清远市2014-2015学年高一上期末教学质量检测数学试题(有答案)AwPMqA

清远市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合{}1,2,3,4M =，{}2,2N =-，下列结论成立的是（ ）
A ．N ⊆M
B ．M N =M U
C ．M N =N I
D ．{}2M N =I
2、函数()()lg 1f x x =-的定义域是（ ）
A ．()2,+∞
B ．()1,+∞
C ．[)1,+∞
D ．[)2,+∞
3、过点()1,2且斜率为3的直线方程为（ ）
A ．33y x =-
B ．32y x =-
C ．31y x =-
D ．1y x =-
4、函数()1,31,3
x x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，则()5f f =⎡⎤⎣⎦
（ ） A ．7 B ．6 C ．3 D ．4 5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A ．1y x =+
B ．2y x =-
C ．1
y x
= D ．y x x =
6、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、以()1,1和()2,2-为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．2230x y x y ++-= B ．225
302x y x y +-+-= C ．2230x y x y +-+= D ．225302
x y x y +---= 8、幂函数()f x x α=的图象经过点()2,4，则()9f =（ ）
A ．
B ．3
C ．9
D ．81 9、一几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A ．16323π-
B ．32323
π
- C ．3216π- D ．3232π-
10、设定义在()0,+∞上的函数()22,03
2,02
x x f x x x x ≤⎧⎪
=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =+，则当实数a 满足5
22
a <<时，函数()y g x =的零点个数为（ ）
A ．0
B ．
C ．2
D ．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11、直线20x y -+=与圆224x y +=的位置关系是 ．（填相交、相切或相离）
12、比较大小：2log 7 30.5．（填>、<或=） 13、如图，正方体1111CD C D AB -A B 中，直线1AB 与1C B 所成角为 ．
14、已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足不等式()1213f x f ⎛⎫-> ⎪
⎝⎭
的x 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分12分）已知全集U R =，集合{}35x x A =-≤≤，
{}23x x m B =<-．
()1当5m =时，求A B I ，()U A B U ð；
（8分） ()2当A ⊆B 时，求m 的取值范围．（4分）
16、（本小题满分12分）求下列式子的值：
()12
2
3
227201538-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭　；()
23
log lg 25lg 4++． 17、（本小题满分12分）如图，已知在直三棱柱111C C AB -A B 中（侧棱垂直于底面），C 3A =，5AB =，C 4B =，点D 是AB
()1求证：1C C A ⊥B ；
()2求证：1C //A 平面1CD B ．
18、（本小题满分14分）已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）
． ()1求()f x 的定义域；
()2判断()f x 的奇偶性并予以证明．
19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系x y O 中，点()0,3A ，直线
:l 24y x =-．设圆C 的半径为，圆心在上．
()1若圆心也在直线5y x =-+上，求圆C 的方程；
()2在()1的条件下，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
()3若圆C 上存在点M ，使MA =MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
20、（本小题满分14分）设函数()n n f x x bx c =++（n +∈N ，b ，R c ∈）．
()1设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n y f x =在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增； ()2在()1的条件下，证明：()0n f x =在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一实根； ()3设2n =，若对任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范
围．
清远市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分,共50分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
C
A
D
B
C
D
A
D
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分
11．相交 12．> 13． 60o 14．12,,33⎛⎫⎛⎫
-∞+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
U
三、解答题:本大题共6小题,共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解: (1)当5m =时, {}
