安徽省宣城市郎溪中学_学年高二数学上学期第三次月考试卷文(含解析)【含答案】

2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学高二（上）第三次月考数学试
卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．101（2）化为十进制数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，程序框图的输出值x=（）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．已知双曲线﹣=1的焦点为（4，0），则此双曲线的渐近线方程是（）
A．x±y=0B．x±y=0 C．x±y=0D．x±y=0
5．下列说法错误的是（）
A．命题p“∀x∈R，a x＞0（a＞0且a≠1），则￢p：∃x0∈R，≤0
B．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
C．特称命题“∃x∈R，使﹣2x2+x﹣4=0”是假命题
D．命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a+b不是偶数”
6．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“4a﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．
7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．
8．如图，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率是（）
A．B．C．D．
9．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
11．△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．
C．D．
12．过双曲线x2﹣=1的左焦点F引圆x2+y2=1的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点M 为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|=（）
A．B．1 C．﹣1 D． +1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置13．某校高中生共有2700人，其中高一年级1000人，高二年级900人，高三年级800人，现采用分层抽样法抽取一个容量为81的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为．
14．对于∀x∈[1，2]，都有x2+ax＞0，则实数a的取值范围是．
15．椭圆的焦点F1F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积
为．
16．给出下列四个命题：
（1）方程x2+y2﹣2x﹣1=0表示的是圆；
（2）动点到两个定点的距离之和为一定长，则动点的轨迹为椭圆；
（3）抛物线x=2y2的焦点坐标是；
（4）若双曲线+=1的离心率为e，且1＜a＜2，则k的取值范围是k∈（﹣12，0）
其中正确命题的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到数据如下：
零件的个数x（个） 2 3 4 5
加工时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
（1）作出散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）预测加工10个零件需要多少小时？
18．啊啊某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
19．已知点A（4，m）在抛物线y2=2px（p＞0）上，它到抛物线焦点F的距离为5，
（Ⅰ）求抛物线方程和m的值；
（Ⅱ）若m＞0，直线L过点A作与抛物线只有一个公共点，求直线L方程．
20．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．
21．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x：y 1：1 2：1 3：4 4：5
22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
2015-2016学年安徽省宣城市郎溪中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．101（2）化为十进制数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】进位制．
【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图．
【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．
【解答】解：101（2）=1×20+0×21+1×22=5，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是算法的概念，进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数×该数位的权重，本题属于基础题．
2．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数与对数函数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据对数函数的性质由“log3a＞log3b”可得a＞b＞0，然后根据指数函数的性质由“（）a＜（）b，可得a＞b，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵a，b∈R，则“log3a＞log3b”
∴a＞b＞0，
∵“（）a＜（）b，
∴a＞b，
∴“log3a＞log3b”⇒“（）a＜（）b，
反之则不成立，
∴“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b的充分不必要条件，
故选A．
【点评】此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和充要条件的定义．
3．如图，程序框图的输出值x=（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】循环结构．
【专题】图表型．
【分析】按照程序框图的流程，依次写出得到的各个值，直到满足判断框中的条件，输出x 的值．
【解答】解：按照流程，依次得到x=2，x=4，x=5，x=6，x=8，x=9，x=10，x=12输出
故选C
【点评】解决程序框图的循环结构时，常采用的方法是依次写出各次循环的结果，找规律．4．已知双曲线﹣=1的焦点为（4，0），则此双曲线的渐近线方程是（）
A．x±y=0B．x±y=0 C．x±y=0D．x±y=0
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的焦点坐标，求出a，然后求出结果即可．
【解答】解：双曲线﹣=1的焦点为（4，0），
所以a2+4=16，解得a=2．
双曲线﹣=1的焦点为（4，0），则此双曲线的渐近线方程是：y=x，
即：x±y=0．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，双曲线的基本性质的应用．
5．下列说法错误的是（）
A．命题p“∀x∈R，a x＞0（a＞0且a≠1），则￢p：∃x0∈R，≤0
B．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
C．特称命题“∃x∈R，使﹣2x2+x﹣4=0”是假命题
D．命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a+b不是偶数”
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】利用命题的否定判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；特称命题的真假判断C的正误；命题的否命题判断D的正误；
