2018届高三数学 第9练 函数性质的应用练习

第9练 函数性质的应用
一、选择题
1．(2016·广西桂林中学高一期中上)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( ) A ．y ＝log 3x B ．y ＝3|x |
C ．y ＝x 1
2
D ．y ＝x 3
2．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 014)的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2
D ．±2
3．(2017·西安质检)设f (x )是定义在实数集上的函数，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，
f (x )＝
ln x ，则有( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
4．已知函数f (x )＝13
log (x 2
－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤－12，2 5．(2016·威海模拟)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则
f (2－x )>0的解集为( )
A ．{x |x >2或x <－2}
B ．{x |－2<x <2}
C ．{x |x <0或x >4}
D ．{x |0<x <4}
6．设函数f (x )是奇函数，对任意的实数x ，y ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，则f (x )在区间[a ，b ]上( ) A ．有最小值f (a ) B ．有最大值f (a ) C ．有最大值f (
a ＋b
2
)
D ．有最小值f (
a ＋b
2
)
7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果
x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．可能为0
B ．恒大于0
C ．恒小于0
D ．可正可负
8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：
①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足
f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3
－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1
x ＋1
与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝
1
x －1
.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题
9．(2016·孝感模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2
－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.
10．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：
①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.
其中所有正确命题的序号为________．
11．(2016·济宁期中)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2}，且y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x <2时，f (x )＝|2x
－1|，那么当x >2时，函数f (x )的递减区间是__________． 12．(2016·武汉调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (x )，x >0，－f (x )，x <0，给出下列命题：
①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；
③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2
－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________.
答案精析
1．D [根据对数函数的图象知y ＝log 3x 是非奇非偶函数；y ＝3|x |
是偶函数；y ＝12
x 是非奇非偶函数；y ＝x 3
是奇函数，且在定义域R 上是单调函数，所以D 正确．] 2．A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)． 又g (x )＝f (x －1)， ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，
f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，
∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 014)＝f (2)＝2.]
3．C [由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫53，
又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，单调递增，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13<f (2)．] 4．D [令t ＝g (x )＝x 2
－ax ＋3a ，易知f (t )＝13
log t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝
13
log (x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递
增，
且t ＝g (x )＝x 2
－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－－a 2
≤1，g ?1?>0，
所以⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ≤2，a >－1
2，即－1
2
<a ≤2.]
5．C [由题意可知f (－x )＝f (x )， 则(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )， 即(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0， 即b ＝2a .则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)上单调递增，
所以a >0.
f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，
解得x <0或x >4.故选C.]
6．B [不妨设a ≤x 1<x 2≤b ，则f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )⇒f (x －y )＝f (x )＋f (－y )＝f (x )－
f (y )⇒f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＝－f (x 2－x 1)>0⇒f (x 1)>f (x 2)⇒f (x )在区间[a ，b ]上为减函
数⇒f (x )在区间[a ，b ]上有最大值f (a )，故选B.] 7．C [由x 1x 2<0，不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.
由f (x )＋f (－x )＝0，知f (x )为奇函数， 又由f (x )在(－∞，0)上单调递增，得
f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，
所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.]
8．C [在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，
y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 2
2
＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，
得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－
x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f [－(x －3)]＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝
－1＋3
2
＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1
，即y ＝
1x －1，于是f (x )＝1
x －1
，所以④正确．] 9．－x 2
＋22x －120
解析 ∵f (x )在R 上是周期为4的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．由f (x ＋4)＝f (x )，可得f (x －12)＝f (x )．设－2≤x ≤0，则0≤－x ≤2，f (x )＝－f (－x )＝－x 2
－2x ，当10≤x ≤12时，－2≤x －12≤0，f (x )＝f (x －12)＝－(x －12)2
－2(x －12)＝－x 2
＋22x －120. 10．①②④
解析 对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴
f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，
∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴， ∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，
∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减， ∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴x 1＋x 2
2
＝－4，x 1＋x 2
＝－8，∴④正确． 11．(2,4]
解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，则函数f (x )关于直线x ＝2对称，则f (x )＝f (4－x )．若x >2，则4－x <2，∵当x <2时，f (x )＝|2x
－1|， ∴当x >2时，f (x )＝f (4－x )＝|24－x
－1|，则当x ≥4时，4－x ≤0,2
4－x
－1≤0，此时f (x )
＝|2
4－x
－1|＝1－2
4－x
＝1－16·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，此时函数递增，当2<x ≤4时，4－x >0,24－x
－1>0，
此时f (x )＝|24－x
－1|＝2
4－x
－1＝16·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，此时函数递减，∴函数的递减区间为(2,4]．
12．②③
解析 ①因为|f (x )|＝11(),||2,
(),0||2,
a a f x x f x x --⎧
≥⎪⎨⎪-<<⎩
而F (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
f (x )，x >0，－f (x )，x <0，这两个函数的定
义域不同，不是同一函数，即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x >0时，F (x )＝f (x )＝
a log 2|x |＋1，－x <0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)＝－(a log 2|x |＋1)＝－F (x )；
当x <0时，F (x )＝－f (x )＝－(a log 2|x |＋1)，－x >0，F (－x )＝f (－x )＝a log 2|－x |＋1＝
a log 2|x |＋1＝－F (x )，所以函数F (x )是奇函数，②正确．③当a >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |
＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，不妨设x 1>0，则x 2<0，x 1>－x 2>0，所以F (x 1)>F (－x 2)>0，又因为函数F (x )是奇函数，－F (x 2)＝F (－x 2)，所以F (x 1)＋F (x 2)>0，③正确．④函数y ＝F (x 2
－2x －3)＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
a log 2(x 2
－2x －3)＋1，x >3或x <－1，－a log 2(－x 2
＋2x ＋3)－1，－1<x <3，
当x>3或x<－1时，因为a<0，
所以y＝F(x2－2x－3)既没有最大值，也没有最小值．。