【典型题】高三数学上期末模拟试卷(附答案)

【典型题】高三数学上期末模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）
A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
2．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，
1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知x ，y 满足230
3301x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则
14
a b
+的最小值为（ ） A ．3
B ．
32
C ．2
D ．
52
4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( ) A ．－3
B ．5
C ．33
D ．－31
5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
6．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117 D ．
116
7．若直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10
8．“0x >”是“1
2x x
+≥”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知数列{}n a 中，(
)111,21,n n n
a a a n N S *
+==+∈为其前n 项和，5
S
的值为（ ）
A ．63
B ．61
C ．62
D ．57
10．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足
1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n
T
，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
11．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo
，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
A ．15
B ．25
C ．40
D ．60
12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A 25
B 5
C 310
D 10二、填空题
13．已知变数,x y 满足约束条件340
{210,380
x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)
处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．
14．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为__________．
15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合
{}53,23,19,37,82--中，则6q = .
16．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．
17．若变量,x y 满足约束条件{2
41
y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．
18．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为
1
3
的等比数列．设
13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞
=__________．(*n ∈N ) 19．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n S →∞
=
，则首项1a 的取值范围是____________． 20．已知
是数列
的前项和，若
，则
_____．
三、解答题
21．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量
()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v
（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =
+=ABC ∆中边上的高h .
22．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =.
（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.
23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为
R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.
（1）求A ∠；
（2）若tan 2tan A B =，求
sin 2sin 2sin b C
a b B c C
+-的值.
24．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知
3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC 的面积为22求b c 、 25．
已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
（Ⅱ）是否存在*
,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的
,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设3
2
n n n b a -=-
，若对于任意的*n N ∈，不等式 125111(1)(1)(1)23
n m b b b n ≤++++L m 的最大值． 26．已知函数()2sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<部分图象如图所示.
（1）求ϕ值及图中0x 的值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2
2
513(4)
=
=+-d ,则22a b +>1，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故
1
1b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．
1411414143
()()(5)(5)6662
b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=
，当且仅当4b a a b =，即12,33a b =
=时等号成立，即14a b +的最小值为3
2． 故选：B. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q =， 因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
5．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
6．A
解析：A 【解析】
依题意，113
713113
713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅. 7．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,
因此
114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0
时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
9．D
解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ，
据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：
1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，
分组求和有：(
)5
521255712
S ⨯-=-=- .
本题选择D 选项.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n …时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π
-， ∵函数cos 2
n y π=的周期24
2
T ππ==，
∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)
2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L
02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得
AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】
过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ， 如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=∠∠
，
即
sin[90(90)]sin(90)
h AD
αβα=︒--︒-︒+，
cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
3340cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα⨯
⨯=-=
-=
-=-=-． 故选B ．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =
+=225AC AB BC +
在ACD ∆中，由余弦定理得2222310
cos 2252
AC AD CD DAC AC AD +-∠===
⋅⨯⨯， 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：点而目标函数仅在点处取得最大值所以考点：线性规划最值问题
解析：1
(,)3
+∞
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：，点
(22)A ，，而目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，所以
11
33
AB k a a -
>=-∴> 考点：线性规划、最值问题.
14．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时
解析：10 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由2z x y =+得2y x z =-+．
平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由40
2
x y y +-=⎧⎨
=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩，
故点A 的坐标为(6,2)-， 所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】
用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．
15．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-
【解析】 【分析】 【详解】
考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合
{}
54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3
2
q =-，6q = -9. 16．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8 解析：8 【解析】 【分析】 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=，
所以71101028a a =-=-=，故答案为8.
17．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△A BC 及其内部其中A （22）B （）C （32）设z=F （xy ）=3x+y 将直线l ：z=3x+y 进行平移当l 经过点A （22）时目标函数z 达
解析：8 【解析】 【分析】 【详解】
作出不等式组 表示的平面区域，
得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （
53,22
）,C （3，2）
设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移， 当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （2，2）=8 故选：C
18．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目
解析：9
lim 8
n n T →∞=
【解析】 【分析】
构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。

【详解】
构造新数列{}21n a -，该数列首项为1，公比为
1
9
， 则()
111119*********
n n
n n
a q T q
⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=
==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-
而1lim 09n
n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故9lim 8n n T →+∞=
【点睛】
本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和，属于中等难度的题目。

