【易错题】高中三年级数学下期中第一次模拟试卷带答案(2)

【易错题】高中三年级数学下期中第一次模拟试卷带答案(2)
一、选择题
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x
＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．
1 B ．2
C ．3
D ．4
2．已知在
中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，
，
，则
的面积等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知点(),P x y 是平面区域()
4
{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）
A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．11,,35
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
4．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，
，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
5．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，
315N =)，则10N =（ ）
A ．1020
B ．1010
C ．510
D ．505
6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩
，则22
(2)x y -+的最小值为（ ） A
B
C ．5
D ．
92
7．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2017
8．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3
B
．1C
．1+D ．4
9．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．4036
D ．4037
10．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
11．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
12．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．
34
B ．
56
C ．
78
D ．
23
二、填空题
13．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝
2sinC ，则边c 的值为_______．
14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若21
2
a =
，则5S =__________． 15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 16．
设(
3
()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是
“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既
不充分又不必要”之一）
17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .
18．定义11222n n n a a a H n
-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值1
2n n H +=,
记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．
19．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．
20．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．
三、解答题
21．已知正项等比数列{}n a 满足26S =，314S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，已知数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T 证明：1n T <． 22．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25
cos C ∠=
点D 是AB 的中点, 求
（1）边AB 的长；
（2）cos A 的值和中线CD 的长
23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：4n T <．
24．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若
78663f A f B ππ⎛
⎫⎛
⎫+
=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，求a b 的取值范围． 25．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .
26．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
. (1)求A ；
(2)若△ABC 的面积S ＝
3c 2
，求sin C 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋
1＝2m ＋
2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公
式求得结果. 【详解】
由余弦定理得：，即
解得：
或
为最小角
本题正确选项： 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
3．C
解析：C 【解析】
试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-对应
的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0
M =
，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()
4
{0
4y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则
()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()
4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r
的最小值为
M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m m
B m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由
42
21m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以1
03
m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，故选C.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的
理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-，
联立70
310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
，解得5,2A
（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
5．D
解析：D 【解析】
n 阶幻方共有2
n 个数，其和为(
)2221
12...,2
n n n n ++++=
Q 阶幻方共有n 行，∴每行的
和为
()
(
)
222
1
122
n n n n n
++=
，即(
)(
)2210
1
10101
,5052
2
n n n N N
+⨯+=
∴=
=，故选D.
6．C
解析：C 【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.
7．C
解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，
()()120161008100910081009201620162016
0,0,02
2
a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴=
=，
()120172017
1009
2017201702
a a S a
+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.
【详解】
当2x >时，20x ->，则()()()11
1
2222222
2
f x x x x x x x =+=-++≥-⋅
--- 4=， 当且仅当()1
222
x x x -=
>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A.
【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】
由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且
20182019
00a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802
240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩
，所以使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是4036.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
11．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .
所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】
由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222
sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A
+++===， 所以2
cos 2n A n
+=
． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5
cos 2(2)(1)2(2)
n n n n A n n n +++-+==+++．
所以
25
22(2)
n n n n ++=+，解得4n =， 所以453
cos 2(42)4
A +=
=+，
即最小角的余弦值为34
． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要
解析：3 【解析】 【分析】
由acosB ＝5bcosA 得2
2
2
23
a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】
由acosB ＝5bcosA 得2222222222
5,223
a c
b b
c a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.
由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，
所以
2
22,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：
3116
【解析】 【分析】
由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可. 【详解】
由题意可知：12221S a =-=，
且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11
222
n n S S +-=
-， 由于121S -=-，故()4
55113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-
【解析】
【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】
由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非
解析：充要 【解析】
33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为
奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以
0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即
“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
17．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式 解析：21n -
【解析】 【分析】 【详解】
由题意，1423149
8
a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，
而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，
即34
1
8a q a =
=，所以2q =，
因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112
n n
n n a q S q --=
==---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.
18．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据
解析：712
[,]35
【解析】 【分析】
因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n n
n b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出
2(1)n b n =+,可得数列
{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任
意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】
Q 1
112222n n n n b b b H n
-++++==L ,
∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,
故2121()(22212)n n
n b b n b n --⋅++=-≥+L ,
∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,
则2(1)n b n =+,对1b 也成立,
∴2(1)n b n =+,
则()22n b kn k n -=-+,
∴数列{}n b kn -为等差数列,
记数列{}n b kn -为{}n c .
