△F1MF2＝3 3.
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二 双曲线定义的应用 【例2】 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x －4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 如图，设动圆M的半径为r，则由已知 |MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2， ∴|MC1|－|MC2|＝2 2. 又C1(－4，0)，C2(4，0)， ∴|C1C2|＝8，∴2 2＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点 的双曲线的右支．
－
4
6－λ
＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)．所以所求双曲线的标准方
程是x52－y2＝1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
点评 求双曲线的标准方程，要先“定位”再“定量”．注
意过两点的双曲线方程可设为
x2 m
＋
y2 n
＝1(mn＜0)，避免讨论焦点
所在坐标轴．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)若焦点在x轴上，则方程可化为xk2－yk2＝1， 2
∴2k＋k＝32，即k＝6. 若焦点在y轴上，则方程可化为－y2k－－x2k＝1，
2
∴－k＋(－2k)＝32，即k＝－6. 综上，k的值为6或－6.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
点评 (1)判定方程所表示的曲线类型，在对参数k进行讨论