马鞍山2015年高中毕业班第三次教学质量监测数学(文)试卷

2015年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共50分
1~5：C B D C A. 6~10：D B A D B 二、填空题：每小题5分，共25分
（11）60. （12）0. （13）1
3. （14）3. （15）①④.
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分
（16）(本题小满分12分) 如图，平面四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=，且3,7,5AB BC CD DA ====.
（Ⅰ）求∠C ；
（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积S .
解：（Ⅰ）由余弦定理得：
222222cos 2cos BD CD CB CD CB C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅；
180C A ∠+∠=∵，2222
77277cos 35235cos C C +-⨯⨯=++⨯⨯⇒
∴1
cos 2C =
，
(0,180)C ∈∵，60C ∠=∴.………………………………………………6分
（Ⅱ）由三角形面积公式，得：
1773493sin 2224CBD S CB CD C ∆⨯=⋅=⋅=，1353153sin 2224ABD S AB AD A ∆⨯=⋅=⋅=
，故，
四边形ABCD 的面积
493153
16344S =
+=.…………………………12分
（17）（本小题满分12分）
在某校举办的体育节上，参加定点投篮比赛的甲、乙两个小组各有编号为1，2，3，4的4名学生. 在比赛中，每人投篮10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号
甲组 6 6 9 7 乙组
9
8
7
4
（Ⅰ）从统计数据看，甲、乙两个小组哪个小组成绩更稳定（用数据说明）？
D
C
B
A
第（16）题图
（Ⅱ）从甲、乙两组中各任选一名同学，比较两人的投中次数，求甲组同学投中次数高于乙组同学投中次数的概率.
解：（Ⅰ）两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差 2222211
[67679777] 1.5
4s =-+-+-+-=()()()()，……………………2分 乙班的方差 2
222221[97877747] 3.5
4s =-+-+-+-=()()()(). ……………………4分
因为22
12s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ……………………5分
（Ⅱ）将甲班1到4号记作,,,a b c d ，乙班1到4号记作1,2,3,4，从两班中分别任选一个
同
学
，
得
到
的
基
本
样
本
空
间
为
{1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4}a a a a b b b b c c c c d d d d Ω=，Ω由16个基本事件组
成，这16个是等可能的. ……………………8分
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A ，
则{4,4,2,3,4,4}A a b c c c d =，A 由6个基本事件组成，……………………10分
所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为
63
168=.…………12分
（18）（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA BC ⊥，1A B AC ⊥．, D E 分
别是111, BB AC
的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面1A BC ；
（Ⅱ）若AB BC ⊥，求证：1A B ⊥面ABC ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，1AB BC ==，12BB =，求三棱锥
11A BCC -的体积．
解：（Ⅰ）取1A C 中点F ，连接, BF EF ，∵E 是11 AC 的中点，∴1EF CC ∥，且
1
1=2E F C C
；
又∵11CC BB ∥，D 是1BB 的中点，∴EF DB ∥，且E F D B =，∴四边形BDEF 是平行四边形，
∴DE BF ∥，而DE ⊄平面1A BC ，BF ⊂平面1A BC ，∴DE ∥平面1A BC .……4分
E
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
第（18）题图
（Ⅱ）∵1AA BC ⊥，AB BC ⊥，而1AB A B B =，∴BC ⊥平面
11ABB A ，∴1BC A B ⊥ ．又∵1A B AC ⊥，AC
BC C =，∴1A B ⊥面
ABC ．………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论得1A B AB ⊥，∵AB BC ⊥，∴AB ⊥平面1A BC ；∵11A B AB ∥，∴11A B ⊥平面1A B C . 由11B C BC ∥可知，11B C ∥平面1A B C ；∵111AB A B ==，
112
AA BB ==，∴
11
A B =，∴三棱锥
11
A BCC -的体积：
1111111111111
13326A BCC C A BC B A BC A BC V V V S A B ---∆===⋅=⋅⋅=
.………………12分
（19）（本题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S +=+()n N *
∈，11a =．
（Ⅰ）求数列{
}
n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求
数列
1
{
}n
d 的前n 项和n T .