【解答】解：定义A，命题p“∀x∈R，a x＞0（a＞0且a≠1），则￢p：∃x0∈R，≤0，满足命题的否定形式，命题正确．
对于B，如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题，是正确的命题．
对于C，特称命题“∃x∈R，使﹣2x2+x﹣4=0”是假命题，因为△=﹣31＜0，方程没有实数解，所以mt正确．
对于D，命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a，b都不是偶数，则a+b 不是偶数”，不满足否命题的定义，所以是错误的命题．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假的判断，复合命题的真假，特称命题的判断与应用，命题的否定，基本知识的考查．
6．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“4a﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意，本题是几何概型的概率求法，只要明确区域的长度，利用概率公式解答．【解答】解：利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，a的对应区域长度为1，事件“4a ﹣1＜0”即x＜，此区域长度为，
由几何概型概率公式得；
故选C．
【点评】本题考查了几何概型概率的求法，关键是明确事件对应的区域的长度或者面积或者体积，利用几何概型概率公式可求．
7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，
所以=．
所以．
所以双曲线的离心率=．
故选B．
【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．
8．如图，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；分类讨论；同一法；概率与统计．
【分析】任意将其两个闭合，基本事件总数n=10，电路被接通包含的基本事件的个数m=6，由此能求出电路被接通的概率．
【解答】解：任意将其两个闭合，
基本事件总数n=C52=10，
电路被接通包含的基本事件的个数m=C21C31=6，
∴电路被接通的概率p===．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用
9．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】抛物线的应用；抛物线的定义．
【专题】计算题．
【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．
【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，
由抛物线的定义知：
|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．
故选D．
【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．
10．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】系统抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取
=12人．
故：B．
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．
11．△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）
A．B．
C．D．
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，
所以椭圆的标准方程是．
故选A．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
12．过双曲线x2﹣=1的左焦点F引圆x2+y2=1的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点M 为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|=（）
A．B．1 C．﹣1 D． +1
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，OM，OT．可得OT⊥FT，
FT==.，又|PF|﹣|PF′|=2a=2，利用|MO|﹣|MT|=﹣即可得出．
【解答】解：如图所示，
设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，OM，OT．
∵OT⊥FT，
∴FT==．
，
PF﹣PF′=2a=2，
∴|MO|﹣|MT|=﹣
=|FT|+
=﹣
=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置13．某校高中生共有2700人，其中高一年级1000人，高二年级900人，高三年级800人，现采用分层抽样法抽取一个容量为81的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为30、27、24 ．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题．
【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率就等于该层应抽取的个体数，
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，故高一、高二、高三各年级抽取人数分别为1000×=30、900×=27、800×=24，
故答案为 30、27、24．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
14．对于∀x∈[1，2]，都有x2+ax＞0，则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．
【考点】全称命题．
【专题】计算题；函数思想；转化法；简易逻辑．
【分析】分离参数，得到a＞﹣x，根据函数的单调性即可求出a的范围．
【解答】解：对于∀x∈[1，2]，都有x2+ax＞0，
∴a＞﹣x，
∵y=﹣x在[1，2]上为减函数，
∴y max=﹣1
∴a＞﹣1，
故答案为（﹣1，+∞）．
【点评】此题考查求参数范围，一般用分离参数法，进而转化为求函数的值域，利用函数的单调性求出函数的最值，属基础题．
15．椭圆的焦点F1F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9 ．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25﹣9）=64
整体求出PF
×PF2，面积可求．
1
【解答】解：根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10 ①
∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25﹣9）=64 ②
①2﹣②得 2PF1×PF2=100﹣64=36
∴s△F1PF2=PF1×PF2=×18=9
故答案为：9．
【点评】本题考查椭圆的定义，标准方程，几何性质．考查分析解决问题、计算能力．
16．给出下列四个命题：
（1）方程x2+y2﹣2x﹣1=0表示的是圆；
（2）动点到两个定点的距离之和为一定长，则动点的轨迹为椭圆；
（3）抛物线x=2y2的焦点坐标是；
（4）若双曲线+=1的离心率为e，且1＜a＜2，则k的取值范围是k∈（﹣12，0）
其中正确命题的序号是（1）（3）（4）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；对应思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1），（2），（3）可直接根据圆锥曲线的定义进行判断；
（4）可利用离心率的定义得出1＜＜2，求出k的范围．
