2016-2017年河北省邯郸市曲周一中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．＞C．ac＞bd D．c+a＞d+b
2．（5分）在数列{a n}中，已知前n项和S n=7n2﹣8n，则a100的值为（）A．1920 B．1400 C．1415 D．1385
3．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（）
A．0 B．10 C．15 D．20
4．（5分）在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（）
A．2 B．C．D．
5．（5分）等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＞0的最小正整数n 为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）
A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）
C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x3
}中，a3=+1，则
7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a
a32+2a2a6+a3a7=（）
A．4 B．6 C．8 D．
8．（5分）已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）
A．24 B．8 C．D．
9．（5分）在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）
A．（0，2） B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣1，2）10．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）
A．B．C．D．
11．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题：若x=y，则sinx=siny的逆否命题为真命题
B．x＞2是x2﹣3x+2＞0的必要不充分条件
C．命题：若x2=1，则x=1的否命题为“若x2=1，则x≠1”
D．命题：∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1＜0
12．（5分）已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜a
＜1的解集是（）
A．（1，2） B．（﹣，2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，
sinB﹣cosB=，则角A的大小为．
14．（5分）设命题p：“若e x＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则＜”，则命题“p∧q”为命题．（填“真”或“假”）
15．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=．
16．（5分）在△ABC中，=是角A，B，C成等差数列的．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积．求b，c．
19．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=．
（1）求a n与b n；
（2）求数列{}的前n项和．
20．（12分）已知函数f（x）=x2+3x+a
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，求bc的取值范围．
22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．
2016-2017学年河北省邯郸市曲周一中高二（上）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若a＞b，c＞d，则下列命题中正确的是（）
A．a﹣c＞b﹣d B．＞C．ac＞bd D．c+a＞d+b
【解答】解：若a＞b，c＞d，
则a﹣c＞b﹣d不一定成立，故A错误；
＞不一定成立，故B错误；
ac＞bd不一定成立，故C错误；
由不等式同号可加性可得：c+a＞d+b，
故选：D．
2．（5分）在数列{a n}中，已知前n项和S n=7n2﹣8n，则a100的值为（）A．1920 B．1400 C．1415 D．1385
【解答】解：由S n=7n2﹣8n，得a100=S100﹣S99=7×1002﹣8×100﹣[7×992﹣8×99]=1385．
故选：D．
3．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值是（）A．0 B．10 C．15 D．20
【解答】解：∵x，y满足约束条件，目标函数z=4x+2y，
∴画出可行域可得：
A点坐标，解得A（，）；
由图可得：目标函数z=4x+2y在点A（，）取得最大值，
z max=4x+2y=4×+2×=15；
故选：C．
4．（5分）在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（）
A．2 B．C．D．
【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
由A+B+C=π得B=，
∵b=，∴由正弦定理得，==2，
∴==，
故选：B．
5．（5分）等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＞0的最小正整数n 为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：∵等差数列f（x）中，已知a1=﹣12，S13=0，∴=0，
∴a13=12．
由等差数列的性质可得2a7=a1+a13=0，故a7=0．
再由题意可得，此等差数列为递增的等差数列，故使得a n＞0的最小正整数n为8，
故选：B．
6．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）
A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）
C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+4log x3
【解答】解：A．x＜0时，y＜0，不成立；
B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立．
C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．
D．x∈（0，1）时，log3x，log x3＜0，不成立．
故选：C．
}中，a3=+1，则
7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a
a32+2a2a6+a3a7=（）
A．4 B．6 C．8 D．
【解答】解：
由等比数列的性质可得
=
=
=
=8
故选：C．
8．（5分）已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）
A．24 B．8 C．D．
【解答】解：∵∥，
∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，
化简得2x+3y=3，
∴=（+）×（2x+3y）
=（6+++6）≥（12+2）=8，
当且仅当2x=3y=时，等号成立；
∴的最小值是8．
故选：B．
9．（5分）在R上定义运算⊗：a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）
A．（0，2） B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣1，2）
【解答】解：∵x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，
∴化简得x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，
