四川省广安市第二中学高一下学期期中考试数学(理)试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有
一个项是符合题目要求的）
1.若1和a 的等差中项是2，则a 的值为（ ）
A. 4
B. 3
C. 1
D. -4 2.计算22cos 151︒-的结果为（ ）
A. 2-
B. 1
2
C. 2
D. 2 3.在△ABC 中，7a =，5b =，3c =，则cos A 等于（ ）
A. 12
- B. 12
C.
24.已知1
tan 3
θ=，那么tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
等于 （ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
2 D ．12
-
5.已知函数()1
sin cos 22
f x x x =
+在0x 处取得最大值，则0x 可能是（ ） A. 6
π
B. 4π
C. 3π
D. 2
π 6．在数列{}n a 中，11a =，2
21+=
+n n
n a a a ，则4a 等于（ ） A ．13
B ．25
C ．12
D ．23
7．已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 = （ ） A ．21 B.42 C.63 D.84 8. 数列{}n a 的通项公式为21
2n a n n
=
+，其前n 项和为n S ，则10S 的值为 （ ）
A. 1
112- B. 111212⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212321 D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1211112321 [来
9. 在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 无法确定[来源
10.已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且12a =，36S =，则q 的值为（ ）
A ．3
B -2
C -2或3
D 1或-2
11.已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，………这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和2016S 等于 ( )
A ．1
B ．2 010
C ．4 018
D ．0 12.数列{}n a 是等差数列，若
11
10
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 值等于( )
A ．11
B ．17
C ．19
D ．21 二、填空题（每小题5分，共20分，将答案直接填在答题卡上） 13.在△ABC
中，AB =，1AC =，30A ∠=︒，则△AB C 的面积为 14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =-，且3
113
S S -=，则n S 的最小值为 .[来
15.数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则=++++25531a a a a 16.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足
111
cos cos cos 1sin sin sin A B C
A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形. 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）
①90,60,30A B C =︒=︒=︒ ；②75,60,45A B C =︒=︒=︒； ③75,75,30A B C =︒=︒=︒ ；④75,65,45A B C =︒=︒=︒
三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）。

17.(本小题10分)已知等比数列{}n a 满足32152,027a a a a a ==- （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若3log 33+=n n a b ，求证：{}n b 是等差数列。

18.(本小题12分)已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；
（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且12b =，44b S =，求n T .
19.（本题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D 在直线AC 上，且AD=4DC. （1）求BD 的长；
（2）求sin∠CBD 的值.
20.(本小题12分)已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+- ， x R ∈
（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）若()006
,,542f x x ππ
⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值。

21.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的首项21=a ，且121-=-n n a a (,2)n N n +∈≥． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n n -⋅的前n 项和n S ．
22.(本小题12分)设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知
2
42n n n S a a =+.
（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且1
4n n n b a a +=，若()136n
n T n λ<+-⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围.
理科答案
选择题：1—5 BDAAC 6—10 BBDBD 11—12 DC 填空题：13、4
3
14、45- 15、350 16、 ④ 解答题： 17题：
18题：
解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+1997
311d a d a ，…………3分
解得：⎩⎨⎧==2
1
1d a ，………4分 ∴12-=n a n ，2n S n =…………6分
（2）设等比数列}{n b 的公比为q ，∵21=b ， 44S b =，∴1623=q ， ∴2=q ，…………9分 ∴221-=+n n T …………12分 19题：
（1）解：因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3， 所以34cos ,sin 55
C C ==，AC=5， 又因为AD=4DC ，所以AD=4，DC=1. 在△BC
D 中，由余弦定理，
得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅
22332
3123155
=+-⨯⨯⨯=，
所以5
BD =
（2）在△BCD 中，由正弦定理，得
sin sin CD BD
CBD C
=
∠，
所以
1
54sin 5
CBD
=∠，
所以sin CDB ∠=
20题：
(1)解：()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=+=62sin 22cos 2sin 3πx x x x f
所以π=T
又⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+67,6
6
2πππx 由函数图像知()[]2,1-∈x f
（2）解：由题意5
3
62sin 0=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πx
而⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,40ππx 所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
∈+67,32620πππ
x 所以5
462sin 162cos 020-=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+ππx x
所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=6
62cos 2cos 00ππx x
=10
34321532354
-=⨯+⨯-
21题；
所以，01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①，
12312122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅ ②，
②-①，得：0
1
2
1
2
222
2n n
n S n -=-----+⋅12212
n
n n -=-+⋅-212n n n =⋅+-
(1)21n n =-+．
22题：
解：（1）∵n n n a a S 242+=，且0n a >，
当1=n 时，121124a a a +=，解得21=a ．…………1分
当2≥n 时，有12
1124---+=n n n a a S ．
于是121212244----+-=-n n n n n n a a a a S S ，即12
12224---+-=n n n n n a a a a a ． 于是12
1222--+=-n n n n a a a a ，即)(2))((111---+=-+n n n n n n a a a a a a ．
∵01>+-n n a a ，∴)2(21≥=--n a a n n ．
故数列}{n a 是首项为2，公差为2的等差数列，∴n a n 2=．…………6分
（2）∵11
1)1(1+-=+=
n n n n b n ， ∴1
111)111()3
12
1()2
11(+=
+-=+-++-+-=n n
n n n
T n ．…………9分 ①当n 为偶数时，n
n n )1)(36(++<
λ恒成立，又493736
)1)(36(≥++=++n n n n n ，
当6=n 时取等号；∴49<λ ②当n 为奇数时，n
n n )1)(36(+-<λ恒成立，又3536
)1)(36(--=+-n n n n n ，
∵n n 36-
在∙∈N n 为增函数，70)3536
(m in -=--n
n ；∴70-<λ 综上：λ的取值范围为70-<λ…………12分。