高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行3121数学

第十七页，共二十八页。
三、小结(xiǎojié)
利用向量解决平行与垂直问题 • 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 • 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来(qǐ lái)使用。
第十八页，共二十八页。
四 作业：
、 作
1.
如图,直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB 900,
B1C1的中点为AM.
则CD• A1B0, CD•DM 0.
D C
CD A1B,CDDM.
B X
A1B, DM为平面BDM内的两条相交直线,
CD平面BDM.
第二十页，共二十八页。
B1
A1
C1
MY
作业(zuòyè)：2.课本p.116第2题。
• Bye－bye!
第二十一页，共二十八页。
lm
a
b
l//ma /b / a b
B
建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A'(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
第十二页，共二十八页。
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B'C ' D'中. D
E,F分别是CC ', BD的中点. A
求证：A' F 平面BDE.
C BE
A'F(1,1,2),
0 A'C• AB' (c a)•(b a)
2
c•b c•a a•b a
2
1
a c•b
2
B'• C A' B (cab)•(ba)
(c a 2 a b )•(b a )(2 a b )•(b a )
2
2
22
2 a a•b b2 a b 1 10
第十六页，共二十八页。
练习： 在三棱柱ABC A'B'C'中， 底面是正三角形，AA' 底面ABC， A'C AB',求证：BC' AB'
一条(yī tiáo)斜线的射影垂直，则它也和这条斜。练习：如果一个平面经过另一个平面的一条(yī tiáo)垂 线，那么这两个平面互相垂直.。向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是。l
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12/9/2021
第二十八页，共二十八页。
D
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb.
利用共面向(miàn xiànɡ)量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。
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例 2.在 正 方 形 A B C D-A 1B 1C 1D 1 中 ,
求 证 :平 面 A 1B D//平 面 C B 1D 1
求证：A' F 平面BDE.
评注 ： (píngzhù)
A
本题若用一般法证明，
容易证A’F垂直于BD，
而证A’F垂直于DE，
或证A’F垂直于EF则较难，
用建立空间坐标系的方法
A
能使问题化难为易。
X
Z
D
D
F
C BE
CY B
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练习： 在三棱柱ABC A'B'C'中， 底面是正三角形，AA' 底面ABC， A'C AB',求证：BC' AB'
设底面边长为2,高为h, 坐标 如图建立空间直角坐标 系. 法 (zuòbiāo)
A( 3,0,0),B(0,1,0),C(0,1,0).
A'( 3,0, h),B'(0,1, h),C'(0,1, h). A B ' ( 3 , 1 , h ) , A ' C ( 3 , 1 , h ) , B C ' ( 0 , 2 , h ) 0A B'•A 'C31h2,h22. A B'•B C '02h20.B C 'A B'
u v u v 0
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内容(nèiróng)总结
4.利用向量解决平行与垂直问题。面面平行。面面垂直。例1.两个平行平面同时和第三个平面相 交，它们的交线平行。例2.如果一条(yī tiáo)直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线
No 垂直于这个平面.。例3.（三垂线定理和它的逆定理）在平面内的一条(yī tiáo)直线，。若和这个平面的
点击
（3）用向量处理平行问题
用向量处理垂直问题
第三页，共二十八页。
例1.两个平行平面同时(tóngshí)和第三个平面相交，它们的 交线平行
第四页，共二十八页。
例2.如果一条直线和一个平面(píngmiàn)内的两条相 交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 . (píngmiàn)
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(BEBAABAD)EB(BEAD)EB
(BEBC)BE(1)BEBC. 第八页，共二十八页。
例1:如图已知四边形ABCD、
ABEF为两个正方形,
E
MN分别在其对角线BF上,
且FM AN.求证：MN//平面EBFC M
B
C
M N 、 BE、 BC 共 面 .
N
M平 面 EBC, M N//平 面 EBC A
证明:如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x,y,z轴建立空间A
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
D
C
Hale Waihona Puke B则A1(1,0,0),B1(1,1,0), C(0,0,1),D(0,0,1) 则A1D(1,0,1),B1C(1,0,1)
D1
C1
A1
X
Y
B1
A1D//B1C.即直线A1D//B1C， 则A1D//平面CB1D1.同理右证：A1B//平面CB1D1. 平面A1BD//平面CB1D1.
