1 北师大八上勾股定理提高班教案1

小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边长为 a，较长的直角边长为 b，那么（a+b）2 的值是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
11．如图，已知长方形 ABCD，AB＝3 cm ，AD＝4 cm ，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、
BC 于点 E、F，则 AE 的长为_______________．
7、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午 9 时 50 分我国缉私艇 A 发现在其正东方向有一走私艇 C 并以每小时 13 海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其 5 海里，并在 MN 线上巡逻的缉私艇 B 密切注意， 并告知 A 和 C 两艇的距离是 13 海里，缉私艇 B 测得 C 与其距离为 12 海里，若走私艇 C 的速度不变，最早在什么 时间进入我国海域？
，所以
．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以
．
二、常见勾股数有：（3，4，5）( 6，8，10) ( 9，12，15)、 (5，12，13) ( 7，24，25)、( 8，15，17)、
注意：（1） 2n，n2 1，n2 1 （ n 1, n 是自然数）是直角三角形的三条边长；
间的距离为 2 ， l2 ， l3 之间的距离为 3 ，则 AC2 的值是（ ）
A．68
B．20
C．32
D．47
5．在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长为（ ）
A．42
B．32
C．42 或 32
D．37 或 33
6．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三 角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，…
边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方
形的顶点处），如图 1 所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就
能计算出它的面积．
（1）请你直接写出△ABC 的面积
；
思维拓展：
（2）如果△MNP 三边的长分别为 ，2 ， ，请利用图 2 的正方
形网格（每个小正方形的边长为 1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP 的面积．
5
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主讲人：徐老师
1．如图，△ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BE⊥AC．若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
1题
2题
3题
4题
2.如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D 是线段 BC 上的动点（不含端点 B、C）.若线段 AD 长为正整数，则点 D 的
某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中
米，
，
，因某种活动
要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为
．
考点 5、利用列方程求线段的长（方程思想） 1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现 下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
A
4、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9 ㎝，宽 AB=3 ㎝，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？
5、如图，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C′的位置上，已知 AB=3，BC=7，重合部分△EBD 的面积
为
．
3
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考点 7：应用勾股定理解决勾股数问题 1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形，其中最大的正方形的边长为 5，则正方形 A，B， C，D 的面积的和为
5、如图，点 D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点 B 顺时针方向旋转 60°得到△CBE，若 AD=4，BD=3，CD=5． （1）判断△DEC 的形状，并说明理由； （2）求∠ADB 的度数．
6、已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且满足 a 4 b 3 c 8 ，且 a+b+c=12，请你探索△ABC 的形状． 3 24
8．将一根长为 15cm 的很细的木棒置于底面直径为 5cm，高为 12cm 的圆柱形杯中，木棒露在杯子外面的部分长度
x 的范围是
．
9．如图，在 5 5 的正方形网格中，以 AB 为边画直角△ABC，使点 C 在格点上，这样的点 C 共
个．
9题
10 题
11 题
12 题
10．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是 13，
主讲人：徐老师
2、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DE 丄 DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F， 若 AE=4，FC=3，求 EF 长．
3、问题背景：
在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 ，3 ， ，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的
个数共有（ ）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
3．如图，长方形 AOBC 中，AO=8，BD=3，若将矩形沿直线 AD 折叠，则顶点 C 恰好落在边 OB 上 E 处，那么图中阴
影部分的面积为（ ）
A.30
B．32
C．34
D．16
4．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1 ，l2 ，l3 上，且 l1 ，l2 之
4、若△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 b2 c2 200 12a 16b 20c，试判断△ABC 的形状。
5、（1）若三角形三条边的长分别是 7、24、25，则这个三角形的最大内角是
（2）已知三角形三边的比为 1： 3 ：2，则其最小角为
。
度。
考点 4：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
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第一讲 勾股定理（一）
一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b ，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2 ．
1、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
，所以
．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
2、已知△ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt△ABC 的
斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的
斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE，…，依此类推，
第 n 个等腰直角三角形的斜边长是
．
第二讲 勾股定理（二）
【典型例题】 1、在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 延长线上的点，求证： AD2 AB2 BD DC
（2） 2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1（ n 是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） 2mn，m2 n2，m2 n2 （ m n, m、n 是自然数）是直角三角形的三条边长；
三、勾股定理逆定理：如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三 角形。 因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点： （1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错； （3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即 c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．
12．如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，那么四边形 ABCD 的面积是
．
6
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第一讲 课后练习
1、如图，长方形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，
且 EF＝3，则 AB 的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
1题
2题
3题
4题
2、如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为（ ）
三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5
B、25
C、7
D、15
4．设 a，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，则这个直角三角形的斜边长为
．
5、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．
（1）若 a ＝5， b ＝12，求 c ；
C．3 个
D．4 个
2、若三角形的三边之比为 2 : 1 :1，则这个三角形一定是（ ） 22
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．不等边三角形
3、已知 a，b，c 为△ABC 三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角
cm2．
2．如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面积为
．
3．在 直 线 l 上 依 次 摆 放 着 七 个 正 方 形 （ 如 图 ） ． 已 知 斜 放 置 的 三 个 正 方 形 的 面 积 分 别 是 1， 2， 3，
正 放 置的 四 个 正 方 形的 面 积 依 次 是 S1， S2，S3， S4， 则 S1+S4=
考点 1、在直角三角形中，已知两边求第三边
1．已知直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，斜边上的高是
2．如果直角三角形的两直角边长分别为 n 2 1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、 n 2 1
3．已知 x、y 为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角
（2）若 c ＝26， b ＝24，求 a ．
（3）已知 a : c 3 : 5 ， b ＝32，求 a 、 c ．
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考点 2、利用勾股定理求面积
1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 10cm，正方形
A2 的边长为 6cm，正方形 B 的边长为 5cm，正方形 C 的边长为 5cm，则正方形 D 的面积是
．
考点 3：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下面的三角形中：其中是直角三角形的个数有（ ）．
①△ABC 中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC 中，a：b：c=3：4：5；
A．1 个
B．2 个
④△ABC 中，三边长分别为 8，15，17．
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4、如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为 36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的 速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动，如果同时出发，则过 3 秒时，△BPQ 的面积为多少 cm2.
CB
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2、一架长 2．5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0．7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑
0．4 m ，那么梯子底端将向左滑动
米
考点 6：折叠问题
1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将△
ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD 等于（ ）
按照此规律继续下去，则 S2015 的值为（ ）
A．

2 2012 2
B．

2 2013 2
C．

1 2

2012
D．
1 2013 2
二．填空题
7．若一个直角三角形的两边长分别为 12 和 5，则此三角形的第三边的平方为______．
A． 25 4
B． 22 3
C． 7 4
D． 5 3
2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交 BC 于 M，交 AB 于 N，若 AC=4，MB=2MC，求 AB 的长．
3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD，点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB=8CM，BC=10CM，求 CF 和 EC。