复变函数3-2柯西-古萨定理

便可确定D内的一个单值函数 F(z)
z
f ( )d .
z0
定理二
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那末函数 F (z) z f ( )d 必为D 内的一个解 z0
析函数, 并且 F (z) f (z).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
C D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c f (z)dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由 f (z)解析，u, v 在D上可微，且
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz ︵ f (z)dz ︵ f (z)dz
C
C1
AA
AA
CF
︵ f (z)dz ︵ f (z)dz 0,
BB
BB
A A F B
即 f (z)dz f (z)dz 0,

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
3
1、Cauchy积分定理
定理 柯西－古萨基本定理
设D为单连通域 ,如果函数 f (z) A(D)
则对 D 内的任何一条封闭曲线 C,有 c f (z)dz 0.
此定理常称为柯西积分定理.
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
由 f (z)dz f (z)dz 0, 得
f (z)dz 0, C
C
k 1 Ck
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k1 Ck
C1
D 其中C 及 Ck 均取正方向;
Cn
C3
C2
例
计算积分
C
2z 1 z2 z dz,
C为包含圆周
z
1
在内的任何正向简单闭曲线.
y
解 因为函数 2z 1 在复平面 z2 z
C 及 C1 为边界的区域D1
D1
全含于D.
D
︵︵
作两段不相交的弧段 AA 和 BB,
B
C1
B
为了讨论方便, 添加字符 E, E, F , F,
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
由定理可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点
和终点有关
如果起点为 z0 , 终点为 z1,
D
C1
z0 C2
z1
D
C1
z0
z1
C2
f (z)dz f (z)dz z1 f (z)dz
C1
C2
z0
如果固定 z0 , 让 z1 在 D 内变动, 并令 z1 z,
C
0
由于
lim
0
f () d C z0

2if
( z0 )
(3 3 2)
f () d
C z0
如果
f (z) 在 D内解析,
那末
f (z) z z0
在 z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 D内围绕 z0 的闭曲线.
根据闭路变形原理知,
该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值.
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
u v ， u v . x y y x
由改进的Green公式
C udx vdy


D
[(v x
)

u]dxdy y

0
C vdx udy


D
[u x

v y
]dxdy
0
例 求 （ 1 ez 1 ）d z
|z|1 z 3 z 2
在这里沿C 的纠纷是按照 D区域的正向取的，沿 C 的积
分是按正向取的，即逆时针方向。
以下我们证明：
f ( ) d
C z0

2if
(z0 )
记
I
f () d
C z0
由柯西定理知：I 是个不依赖于 的常数，从而
我们证明
I lim f () d
z 0

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
2
改进的Green定理:(Gaursat 1925)
设单连通区域D由分段光滑曲线L围成，函
数P( x, y)及Q( x, y)在D上存在P , Q，且 Q P y x x y
在D上连续，则有：

D
( Q x
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
常用结论:

(z
1 a)n1
dz

2i, 0,
n0 n 0.
3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及 牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等 数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.
z
F (z) z0 f ( )d
f (z)dz F(z) c
z1 z0
f
(z)dz

G( z1 )

G( z0
)
§3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式
一、解析函数的Cauchy积分公式 二、解析函数的高阶导数定理 三Δ、解析函数的与调和函数
1.问题的提出
设 D 为一单连通区域, z0 为 D 中一点.
定理3.8 (复积分的Newton-Leibnitz公式)
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
(z) 为 f (z) 的一个原函数, 那末
z1 z0
f (z)dz