例1:如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
FM
MN分别在其对角线BF上,
B
C
且FM AN.求证：MN//平面EBC
N
证 明 :在 正 方 形 ABCD与 ABEF中 , A
D
BEAB,FMAN,FBAC,
存 在 实 数 , 使 F M F B ,A N A C .
MNMFFAANBFEBAC
面面平行
l//// a u /v u / u a u v 0 点击点击
第二页，共二十八页。
（2）垂直(chuízhí)关系
设直线l，m的方向向量分别为a，b，
uv 平线面线垂直，(chuízlh的í)法m 向 量分a 别 为 b ， a b 0 点击
线面面面垂垂直直(chuízhlí) a u / u v / a u v u 点0 击
证明：设底面边长 1, 为
设a AA',b AB,c AC
a•b 0,a•c 0,b•c 1/ 2.
A'CA' AACca
AB' ABBB' ba
向量 法 (xiàngliàng)
BC' BAACCC' cab
第十五页，共二十八页。
练习： 在三棱柱ABC A'B'C'中， 底面是正三角形，AA' 底面ABC， A'C AB',求证：BC' AB'
业 AC 1,CB 2,侧棱AA1 1,侧面ZAA1B1B的
解 :
两条对角线交点为D, 求证CD 平面BDM
B1C1的中A点为M.
A1
如 图 ,以 C为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .
D
B( 2,0,0),B1( 2,1,0),A1(0,1,1),
C
211 2
D( , , ),M( ,1,0),
4.利用 向量解决 (lìyòng)
平行与垂直问题
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平行与垂直(chuízhí)关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，
平面 ，的法向量分别为 u，v
（1）平行 关系 (píngxíng)
线线平行(píngxílng)//ma /b / a b点击
线面平行
方能减少(jiǎnshǎo)运算量。本题选用了坐标法。
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（二）用向量处理(chǔlǐ)垂直问题
Z
例3 :
D
C
在正方体ABCD A' B'C ' D'中.A E,F分别是CC ', BD的中点.
BE
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
D
CY
F
取DA,DC,DD'分别为x轴,y轴,z轴XA
第十页，共二十八页。
B1
Z
例 2.在 正 方 形 A B C D-A 1B 1C 1D 1 中 , 求 证 :平 面 A 1B D//平 面 C B 1D 1
A
D
C
B
评注：
由于三种平行关系可以相互转化，
D1
C1
A1
Y
所以本题可用逻辑推理来证明。 X
用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，
在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，
B
2 22 2
X
B1
C1
MY
211
CD(
2
, , ), 22
A1B(
2,1,1)，DM(0,1,1), 22
第十九页，共二十八页。
作业：1.
如图,直三棱柱ABC A1B1C1中,ACB 900,
AC 1,CB 2,侧棱AA1 1,侧面AA1BZ1B的
两条对角线交点为D, 求证CD 平面BDM
例3.（三垂线定理和它的逆定理）在平面内的一条直线，
若和这个(zhè ge)平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜
线垂直.
第六页，共二十八页。
练习：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那 么(nà me)这两个平面互相垂直.
第七页，共二十八页。
（一）用向量(xiàngliàng)处理平行问题
D
CY
DB(2,2,0),DE(0,2,1)
F
A
B
A'F•DB(1,1,2)•(2,2,0)0,X
A'F•DE(1,1,2)•(0,2,1)0
A'FDB,A'FDE,又DB DED.A'F平面BDE
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例3 :
在正方体ABCD A' B'C ' D'中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
第二十二页，共二十八页。
a
l u
l//a u a u 0
第二十三页，共二十八页。
u
v
// u /v / u v
第二十四页，共二十八页。
l
a
bm
l ma b a b 0
第二十五页，共二十八页。
l
a
u
l a /u / a u
第二十六页，共二十八页。
v u