专题13.2三角形的高、中线与角平分线【十大题型】-2024-2025学年八年级数[含答案]

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OB ，5 表示线段 OE ，从 O 点出发，按 1753 运动可得到正方形 OAHG ．从 O 点出发，按
1112445668 运动的轨迹形成的图形面积为
．
【变式 3-3】（23-24 八年级下·河南郑州·期末）
12．如图， 4 ´ 4 方格纸中小正方形的边长为 1，A，B 两点在格点上，请在图中格点上找到
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形 ABCD 内作一条直线将
它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图 3，小孙同学的辅助线：①连接对角线 AC ，
②作 DE ∥ AC 交 BC 的延长线于 E ；③取 BE 的中点 M ，则直线 AM 为所求直线．小孙同
学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
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AE 的长．
【变式 5-3】（23-24 八年级上·河北廊坊·阶段练习）
20．在 V ABC 中， D 是 BC 的中点， AB = 12 ， AC = 8 ．用剪刀从点 D 入手进行裁剪，若沿
；若点 E 在 AB 上，沿 DE 剪开得到两部分周长
DA 剪成两个三角形，它们周长的差为
8
【题型 7 与角平分线有关的角度计算】
【题型 8 应用等面积法求线段长】
【题型 9 探究三角形的边、角、线】
【题型 10 三角形的稳定性】
9
10
12
13
知识点：三角形的高、中线与角平分线
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点
S△ DEF =
．
【变式 6-1】（23-24 八年级上·安徽合肥·期中）
22．如图，在 V ABC 中， D 是 BC 中点， E 是 AD 中点，连接 BE 、 CE ，若 △ ABD 与 V DEC
的面积差为 6，则 VBEC 的面积为（
A．9
B．12
）
C．15
D．18
【变式 6-2】（23-24 八年级下·江苏无锡·期中）
【题型 3 网格中计算三角形的面积】
【例 3】（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期中）
9．如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D 是网格线交点，则 V ABC 的面积与 △ ABD
的面积的大小关系为（
A． S△ ABC < S△ ABD
）
B． S△ ABC > S△ ABD
C． S△ ABC = S△ ABD
③ ÐFAG = 2ÐACF ；④ S△ABE = S△BCE ；⑤ BH = CH ；⑥ AD × BC = AB × AC ，其中结论正
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确的有(
A．2 个
)
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式 1-1】（23-24 八年级下·河北保定·期中）
2．下列结论正确的是（
）
A．直角三角形的高只有一条
B．三角形的高至少有一条在三角形内部
C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D．钝角三角形的三条高都在三角形外部
【变式 1-2】（23-24·河北石家庄·一模）
3．如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（ Ð A 是钝角），他打算用折叠的方法折出 Ð C
的角平分线、 AB 边上的中线和高线，能折出的是（ ）
专题 13.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】
【沪科版】
【题型 1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【题型 2 画三角形的高、中线或角平分线】
【题型 3 网格中计算三角形的面积】
1
3
4
【题型 4 等底同高的三角形的有关的计算】
5
【题型 5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
7
【题型 6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
A． AB 边上的中线和高线
B． Ð C 的角平分线和 AB 边上的高线
C． Ð C 的角平分线和 AB 边上的中线
D． Ð C 的角平分线、 AB 边上的中线和高线
【变式 1-3】（23-24 八年级下·福建福州·阶段练习）
4．如图， CD ， CE ， CF 分别是 V ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是
点 C，使得 V ABC 的面积为 2．满足条件的点 C 有（ ）个．
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【题型 4 等底同高的三角形的有关的计算】
【例 4】（23-24 八年级下·河南南阳·期末）
13．【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在 V ABC 和 V A¢B¢C ¢ 中， AD 和 A¢D¢ 分别是 BC 和 B¢C ¢ 边上的高线，且
2
2
∵ AD = A¢D¢
∴ SV ABC∶SV A¢B¢C = BC∶B¢C ¢ ．
【性质应用】
(1)如图②， D 是 V ABC 的边 BC 上的一点．若 BD = 3，DC = 4 ，则 SV ABD∶SV ADC =
__________；
(2)如图③，在 V ABC 中， D, E 分别是 BC 和 AB 边上的点．若 BE : AB = 1: 2 ，
∵ AC∥DE ，
∴ S△ DAC = _________（由问题 2 的结论得）
∴ S四边形ABCD = S△ ABC + S△ DAC = S△ ABC + _________，
即 S四边形ABCD = _________，
∵ M 是 BE 的中点，
∴ SV ABM = _________（由问题 1 的结论得）
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请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【题型 5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
【例 5】（23-24 八年级上·云南昆明·阶段练习）
17．如图， V ABC 中， AB = 8 ， AC = 10 ，点 D 是 BC 边上的中点，连接 AD ，若 V ACD 的
周长为 20，则 △ ABD 的周长是（
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【问题思考】