19．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【解析】 【分析】 由题得11
(1)2
a q =-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】 由题意知，
1112a q =-，可得11
(1)2
a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U .
故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：
【解析】 【分析】
由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】
解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝
24950．
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
三、解答题
21．(1)3
C π
=;(2)
32
. 【解析】
分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=， 根据正弦、余弦定理得1cos 2C =
，即可得到3
C π
=；
（2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得3
2
h =，即可得到结论．
详解：（1）因为22
cos sin sin sin p q B A A B v v
⋅=-+，
所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，
根据正弦定理得2
2
2
a b c ab +-=，所以2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
所以3
C π
=
；
（2）由余弦定理()2
2
2
32cos
33
a b ab a b ab π
=+-=+-，又a b +=3ab =，
根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch =
=，即11
3222
⨯⨯=， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高3
2
h =
． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
22．(1)4c =；(2) 【解析】 【分析】 【详解】
(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3
A B C B π
π++=∴=
.
由正弦定理，得34c a =,即34
c a =
. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即2
2331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，解得4c =. (2)
由正弦定理，得
,.
sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==
)(
)sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛
⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦
3sin sin 26A A A π⎫⎛
⎫=
+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
. 由203A π<<，得5666
A πππ
<+<
. 所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，(
)max a c +=
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 23．（1）6π；（2
）. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠
可得tan A =，即可求出角A ； （2）由（1
）可得tan 6
B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1
tan 2
A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】
（1
）∵sin sin cos 0A B b A -=，
由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，
即)
sin cos 0B
A A -=，
∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，
cos A A =，tan 3
A =， ∵()0,A π∈，∴6
A π
∠=
.
（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =，
∴2sin 1A =， ∴
sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C
a b B c C Aa b B c C =+-+-
222sin ab C a b c
=
+- 由余弦定理得：
()sin sin 11
tan tan 2sin 2sin 2cos 22
b C C C A B a b B
c C C ===-++-
1tan tan 21tan tan 10A B A B +=-⨯=-
-. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题. 24．：（1）1
cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩
【解析】
：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-
从而cos A 1
cos()3
B C =-+=
（2）由于0,A π<<1cos 3A =
，所以sin A =又ABC S =V 1
sin 2
bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213
{6
b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 25．（1）1
(51)2
n -（2）不存在（3）8 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2
112520a a -+=，解得12a =，或112
a =
． 由于11a >，所以12a =．
因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以2
10252n n n S a a =++. 故22
1111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，
整理，得22
112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=．
因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152
n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，5
2
为公差的等差数列. 所以51
2(1)(51)22
n a n n =+
-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数,,m n k 不存在，证明如下：
假设存在*
,,m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，
则1
5151(51)2
m n k -+-=
-． 整理，得3
225
m n k +-=
， ① 显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数,,m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313
(51)21222
n n n n b a n n --=-=--=+，
12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L
31
≤
3121231111n n
b b b b b b b b ++++⋅⋅L
4682235721n n +=
⋅⋅⋅⋅+L ．
设46822()35721n f n n +=
⋅⋅⋅⋅+L
则(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+L
2423n n +=
=+
24
1
24
n
n
+
=>===
+.
所以(1)()
f n f n
+>，即当n增大时，()
f n也增大．
12
111
(1)(1)(1)
n
b b b
≤+++
L对于任意的*
n N
∈
恒成立，只需min
()
f n
≤即可．
因为
min
4
()(1)
315
f n f
===
≤.
即
4311244
8
151515
m
⨯
≤==.
所以，正整数m的最大值为8．………………………………………14分
26．（1）
6
π
=
ϕ,
7
6
x
π
=（2）1
a=
【解析】
试题分析：（1）根据图象可得()01
f=，从而求得ϕ得值，再根据()02
f x=，可得
22,
62
x k k Z
ππ
π
+=+∈，结合图象可得
x的值；（2）根据（1）的结论及
()2
f C=-，可得C的值，将sin B=2sin A根据正弦定理角化边得2
b a
=，再根据余弦定理即可解得a的值.
试题解析：（1）由图象可以知道：()01
f=.
∴
1
sin
2
ϕ=
又∵
2
π
ϕ<
∴
6
π
ϕ=
∵()02
f x=
∴0
sin21
6
x
π
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
22,
62
x k k Z
ππ
π
+=+∈, 从而
,
6
x k k Z
π
π
=+∈.
由图象可以知道1
k=, 所以
7
6
x
π
=
（2）由()2
f C=-,得sin21
6
C
π
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
,且()
0,
Cπ
∈.
∴
2
3
C
π
=
∵sin 2sin B A = ∴由正弦定理得2b a =
又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2
2
27422cos ,3
a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。