(z1 ) (z0 )
这里 z0 , z1 为域 F 内的两点.
注: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟
2i
2
另解
i
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z)
[z sin z]0i
i
sin zdz
0
[z sin z cos z]0i e1 1.
例2 试沿区域Im( z) 0, Re(z) 0内的圆弧 z 1,
求 i ln(z 1)dz 的值.
C C1
C0
记其边界为圆C :| z z0 | 。
z0
在 D 上，挖去圆盘 K ，余下的点 D
集是一个闭区域 D D \ K 。在D 上
C2
f ( ) 函数解析，由柯西定理有：
z0
f ( ) d f (2. 原函数的定义:
如果函数 (z) 在区域 D 内的导数为f (z), 即 (z) f (z), 那末称 (z) 为 f (z) 在区域 D 内 的一个原函数 .
显然 F(z)
z
z0
f (
)d
是
f (z) 的一个原函数.
原函数之间的关系: f (z)的任何两个原函数相差一个常数.
D1 E C1 B
D
E
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
如果我们把这两条简单闭曲线C 及 C1 看 成一条复合闭路, 的正方向为:
外面的闭曲线C 按逆时针进行,
内部的闭曲线 C1 按顺时针进行,
(即沿 的正向进行时, 的
CF
内部总在 的左手边),
A A F B
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末
f
( z0
)

1 2πi
f (z) dz. C z z0
C z0
D
Cauchy积分公式
证明：以z0 为心作一完全包含于D
内的圆盘 K :| z z0 | ，并且
§3.2 柯西-古萨基本定理
1、Cauchy-Goursat基本定理 2、 Cauchy-Goursat定理的推广 3、不定积分 4、小结与思考
首先回顾高等数学中的Green定理:
设单连通区域D由分段光滑曲线L围成，函 数P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数， 则有：

D
( Q x
如果 f (z) 在区域 D 内有一个原函数 F(z),
那末它就有无穷多个原函数, 其全体原函数可表示为: F(z) c (c为任意常数).
3. 不定积分的定义:
称 f (z)的原函数的一般表达式F(z) c (c为任意常数)为 f (z)的不定积分, 记作
f (z)dz F (z) c.
1 z1
解 函数 ln(z 1) 在所设区域内解析,
z1
它的一个原函数为ln2(z 1) ,
2
i ln(z 1)dz ln2(z 1) i 1[ln2(1 i) ln2 2]
1 z1
2 12

1 2

1 2
ln
2

4
i

2

ln
2
2

则称C+C1-+C2-+···+Cn-
为复周线,D为其内部,记
C
为I(C).
Cn
C3
C1 C2
D
复合闭路定理 定理 设C C1 C2 Cn是复周线, D I (C )
如果: (1) f (z) A(D),( 2) f (z) C(D),
n
f (z)dz
那末 f (z)dz 0.
D1 E C1 B
D
E

解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理
2. 复周线情形的Cauchy定理
设 C 为周线, C1, C2 , , Cn 是在 C 内部的
周线,它们互不包含也互不相交, 并且由 C的内部,
C1, C2 , , Cn的外部围城多连通区域D,
微积分学中类似的方法去计算.
例1 求 i z cos zdz 的值. 0
解 因为 z cos z 是解析函数,
它的一个原函数是 zsinz cosz,
由牛顿-莱布尼兹公式知,
i 0
z
cos
zdz

[zsinz

cosz]0i
i sin i cos i 1
i e1 e e1 e 1 e1 1.
内有两个奇点z 0 和 z 1,
C1
C2
o


1
x
依题意知, C也包含这两个奇点，
C
在 C内作两个互不包含也互不相交的圆周C1 和 C2 , C1 只包含奇点 z 0, C2 只包含奇点 z 1,
则:C C1 +C2构成复周线 根据复合闭路定理,
C
2z 1 z2 z dz
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz

2if
( z0
).
2.Cauchy积分公式
2z 1 C1 z2 z dz

2z 1 C2 z2 z dz
1 dz 1dz 1 dz 1dz
C1 z 1
C1 z
C2 z 1
C2 z
0 2i 2i 0
4i.
y
C1
C2
o


1
x

3、原函数与不定积分
定理一 如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
解： （ 1 ez 1 ）d z
|z|1 z 3 z 2
1
ez 1

dz
dz
|z|1 z 3
|z|1 z 2
0 （根据柯西古萨定理）
7
2. 复合闭路定理
设函数 f (z) 在多连通域内解析,
C 及 C1 为 D内的任意两条简
C
单闭曲线(正向为逆时针方向), A A

2 3 ln2 2 32 8
ln 2 i. 8
5、小结与思考
1. 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理:
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 D 内的任何一条封闭曲线 C
的积分为零: c f (z)dz 0.
并注意定理成立的条件.