（1）如图 1， AD 是 V ABC 的中线，试判断： SV ABD _________ SV ACD （请填 “ > ”、“ < ”或
“ = ”）；
（2）如图 2， AD ∥ BC ，试判断： SV ABC _________ S△BCD （请填“ > ”、“ < ”或“ = ”）；
D．无法判断
【变式 3-1】（23-24 八年级上·江苏苏州·期中）
10．如图，三角形 ABC 的面积为
cm2 ．
【变式 3-2】（23-24 八年级·全国·竞赛）
11．图中每个小正方形的边长为 1，把从格点 O 到与它相邻的格点 A，B，C，D，E ，F，G，H
的直线运动形成的线段分别记为 1，2，3，4，5，6，7，8，如以点 O 为出发点，2 表示线段
间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直
角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形
15．在 V ABC 中，D 是 BC 边的中点， CE = 5 AE ，若 V ABC 的面积为 12，则 VCDE 的面积
为
．
【变式 4-3】（23-24 八年级下·江苏扬州·期中）
16．小孙和小悟同学在探究四边形 ABCD 内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到
了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
C．线段 CF 是 AC 边上的高
D．线段 BE 是 AC 边上的高
【变式 2-2】（23-24 八年级下·江苏徐州·期中）
7．如图，在每个小正方形边长为 1 的方格纸中， V ABC 的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现 V ABC 是（
）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.直角三角形或针角三角形
外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型 1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【例 1】（23-24 八年级下·湖南长沙·阶段练习）
1．如图，在 V ABC 中， ÐBAC = 90° ，是高， BE 是中线，是角平分线，交于点
G ，交 BE 于点 H ，给出以下结论：① BF = AF ；② ÐAFG = ÐAGF ；
A．16
）
B．18
C．20
D．22
【变式 5-1】（23-24 八年级上·重庆江津·期中）
18．如图，在 V ABC 中 ( AB > AC ) ， AD 是 V ABC 的中线， AE 是 V ACD 的中线．
(1)若 DE = 4 ，求 BC 的长；
(2)若 V ABC 的周长为 37， BC = 12 ，且 △ ABD 与 V ACD 的周长差为 3，求 AC 的长．
上．
(1)画出 V ABC 中边 BC 上的高 AD ：
(2)画出 V ABC 中边 AC 上的中线 BE ；
(3)求 V ABE 的面积．
【变式 2-1】（23-24 八年级下·江西萍乡·阶段练习）
6．如图，在 V ABC 中，下列关于高的说法正确的是（
）
A．线段 AD 是 AC 边上的高
B．线段 CF 是 BC 边上的高
∴ AM 平分 V ABE 的面积，即 AM 平分四边形 ABCD 的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图 4，小悟同学的辅助线：①连接对角线 AC
和 BD ；②取 BD 的中点 O ，③连接 OA 、 OC ；④过点 O 作 AC 的平行线与四边形 ABCD
的边 CD 交点于 P ，则直线 AP 则为所求直线．
【变式 5-2】（23-24 八年级下·福建泉州·期中）
19．如图，在 V ABC 中，是中线， AB = 10cm ， AC = 6cm ．
(1) △ ABD 与 V ACD 的周长差为_______cm．
(2)点 E 在边上，连接 ED ，若三角形 ABC 的周长被分成的两部分的差是 2cm，求线段
CD∶BC = 1∶，
3 SV ABC = 1 ，求 VBEC 和 VCDE 的面积．
【变式 4-1】（23-24 八年级下·江苏无锡·期中）
14．已知 V ABC 的面积等于 18， CE = DE，BD = 4 AD ，则 VBDE 与 △CEF 的面积和等于
（ ）
A．7
B．7.5
C．8
D．9
【变式 4-2】（23-24 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）
23．如图，在 V ABC 中，点 D 在边 AC 上， AD = 2 DC ，点 E 是 BC 的中点， AE 、 BD 相交
于点 O ，若 △ BOE 的面积为 3，则 △ AOD 的面积为
．
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（
）
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A． AB = 2 BF
B． ÐACB = 2ÐACE
C． AE = BE
D． CD ^ BE
【题型 2 画三角形的高、中线或角平分线】
【例 2】（23-24 八年级上·河南驻马店·阶段练习）
5．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为 1，点 A ，点 B ，点 C 在小正方形的顶点
Hale Waihona Puke 差为 2 ，则 AE =．
【题型 6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
【例 6】（23-24 八年级下·陕西·期中）
21．如图，在 V ABC 中，延长 CA 至点 F ，使得 AF = CA ，延长 AB 至点 D ，使得
BD = 2 AB ，延长 BC 至点 E ，使得 CE = 3CB ，连接 EF 、 FD 、 DE ，若 S△ ABC = 1 ，则为
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(2)仅利用无刻度的直尺画出 V ABC 的中线 AD 与角平分线 CE ；
(3) V ABC 的面积为______， △ ABD 的面积为_____．
【变式 2-3】（23-24 八年级上·江苏盐城·期末）
8．如图，在平面内有 A、B、C 三点．
画直线 AC 、线段 BC 、射线 BA ；画出 V ABC 的高 CD ，角平分线 BE ，中线 AF
AD = A¢D¢ ，则 V ABC 和 V A¢B¢C ¢ 是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 SV ABC，SV A¢B¢C ¢ 分别表示 V ABC 和 V A¢B¢C ¢ 的面积．
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则 SV ABC =
1
1
BC × AD，SV A¢B¢C ¢ = B¢C ¢ × A¢D¢ ，