解：（Ⅰ）∵11n n a S +=+()n N *∈，∴
11n n a S -=+(,2)n N n *
∈≥，两式相减，得12n n a a +=(,2)n N n *∈≥；……………………………………4分
又11a =，∴21111122a S a a =+=+==，∴1
2n n a -=. ……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n a -=，12n
n a +=，所以1
1211n n n n a a d n n -+-==++，1112n n n d -+=，…………
8分
（解法1）则
012
2
1234
122222n n n n n T --+=
++++
+
，
123112341
2
22222n n n n n T -+=+++
+
+，
F E
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
两式相减，得
1012111
(1)
12111113222312222
222212n n n n n n
n n n T ---+++=++++-=+-=--，
所以
13
62n n n T -+=-
.……………………13分
（
解
法
2
）
设
1111(1)222,42222n n n n n n an b a n b an a b n an a b a b d --++++-+==-=⇒+=-+⇒==，
∴1111242(1)4
222n n n
n n n n d --++++==-；
∴
0112
1168810
242(1)42(1)43
(
)()(
)6622222222n n n n n n n n n T --++++++=-+-++-=-=-.………
……13分
（20）（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，1F 、2F 分
别为椭圆C 的左、右焦点，
3(1,)
2P 是椭圆C 上一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(1,0)Q 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，O 是坐标原点，且OA OB ⊥，求
直线l 的方程．
解：（Ⅰ） ∵
3(1,
)2P 在椭圆C 上，∴2213+=1
4a b ；又∵32c a =，222a b c =+，解
得22
4,1a b ==，
故所求椭圆方程为2
21
4x y +=.……………………5分
（Ⅱ）∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，由22
11
314
2x x x y y ==⎧⎧⎪⎪
⇒⎨⎨+==±⎪⎪
⎩⎩，∴
1
04OA OB ⋅=
>与0OA OB ⋅=矛盾，故直线l 的斜率存在且不为零.
设直线l 的方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1)
14y k x x
y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩，得 222241)84(1)0k x k x k +-+-=（， ∴2122841k x x k +=+，21224(1)
41k x x k -=
+，
∴
2
2
1212122
3[()1]41k y y k x x x x k -=-++=+，由0OA OB ⋅=，得1212+y 0x x y =解得2k =± 所以所求直线l 的方程为220x y --=或220x y +-=. ………………13分
（21）（本题满分13分）已知函数2()(0),()x
f x ax a
g x e =>=.
（Ⅰ）求函数
()
()(0)()
g x x x f x ϕ=
≠的单调区间和极值；
（Ⅱ）若(),()f x g x 的图象存在公共切线，求a 的取值范围.
解：（Ⅰ）∵2()(0)x
e x x ax ϕ=≠，∴4
(2)()(0,0)x e x x x a x a x ϕ-'=>≠， ()x ϕ∴的单调递
增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(0,2)；
2
()(2)4e x a ϕϕ==
极小值
. …………6分
（Ⅱ）设(),()f x g x 的公切线l 的斜率为k ，l 与(),()f x g x 图象的切点分别是
211(,)P x ax ，22(,)x Q x e ，若k 不存在，则l 不是()f x 图象的切线，所以k 存在.则22
21121
2x x e ax k ax e x x -===⇒
-
22
1
122
1212 222 x x e ax x x e ax x ax ⎧=⎪⇒=-⎨=-⎪⎩① ②，代入①，得
2244x e ax a =-，根据题意，此关于2x 的方程有解..………………10分
令()44x
h x e ax a =-+，则()h x 有零点. ∵()4x h x e a '=-，∴()h x 在(,ln(4)]a -∞上
单调递减，在[ln(4),)a +∞上单调递增.
(1)0h e =>∵，∴()h x 有零点当且仅当ln(4)min ()[ln(4)]4ln(4)40a h x h a e a a a ==-+≤，
解得24e a ≥，即所求a 的取值范围是2
[, )
4e +∞.………………13分。