北师大版八年级数学下册第六章 平行四边形2 第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合

E
∴ 四边形 MENF 是平行四边形. B
F NC
例4 如图，将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使
点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，
连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，∠DEA = ∠D′EA，
=
16，
h
=
4，所以
S△ACE
=
1 2
AE·h
=
1 2
×5×4
=
10.
A
C
B
想一想
若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是
否相等呢？ 如图，AB∥CD，AC∥BD，
AB
∴四边形 ABCD 为平行四边形 (平行四边形的定义判定)，
CD
再由平行四边形的性质易知，AC = BD .
结论：夹在两条平行线间的平行线段相等.
∠ACB =∠F，求证：四边形 ABED 为平行四边形． 证明：∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF．
又∵ ∠B = ∠DEF，∠ACB = ∠F，
AD
∴ △ABC≌△DEF， ∴ AB = DE.
P
∵∠B = ∠DEF，
∴ AB∥DE．
BE
CF
∴四边形 ABED 是平行四边形．
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木
是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
a
A
B
枕木
铁 轨
实际问题
bC
D
几何问题
1 平行线之间的距离
例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意
两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D.
求证：AC = BD. 证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， a
A
B
∴∠1 =∠2 = 90°.
∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD，
1
2bCຫໍສະໝຸດ D∴ 四边形 ACDB 是平行四边形(平行四边形的定义).
∴ AC = BD(平行四边形对边相等).
定义总结 a
A
B
1
2
bC
D
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意
两点到另一条直线的距离相等 (如图，AC = BD).这个
A PD
提示：△PBC 与□ABCD 是同底等高. B
C
2.在▱ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四
边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件
不可以是
（ B）
A．AF = CE B．AE = CF
A
F
D
C．∠BAE = ∠FCD
D．∠BEA = ∠FCE
B
E
C
3. 如图，点 E，C 在线段 BF 上，BE = CF，∠B =∠DEF，
做一做 以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明 你画图的方法和其中的道理.
提示：根据平行四边形的定义和 平行四边形的判定定理作图.
2 平行四边形性质与判定的综合运用
例3 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N
分别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD 上，且 DM = BN，
1. (1) 在□ABCD 中，∠A = 150°，AB = 8 cm，BC =
10 cm，则 S□ABCD= 40 cm2.
A
提示：过点 A 作AE⊥BC 于 E，
D
然后利用勾股定理求出 AE 的值. B
EC
(2) 若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC
的面积是 20 cm2.
∠D = ∠AD′E， ∵ DE∥AD′， ∴ ∠DEA =∠EAD′，
l
D
E
C
∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，
∴ ∠DAD′ = ∠DED′.
A
D′
B
∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.
∴ DE = AD′.
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
D
∴ AB∥DC，AB = DC，
DF = BE . 求证：四边形 MENF 是平行四边形.
AM
D
F E
B
NC
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠MDF =∠NBE.
∵ DM = BN，DF = BE，
∴△MDF≌△NBE .
AM
D
∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB.
∴∠MFE =∠NEF. ∴ FM∥EN.
新知一览
平行四边形边和角的性质
平行四边形
平
的性质
行
四 平行四边形
边
的判定
形 三角形的中位线
平行四边形对角线的性质
利用四边形边的关系判定 平行四边形
利用四边形对角线的性质 判定平行四边形
平行线间的距离及平行四 边形判定与性质的综合
多边形的内角和与外角和
第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定
第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与 性质的综合
l
E
C
∴ CE∥D′B，CE = D′B，
∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形.
A
D′
B
此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出 ∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形 的判定及性质进行解题.
性质
对边平行，对边 相等，对角相等
平行四边形
判定
五种判定方法
夹在两条平行线间的线段处处相等
距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等).
典例精析
例2 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5， BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 10 .
分析：根据平行线之间的距离处处相等.
D
E
解析：设高为
h，则
S△ABD
=
1 2
BD·h