53≤≤-=x x A ，{}
7B x x =<, …………2分
A B ∴=I {}35x x -≤≤, …………4分 A C U {}35x x x =<->或， …………6分
∴=U C A B R U . …………8分 (2){}
53≤≤-=x x A ，
A B ⊆， ∴523m <-, …………10分
即4m >. 实数
的取值范围为)4(∞+，
. …………12分 16．解：（本题得分说明：只要其中一个数变形正确都得分） （1）原式=
94-1-)
32(323-⨯⎪⎭⎫
⎝⎛…………3分 = 94-1-2-2
3）（ …………4分
=94-1-9
4
…………5分 =－1…………6分 （2）原式=3
3log 4
33
+)425lg(⨯=41
33
log -
+2
10lg 17
244
=-+= …………6分
（说明：第一、二步各2分，第三、四各1分）
17、证明：（1）在ABC ∆中，∵3AC =，5AB =，4BC =， ∴ABC ∆为直角三角形，∴AC BC ⊥ …………2分 又∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥，…………3分
1CC BC C =I ， ∴AC ⊥平面1BCC ，…………5分 （没有相交扣1分）
11BCC BC 面⊂,∴1AC BC ⊥． …………7分（没有线在面上扣1分）
（2）设1B C 与1BC 交于点E ，则E 为1BC 的中点，…………9分， 连结DE ，……10分
∵D 为AB 的中点，∴在△1ABC 中，1//DE AC ，…………11分 又1DE CDB ⊂面， ……12分 11AC CDB ⊄面，……13分 ∴1//AC 平面1B CD ． ……14分
18．解：(1)要使函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋1＞0，
1－x ＞0，…………3分
解得－1＜x ＜1…………5分
故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}．…………7分
(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，定义域关于原点对称 …………9分 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，…………12分
故f (x )为奇函数．…………14分 19．解:(1)由⎩⎨
⎧+=-=5
-4
2x y x y …………1分 得圆心C 为(3,2),………2分
∵圆C 的半径为，∴圆C 的方程为:1)2()3(2
2
=-+-y x ………4分 （2）由题意知切线的斜率一定存在,………5分（或者讨论）
设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ………6分 ∴
11
3232=++-k k ………7分 ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k
∴0=k 或者4
3
-
=k ………8分 ∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者34
3
+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x ………9分
(3)解:∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为)42,-a a （，则圆C 的方程为: []1)42()(2
2=--+-a y a x ………10分（不写出圆C 的方程不扣分）
又∵||||MO MA =，解法一：∴点M 在OA 的中垂线m 上，OA 的中点（0，2
3
）11分 得直线m : 2
3
=
y ………12分 解法二：设M 为(x,y)，由222
2
)3(y x y x +=-+……11分
整理得直线m : 2
3
=
y ………12分 ∴点M 应该既在圆C 上又在直线m 上 即:圆C 和直线m 有公共点
∴ 12
3
42≤-
-a ，∴41349≤
≤a ………13分 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡413,49 ………14分
20．解：（1）1)(1,1,2-+=-==≥x x x f c b n n n 时，当 ……………………1分 设12
1
21<<<x x ， …………………2分 ()()12x f x f -=)1(11122-+--+x x x x n n =)-1212x x x x n
n -+（）（…………………3分 ∵12
121<<<x x ，且2n ≥，∴n
n x x 12->0，012>-x x ，∴()()12x f x f ->0, ∴)(x f y n =在区间)1,21
(内单调递增 ……………………4分
（2）0)(=x f n 在区间)1,21(内存在唯一实根等价于0)(=x f n 在区间)1,2
1
(内存在唯一零
点 ………………………………5分
∵01)2121()1()21(<⨯-=n n n f f ，∴)(x f n
在区间)1,2
1(内有零点.………………6分 由（1）知2≥n 时，1)(-+=x x x f n n 在区间)1,2
1
(为增函数.………………7分
所以()n f x 在区间)1,2
1
(内存在唯一的零点；………………8分
（3）c bx x x f n ++==2
2)(2时，…………………9分
所以对任意12,x x [1,1]∈-，都有2122|()()|4f x f x -≤，等价于)(2x f 在区间]1,1[-上的最大值与最小值的差4≤M ，………………10分
∵ )(2x f 的对称轴为2
b
x -=
① 当时，即2,12
>>-b b
42)1()1(22>=--=b f f M ，不合题意。

…………11分
② 当时，即20,02
1≤<<-≤-b b
4)2(41
14)2()1(2222≤+=++=--=b b b b f f M 恒成立 …………12分
③当时，即02,12
0≤≤-≤-≤b b
4)2(4
1
14)2()1(2222≤-=+-=---=b b b b f f M 恒成立 ………………13分
综上所得，b 的取值范围为]2,2[- ……………………………………14分。