得到x﹣1＜0且x+2＞0①或x﹣1＞0且x+2＜0②，解出①得﹣2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜﹣2无解．
∴﹣2＜x＜1．
故选：B．
10．（5分）设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）
A．B．C．D．
【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3=，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．
故选：B．
11．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题：若x=y，则sinx=siny的逆否命题为真命题
B．x＞2是x2﹣3x+2＞0的必要不充分条件
C．命题：若x2=1，则x=1的否命题为“若x2=1，则x≠1”
D．命题：∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1＜0
【解答】解：对于A，原命题为真，故逆否命题为真命题，故正确；
对于B，x＞2是x2﹣3x+2＞0的充分条件，故错；
对于C，若x2=1，则x=1的否命题为“若x2≠1，则x≠1，故错；
对于D，∃x∈R使得x2+x+1＜0的否定为：∀x∈R均有x2+x+1≥0，故错．故选：A．
12．（5分）已知不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则不等式a2x+1＜a
＜1的解集是（）
A．（1，2） B．（﹣，2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）
【解答】解：不等式x2﹣2ax+a＞0（x∈R）恒成立，则△＜0，
∴4a2﹣4a＜0，
解得0＜a＜1；
∴不等式a2x+1＜a＜1可化为：
2x+1＞x2+2x﹣3＞0，
即，
解得
解得1＜x＜2，
所以不等式的解集是（1，2）．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，
sinB﹣cosB=，则角A的大小为．
【解答】解：因为sinB﹣cosB=，所以，所以B﹣=，
∴B=，
由正弦定理，sinA==，所以A=．
故答案为：．
14．（5分）设命题p：“若e x＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则＜”，则命题“p∧q”为假命题．（填“真”或“假”）
【解答】解：∵命题p：“若e x＞1，则x＞0”，∴可以得知命题p是真命题；
∵命题q：“若a＞b，则＜”，取反例，当a=﹣1，b=﹣2时，可以得知＞，矛盾．∴命题q为假命题；
∴命题“p∧q”为假命题．
故答案为：假．
15．（5分）设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1＞0，若S5=S9，则当S n最大时，n=7．
【解答】解：∵a1＞0，若S5=S9，
∴S9﹣S5=a6+a7+a8+a9=0，
∴2（a7+a8）=0，
∴a7+a8=0，
又a1＞0，
∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，
即前7项和最大，
∴当S n最大时，n=7
故答案为：7
16．（5分）在△ABC中，=是角A，B，C成等差数列的充分不必要条件．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）
【解答】解：在△ABC中，=⇒2sinA•sinC﹣sin2A=2co sA•cosC+cos2A
⇒2sinA•sinC﹣2cosA•cosC=cos2A+sin2A=1
⇒﹣2cos（A+C）=1
⇒cos（A+C）=﹣⇒A+C==2B
⇒角A、B、C成等差数列
当角A、B、C成等差数列⇒A+C==2B，角A有可能取90°，
故=不成立
故=是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；
（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）化简p：x∈（a，3a），（1分）
化简q：x∈[﹣2，9]∩（（﹣∞﹣4）∪（2，+∞））=（2，9]…（3分），
∵a=1，∴p：x∈（1，3）依题意有p∨q为真，
∴x∈（1，3）∪（2，9]…（5分）
（2）若¬p是¬q的必要不充分要条件，则¬q⇒¬p且逆命题不成立，即p⊂q．（7分）
∴（a，3a）⊂（2，9]，即2≤a＜3a≤9…（9分）
∴a∈[2，3]…（10分）
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且
（1）求A；
（2）若，△ABC 的面积．求b，c．
【解答】解：（1）由条
件，可
得sinC=sinAsinC
﹣sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴=sinA ﹣cosA，即sinAcos﹣
cosAsin =，sin（A ﹣）=，
∵0＜A＜π，∴，∴A ﹣，∴A=…6分
（2）由三角形面积公式可得：=，解得bc=4．
由余弦定理可得：a2=b=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=（b+c）2﹣4=12．故解得：b+c=4，则b=c=2…12分
19．（12分）等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=．
（1）求a n与b n；
（2）求数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）由已知得b2=b1q=q ，所以有，（3分）
解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）
第11页（共13页）
∴a n=3+3（n﹣1）=3n ，（7分）
（2）∵，∴（10分）
∴==（14分）
20．（12分）已知函数f（x）=x2+3x+a
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，
解得{x|x＜﹣4或x＞1}…（5分）
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=﹣x2﹣3x
则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4}…（10分）．
21．（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
，且
（1）求角A；
（2）若，求bc的取值范围．
【解答】解：（1）由余弦定理得：cos（A+C）=﹣cosB=﹣，
∴已知等式变形得：=，
即2sinAcosA=1，即sin2A=1，
∵A为锐角三角形的内角，
∴2A=，即
A=；
（2）∵a=，
cosA=，
∴sinA=，
第12页（共13页）
由正弦定理=2R，即2R==2，
∴bc=2RsinB•2RsinC=4sinBsinC=4sinBsin （﹣B）
=﹣4×
=﹣2×[﹣﹣cos（2B ﹣）]=+2cos（2B ﹣），
由45°＜B＜90°知，﹣＜2B ﹣≤，
∴＜2cos（2B ﹣）≤2，
∴2＜+2cos（2B ﹣）≤+2，
则bc∈（2，2+]．
22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．
【解答】解（Ⅰ）当n≥2时，由a n=2﹣3S n①，得a n﹣1=2﹣3S n﹣1②，
①﹣②即得4a n=a n﹣1，
而当n=1时，a1=2﹣3a1，故，
因而数列{a n}是首项为公比为的等比数列，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故b n=1﹣2n．
∴{b n}是以﹣1为首项，以﹣2为公差的等差数列．
数列{a n+b n}的前n项和T n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）
=+=﹣n2﹣．
第13页（共13页）。