【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣1=0可整理为（x﹣1）2+y2=2表示的是圆，故正确；（2）动点到两个定点的距离之和为一定长，且大于两顶点间的距离时，则动点的轨迹为椭圆，故错误；
（3）抛物线x=2y2整理得y2=x，得焦准距p=，得焦点坐标是，故正确；（4）若双曲线+=1的离心率为e，且1＜e＜2，
∴1＜＜2，
∴﹣12＜k＜0．故正确．
故答案为（1）（3）（4）．
【点评】考查了圆锥曲线的定义，焦点坐标，离心率的求解．属于基础题型，应熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到数据如下：
零件的个数x（个） 2 3 4 5
加工时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
（1）作出散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（3）预测加工10个零件需要多少小时？
【考点】回归分析的初步应用．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据表中所给的数据，可得散点图；
（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．
【解答】解：（1）作出散点图如下：
…
（2）=3.5， =3.5，…
=54， x i y i=52.5
∴b==0.7
a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…
（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
所以加工10个零件大约需要8.05个小时…
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）利用平均数求出x的值，中位数求出y的值，解答即可．
（2）根据所给的茎叶图，得出甲班7位学生成绩，做出这7次成绩的平均数，把7次成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．
（3）设甲班至少有一名学生为事件A，其对立事件为从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生；先计算出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数，和没有甲班一名学生的方法数目，先求出从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班没有一名学生的概率，进而结合对立事件的概率性质求得答案．【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，
∴，
∴x=5，
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；
（2）甲班7位学生成绩的方差为
s2==40；
（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件M，则．
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．
19．已知点A（4，m）在抛物线y2=2px（p＞0）上，它到抛物线焦点F的距离为5，
（Ⅰ）求抛物线方程和m的值；
（Ⅱ）若m＞0，直线L过点A作与抛物线只有一个公共点，求直线L方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）运用抛物线的定义，解得p，再由抛物线方程，求得m；
（Ⅱ）过点（4，4）且与抛物线y2=4x只有一个公共点时只能是：i）过点（4，4）且与抛物线y2=4x相切，此时设直线方程为：y=k（x﹣4）+4，运用直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，即可求得k，ii）过点（4，4）且平行于对称轴，即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（4，m）在抛物线y2=2px（p＞0）上，
则有m2=8p，
由于A到抛物线焦点F的距离为5，则由抛物线定义，可得，
4+=5，解得，p=2，
则m2=16，解得，m=±4；
（Ⅱ）由m＞0，则抛物线方程为y2=4x，
点A（4，4）在抛物线y2=4x上，
∴过点（4，4）且与抛物线y2=4x只有一个公共点时只能是：
i）过点（4，4）且与抛物线y2=4x相切，
此时设直线方程为：y=k（x﹣4）+4，
代入抛物线，得：[k（x﹣4）+4]2=4x，
整理，得：k2x2+（8k﹣8k2﹣4）x+16k2﹣32k+16=0，
∵方程只有一个根，∴x1=x2=4，
∴=8，解得k=，
∴直线方程为：y=x+2，即x﹣2y+4=0．
ii）过点（4，4）且平行于对称轴．
此时直线方程为y=4．
综上所述，满足条件的直线方程为：x﹣2y+4=0或y=4．
【点评】本题考查抛物线的方程和定义、性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．
20．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（1﹣2m）（m+2）＜0时的解集即可；
（Ⅱ）命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，△≥0，求出解集即可；
（Ⅲ）“p∨q”为假命题时，p、q都是假命题，求出m的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，
∴（1﹣2m）（m+2）＜0，
解得m＜﹣2，或m＞，
∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞}；…
（Ⅱ）当命题q为真命题时，
方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，
∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，
解得m≤﹣2，或≥1；
∴实数m的取值范围是{|m≤﹣2，或≥1}；…
（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，
∴，
解得﹣2＜m≤；
∴m的取值范围为（﹣2，]．…
【点评】本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目．
21．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x：y 1：1 2：1 3：4 4：5
【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；
（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；
（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．
【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；
（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，
数学成绩在[60，70）的人数为：，
数学成绩在[70，80）的人数为：，
数学成绩在[80，90）的人数为：，
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．
22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）根据点是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2
∴a=2，，
∴椭圆方程为．…
（Ⅱ）设直线BD的方程为
由，消去y可得
∴，，
由△=﹣8b2+64＞0，可得
∴，
设d为点A到直线BD：的距离，∴
∴，
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…
【点评】本小题主要考查椭圆的方程的求法，考查弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．。