高中数学第一章 §6 余弦函数的图像与性质

[核心必知]
余弦函数的图像与性质
[问题思考]
1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？
提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π
2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，
并且方法不唯一．
2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π
2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如
390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝3
2.却有cos 60°
<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．
3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？
提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π
2
，0)(k ∈Z )．
讲一讲
1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：
如图所示：
1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐
标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练
1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表
(2)
讲一讲
2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝
3
2
－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．
(2)求函数y ＝3－2cos(2x －
π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有3
2
－cos x ≥0， ∴cos x ≤
32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6
，k ∈Z . 故所求函数的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π
6，k ∈Z .
②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >
2
2
，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π
4，k ∈Z .
(2)∵π6≤x ≤π
2
，
∴0≤2x －π3≤2π
3
.
∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π
3)≤1，
∴1≤3－2cos(2x －π
3)≤4，
故函数的值域为[1，4]．
1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．
2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．
练一练
2. 求函数y ＝3cos 2
x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π3
，2π3的最值．
解：y ＝3cos 2
x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13
.
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12，
从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝15
4；
当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－1
4
.
∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，2π3上的最大值为154，最小值为－14.
讲一讲
3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π
2－x )的奇偶性．
(2)求函数y ＝cos(π
6
－x )的单调减区间．
[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π
2－x )
＝－cos x －x sin x ，
∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．
(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π
6)，
令2k π≤x －π
6≤π＋2k π(k ∈Z )，
得
π6＋2k π≤x ≤7π
6
＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .
1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．
2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．
练一练
3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；
(2)sin 194°与cos 160°.
解：(1)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7π8
＝cos 7π8
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π
8
.
而cos 7π6＝－cos π
6
∵0<π8<π6<π
2
.
∴cos π8>cos π6.
∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7π8<cos 7π6.
(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.
∵0°<20°<76°<90°， ∴cos 20°>cos 76°， ∴－cos 20°<－cos 76°， ∴sin 194°>cos 160°.
函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π [解析] 法一：
作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．
利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积， 又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 法二：
利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC 的面积(如图(2))． ∵|AC |＝2π，B 到AC 距离等于4.
∴S 平面图形＝S △ABC ＝ 1
2
×2π×4＝4π.
法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D
1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1
解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.
2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的
C ．先增加后减少
D ．先减少后增加
解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )
解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．
4．函数y ＝cos x
1＋cos x 的定义域是________．
解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z
∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z
5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析：
在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π
4.
答案： {π4，5π
4
}
6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．
解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π
5
<π，
且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π
5
即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－17π4.
一、选择题
1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )
A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同
B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间
C ．关于x 轴对称
D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C
2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π2，2π
解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像
可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，32 C.⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
解析：选B ∵0≤x ≤π
2，
∴
π6≤x ＋π6≤2π3
， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32
.
4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．M
P B ．M P
C ．M ＝P
D ．M ∩P ＝∅
解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π
(k ∈Z )，即x ＝
k π
4
(k ∈Z )．
∴M
P .
二、填空题
5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．
解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数
6．比较大小：sin 3π5________cos π
5
.
解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π
10，
0<
π10<π5<π
2
. ∴cos π10>cos π5，
即sin 3π5>cos π
5.
答案：>
7．方程x 2
＝cos x 的解的个数是________．
解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2
的图像(如图)，可知有两个交点．
答案：2
8．函数y ＝1
1－cos x 的值域是________．
解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴
11－cos x ≥1
2
.
∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞
三、解答题
9．求函数y ＝cos(3x －π4
)的单调减区间． 解：由2k π≤3x －π4
≤2k π＋π，k ∈Z ， 得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4
，k ∈Z ， ∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12
，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3
＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．
解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．
∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12
. ①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34
. ②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。