故5n S S ≤对任意的*
N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；
即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩
,解得,71235k ≤≤,
故答案为:712
[,]35
． 【点睛】
本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
19．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故
解析：
3
2 a=
【解析】
【分析】
【详解】
当时，代入题中不等式显然不成立
当时，令，，都过定点
考查函数，令，则
与轴的交点为
时，均有
也过点
解得或（舍去），
故
20．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sin
解析：
3
π
【解析】
【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B的值，即得B 角.
【详解】
由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.
∴2sin B cos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.
∵在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，∴条件等式变为2b cos B＝b，∴cos B＝.
又0<B<π，∴B＝.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
三、解答题
21．（1）2n
n a =； （2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）由等比数列前n 项和公式求出公比q 和首项1a ，得通项公式； （2）用裂项相消法求出和n T ，可得结论． 【详解】
（1）设等比数列的首项及公比分别为10a >，0q >，
26S =Q ，314S =，显然1q ≠，
()
(
)
213116
11141a q q a q
q ⎧-⎪=-⎪∴⎨-⎪=⎪
-⎩
，解得122a q =⎧⎨=⎩， 2n n a ∴=；
（2）证明：由（1）知，n b n =，则
11111
(1)1
n n b b n n n n +==-++， 121n n n T b b b b -∴=++⋯⋯++
11111111
11223111
n n n n n =-
+-+⋯⋯+-+-=-
-++, *n N ∈Q ,
1n T ∴<．
【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和与通项公式，考查裂项相消法求数列的和．基本量法是解决等差数列和等比数列的常用方法．裂项相消法、错位相减法、分组（并项）求和法是数列求和的特殊方法，它们针对的是特殊的数列求和． 22．（1）2 （2
【解析】 【分析】 【详解】
（（1
）由cos 0ACB ∠=
>可知，ACB ∠是锐角，
所以，sin ACB ∠===由正弦定理sin sin AC AB B ACB
=∠
,sin 2
sin 2
AC AB ACB B =∠== （2）cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒
=--=-
(cos sin )2C C =
-+= 由余弦定理:
CD === 考点：1正弦定理；2余弦定理． 23．（1）1
()2
n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，
()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列
11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
为常数列，
112n a n =+，即1
2
n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭
+，裂项求和即可. 【详解】
（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，
当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②
-①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以
11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()
*1
2
n n a n N +=
∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111n
a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，
所以()()222244444444234122334
11n T n n n =
++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
【点睛】
这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 24．（1）[]1,2；（2）1
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
计算出6x π-的取
值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域；
（2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=
，可得出4
sin sin 3
A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出
1
sin 13
B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】
（1）
()1
cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛
⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
Q 2sin 6x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，
,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，
因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
的值域为[]1,2； （2）786
63f A f B ππ⎛
⎫⎛
⎫+
=+- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=
，4
sin sin 3
A B ∴=-，
由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪
⎨
⎪<≤⎩
，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4
sin sin 4131,3sin sin 3sin 3B
a A
b B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦
.
因此，
a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
25．（1）32n a n =+；（2）6226n
n T n =⨯+-
【解析】 【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求
解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解. 【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110
160
37a a a a ⋅=⎧⎨
+=⎩ 解得110
5
32a a =⎧⎨
=⎩
325
3101
d -∴=
=-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n
n b a ==⋅+，
()()()
12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L (
)
1
22324223212
n n
n n +-=⨯++++=⨯+-L
13262n n +=⨯-+
6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求
数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高.
26．（1）56π；（2）14
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=
56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝4
c 2
得到b ＝
c ，
再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】
(1)因为asin B ＝－bsin
)3A π
+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3
A π
+（，
即sin A ＝－
12sin A －2cos A ，化简得tan A ＝－3
， 因为A∈(0，π)，所以A ＝56
π
.
(2)因为A ＝
56π，所以sin A ＝12，由S ＝4
c 2＝1
2bcsin A ＝14bc ，得b c ，
所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝sin c A a =
. 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。