圆盘定理在严格对角占优矩阵中的应用

Gerschgorin®盘定理在严格对角占优矩阵中的应用
【摘要】：利用Gerschgorin圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程。

关键词：Gerschgorin圆盘定理；矩阵；对角占优矩阵；特征值
Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonally
dominant matrix
An Yu Shua n
(University of Electronic Science and Technology of China chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao 611731) Abstract: Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on strictly diagonally dominant matrice ，and the proof is very simple .
Key words : Gerschgorin theorem; matrix ; diagonlly dominant matrice ; eigenvalue
1引言及预备知识
Gerschgorin圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理，在矩阵理论中占有很重要
的地位，在很多方面均有应用，尤其在严格对角占优矩阵中.本文利用Gerschgorin 圆盘
定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程.
n 定义[1]设A=(a“n巾，若內> R(A)二刀 a j (i = 1,2；……n)，则称A为对j=1,j = i
n
角占优的；若a ii > R i(A)= 刀a j (i =1,2,……n)，则称为严格对角占优的。

j=1,j= i
n■
£ a j ，j=1, j * i Gerschgorin 圆盘定理[2]设A = (a ij)nXn是复方阵，记R (A)二
G i= {: € Cz-a ji < R (A)} (i =1,2, .......... n)，则A的任意特征值一定属于n个圆盘的并
n
集G(A) = G i ；若在G(A)中，有k个互相连通且与其余n - k个不相交，则A恰有k个i=1
特征值含在此k个圆盘组成的区域内。

2主要结果及证明
定理1 严格对角占优矩阵的特征值全不为零.
证明：假设矩阵A有某一个特征值入=0,则由Gerschgorin圆盘定理可知，必有某个
i，使得a ii< R(A)，与矩阵A严格对角占优即a H > (A)相矛盾，因此严格对角占优矩
阵的特征值全不为零。

定理2 严格对角占优矩阵必是非奇异矩阵。

证明：由定理1可知，严格对角占优矩阵A的特征值全不为零，则AX = 0只有零解，
否则必有一个特征值为0,由AX = 0只有零解可得det A *0,从而A为非奇异矩阵。

定理3 设A = (a ij)n巾严格对角占优实方阵，且a j > 0，则A的任一特征值的实部必
定理7
［3］
若A=(a jj )n 巾€ M n (C)为严格对角占优矩阵,
n
det A >n 6 -R i
(A ))。

大于零.
证明：设矩阵 A= (a ij )n 巾，a ij € R , X = a + bi 为A 的任一特征值，由 Gerschgorin 圆盘定理可知，an -a-bi W F((A ),则(a ii -a )2+(bi )2 < (R i (A))2 ,因此
a ii - a w R j(A ),又因为A= (a ij
)nX1
严格对角占优实方阵，所以a^ > R (A),由于a ii
> 0 ,
因此必有a > 0。

定理4 设A = (a ij )n 巾为严格对角占优实方阵，且
a ii
> 0,贝U detA>0。

证明：令 f (x) = D + xB , x € [0,1],其中：D = diag(a n ,a 22, ------------------- a nn ) ； B = A- D 。

n
则f (x)为［0,1］上的连续实变值函数，易见 f(0) = n
a ii
>0，若f (1) = detA< 0,则
i = 1
由根的存在性定理可知， 必存在E€(0,1),使得f(E)= D+
田=0。

由于A=(a ij )n ^1
严
n
》
X
Wij ，即
D +出亦为严格对角占优，由定
j=1,j * i
理3可知f(E)工0,与f(E) = 0相矛盾，因此f(1)=detA>0。

定理5 主对角元为正的严格对角占优实对称阵的任何主子式必大于零。

证明：由于严格对角占优对称阵的任何主子式仍为严格对角占优的， 其必大于零。

I - H 1A 的任一特征值，则由 Gerschgorin
圆盘定理知，
X < R i
(B )，贝U 入<1
格对角占优，则
n
a ii
> R
i ( A)=
刀
a ij
j=1,j = i
因此由定理4可知
定理6 若A=(a ij )n 巾€ M n (C)为严格对角占优矩阵，则矩阵 I -H -1
A 的所有特征
值的模小于
其中 H =diag(an,a 22,
a .n )。

a 12
an
-1 I -H
1A =
a 21
a 22
a 1n
an
a 2n a 22
-H -1
A=B ,则
I a nn
a nn
J
a a
ii
I n
u 。

由于A 为严格对角占优的，即 a > X
a ij a a
ii
j=1,j *i
，则R(B) <1。

设入为
a n1
a n2
n
R(B)=
X
j=1,j =i
证明：设木，4,..... ,入为A的n个特征值，由Gerschgorin圆盘定理的第2部分，在
G(A)中，若有k个互相连通且与其余n - k个不相交，则A恰有k个特征值含在此k个圆盘组成的区域内，另n-k个特征值含在n-k个圆盘内，即每个特征值入必属于某个圆盘，n 个特征值恰属于n 个圆盘，因此a ii- 4 w&(A) (i = 1,2;n)，从而a ii- R(A),
n
4>a|-R( A)，又因为|detA|= 4 4 …4，所以I det A(a ii-R i(A)〉
i=1
由上所述，利用Gerschgorin圆盘定理可以得到严格对角占优矩阵的许多重要结论，而且其推导过程也十分简捷。

由此可见，Gerschgori n 圆盘定理是矩阵中的一个十分重要的定理，其应用也非常广泛。

参考文献
[1]屠伯埙，徐诚浩，王芬•高等代数学[M].上海：上海科学技术出版社，1987
[2]刘丁酉•矩阵分析[M] •武汉：武汉大学出版社，2003
[3]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式[M] •北京：科学出版社，2006。