高中数学三角函数知识点总结实用版

三角函数
1. ①与α0°≤α＜360°终边相同的角的集合角α与角β的终边重合：
{}
Z k k ∈+⨯=,360
|αββ
②终边在x 轴上的角的集合： {}
Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{
}
Z k k ∈+⨯=,90180|
ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}
Z k k ∈-⨯=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称;则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称;则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上;则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直;则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数;负角的弧度数为负数;零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π
180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180
π≈0.01745rad
3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22
s lr r α==⋅扇形
4、三角函数：设α是一个任意角;在α的终边上任取异于原点的一点Px;yP 与原点的距离为r;则 r
y =αsin ；
α
cos x y =
αtan ； y
x
=αcot ； x r =αsec ；. y r =αcsc . 5、三角函数在各象限的符号：一全二正弦;三切四余弦
正切、余切
余弦、正割
正弦、余割
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
(3) 若 o<x<2
,则sinx<x<tanx
8、同角三角函数的基本关系式：αα
αtan cos sin =
αα
α
cot sin cos =
1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α
1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα
9、诱导公式：
2
k παα±把
的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变;符号看象限”
三角函数的公式：一基本关系
公式组二 公式组三
x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六
x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ x x x x x
x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ
二角与角之间的互换
公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
αα2
tan 1tan 22tan -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
cos 12
sin
α
α-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12cos α
α+±=
公式组一sin x ·csc x =1tan x =x
x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x
tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2
x
=1
βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 公式组三 公式组四 公式组五
2tan 12tan 2sin 2ααα+= 2tan 12tan
1cos 22ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-= 4
2675cos 15sin -=
= ; ;3275cot 15tan -== ;. 3215cot 75tan +== 4
2615cos 75sin +=
=
()()[]()()[]()()[]()()[]
βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21
cos cos sin sin 21
sin cos sin sin 21cos sin 2
cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+2sin
2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-α
α
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-
注意：①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反；x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相反.一般地;若)(x f y =在],[b a 上递增减;则)(x f y -=在],[b a 上递减增.
②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y 0≠ω的周期ω
π
2=
T .
2tan x
y =的周期为2ππω
π2=⇒=T T ;如图;翻折无效.
④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+
=k x Z k ∈;对称中心0,πk ；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方
程是πk x =Z k ∈;对称中心0,2
1ππ+k ；)tan(ϕω+=x y 的对称中心
0,2
π
k . x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称
⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+
=+π
πβα；αtan ·,1tan -=β)(2
Z k k ∈+
=-π
πβα.
⑥x y cos =与⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数;而)(ϕω+=x y 是偶函数;则
)cos()2
1
sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.× 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域;x y tan =为增函数;同样也是错误的.
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称奇偶都要;二是满足奇偶性条件;偶函数：)()(x f x f =-;奇函数：)()(x f x f -=-
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数;)3
1
tan(π+=x y 是非奇非偶.定义域
不关于原点对称
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域;则)(x f 一定有0)0(=f .x ∉0的定义域;则无此性质
⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数π=T ；
x y cos =是周期函数如图；x y cos =为周期函数π=T ；
2
1
2cos +=x y 的周期为π如图;并非所有周期函数都有最小正周期;例如：
R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =
+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １、几何法：
２、描点法及其特例——五点作图法正、余弦曲线;三点二线作图法正、余切曲线. ３、利用图象变换作三角函数图象．
y=|cos2x +1/2|图象
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y ＝Asin ωx ＋φ的振幅|A|;周期2||
T πω=;频率1||2f T ωπ
==;相位;x ωϕ+初相ϕ即当x
＝0时的相位．当A ＞0;ω＞0 时以上公式可去绝对值符号;
由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变;纵坐标伸长当|A|＞1或缩短当0＜|A|＜1到原来的|A|倍;得到y ＝Asinx 的图象;叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．用y/A 替换y
由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变;横坐标伸长0＜|ω|＜1或缩短|ω|＞1到原来的1||ω
倍;得到y ＝sin ω x 的图象;叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．用ωx 替换x
由y ＝sinx 的图象上所有的点向左当φ＞0或向右当φ＜0平行移动｜φ｜个单位;得到y ＝sinx ＋φ的图象;叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．用x ＋φ替换x
由y ＝sinx 的图象上所有的点向上当b ＞0或向下当b ＜0平行移动｜b ｜个单位;得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．用y+-b 替换y
由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin ωx ＋φA ＞0;ω＞0x ∈R 的图象;要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时;原图象延x 轴量伸缩量的区别.. 4、反三角函数： 函数y ＝sin x ;⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数;记作y ＝arcsin x ;它的定义域是－1;1;值域
是⎥⎦
⎤⎢
⎣
⎡22ππ，－．
函数y ＝cos x ;x ∈0;π的反应函数叫做反余弦函数;记作y ＝arccos x ;它的定义域是－1;1;值域是0;π．
函数y ＝tan x ;⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数;记作y ＝arctan x ;它的定义域是－∞;
＋∞;值域是⎪⎭
⎫
⎝⎛-22ππ，．
函数y ＝ctg x ;x ∈0;π的反函数叫做反余切函数;记作y ＝arcctg x ;它的定义域是－∞;＋∞;值域是0;π．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数;故x x arcsin )arcsin(-=-;[]1,1-∈x 一定要注明定义域;若()+∞∞-∈,x ;没有x 与y 一一对应;故x y sin =无反函数
注：x x =)sin(arcsin ;[]1,1-∈x ;⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .
⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶;但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-;[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ;[]1,1-∈x ;[]π,0arccos ∈x .
②x y cos =是偶函数;x y arccos =非奇非偶;而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =;定义域),(+∞-∞;值域2,
2π
π-
;x y arctan =是奇函数;
x x arctan )arctan(-=-;∈x ),(+∞-∞.
注：x x =)tan(arctan ;∈x ),(+∞-∞.
⑷反余切函数：x arc y cot =;定义域),(+∞-∞;值域2,
2π
π-
;x arc y cot =是非奇非偶.
ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-;∈x ),(+∞-∞. 注：①x x arc =)cot cot(;∈x ),(+∞-∞.
②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数;x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集
a
＞1 ∅ a
＞1 ∅
a
=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a
=1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π
a
＜1 (){}
Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|π
a
＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π
③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式.
组一
组二
∏==
=n
k n
n n
k
1
2sin
2sin 2
cos
8
cos
4
cos
2
cos
2
cos α
αα
α
α
α
α
∑=++=
+++++=+n
k d
nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(
∑
=++=
+++++=+n
k d
nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(
α
γγββαγ
βαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=
++
组三 三角函数不等式
x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数 若π=++C B A ;则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++
α
αααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()α
ββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 1
1++=n n n。