矩形谐振腔电磁场的FDTD分析和Matlab仿真

矩形谐振腔电磁场的FDTD分析和Matlab仿真
摘要：目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。

这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。

而将Matlab作为一种仿真工具，用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者重心放在FDTD本身上，而不必在编程上花费过多的时间。

本课题通过用FDTD方法计算矩形谐振腔电磁场分布，并用Matlab 进行仿真。

关键词：时域有限差分法，Matlab仿真，矩形谐振腔
1.引言
时域有限差分法（Finite-Dfference Time-Domain Method）是求解电磁问题的一种数值技术，是在1966年由K.S.Yee第一次提出的。

FDTD法直接将有限差分式代替麦克斯韦时域场旋度方程中的微分式，得到关于场分量的有限差分式，用具有相同电参量的空间网格去模拟被研究体，选取合适的场始值和计算空间的边界条件，可以得到包括时间变量的麦克斯韦方程的四维数值解，通过傅里叶变换可求得三维空间的频域解。

时域有限差分法突出的优点是所需的存储量及计算时间与N成正比，使得很多复杂的电磁场计算问题成为可能，用时域有限差分法容易模拟各种复杂的结构，使得用其他方法不能解决的问题有了新的处理方法。

本文主要讨论如何用Matlab语言来编写FDTD的吸收边界条件以及编程时应注意的问题。

2时域有限差分法的基本理论
2.1 时域有限差分法的简介
1966年K.S.Yee首次提出了一种电磁场数值计算的新方法——时域有限差分（Finite-Dfference Time-Domain Method）方法。

对电磁场E、H分量在时间和空间上采取交替抽样的离散方式，每一个E（或H）场分量四周有四个H（或E）场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。

Yee提出的这种抽样方式后来被称为Yee元胞。

FDTD方法是求解麦克斯韦方程的直接时域方法。

在计算中将空间某一样本点的电场（或磁场）与周围格点的磁场（或电场）直接相关联，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。

同时FDTD的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化结果清楚的显示了物理过程，便于分析和设计。

2.2 FDTD数值计算的优势
FDTD算法，其空间节点采用Yee元胞的方法，电场和磁场节点空间与时间上都采用交错抽样，因而使得麦克斯韦旋度方程离散后构成显示差分方程，相比较宇前面的波动方程求解，计算等到大大简化。

由于FDTD采用吸收边界条件的
方法，使得计算可以在有限的空间范围内进行，这样就可以降低程序对计算机硬件的要求。

2.3 导数的差分近似
任意一连续的函数可以用离散点来取样，如果自变量的取样率足够高，则取样函数能很好的近似原函数。

这里离散函数近似于原连续函数的精度，也取决于取样率的高低。

然而，对精度影响的另一个因素是离散算子的选取。

通常，离散算子有多种选择，这里考虑微分算子。

在离散点取样的连续函数f(x)，在x 点的导数为：
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ （2.1）
因为x ∆是固定非零数，f(x)的导数可近似为：
()()
()f x x f x f x x
+∆-'≈∆ （2.2）
式（2.2）又称为前向差分。

很明显，使用后向点函数值()f x x -∆来取代前向点函数值()f x x +∆，可以得到另一种f(x)导数的近似表达式：
()()
()f x f x x f x x
--∆'≈∆ （2.3）
式（2.2）又称为后向差分。

同理，可以从前向差分式子与后向差分式子的平均得到中心差分式子：
()()
()2f x x f x x f x x +∆--∆'≈∆ （2.4）
三种近似表达式引入的误差，可以由泰勒级数展开分析。

式子()f x x +∆的泰勒级数为：
2
()()()()() (2)
x f x x f x xf x f x ∆'''+∆=+∆++ （2.5）
利用（2.5）式，有：
2
()()()()()()() (26)
f x x f x x x f x f x f x x +∆-∆∆''''''=---∆ （2.6）
从（2.6）式看出，前向差分的误差接近x ∆/2，且为一阶精度。

同理可得后向差分的误差也接近x ∆/2，也是一阶精度；而中心差分的误差为2()x ∆/6，是二阶精度。

由此可已看出，中心差分的误差要比前向差分和后向差分小。

所以，在用FDTD 分析矩形谐振腔的电磁场分布时，采用中心差分方式。

3. 麦克斯韦旋度方程的FDTD 差分形式
3.1 麦克斯韦旋度方程及本构关系
麦克斯韦方程组概括了宏观电磁场的基本规律，它由两个旋度方程和两个散度方程构成。

构造FDTD 算法的出发点是麦克斯韦时域方程。

D
H J t ∂∇⨯=+∂ (3.1a)
B
E M t
∂∇⨯=--∂ (3.1b)
e D ρ∇⋅= (3.1c) m B ρ∇⋅= (3.1d)
式中：E 为电场强度；D 电位移；H 磁场强度；B 磁通量密度；J 电流密度；M 磁流密度；e ρ电荷密度；m ρ磁荷密度。

本构关系对补充麦克斯韦方程和描述媒质特性是必要的，本构关系对线性、各向同性和非色散媒质可以写成：
D E ε= （3.1e ）
B H μ= （3.1b ）
式中：ε为媒质的介电常数；μ为媒质的磁导率。

3.2 FDTD 更新方程
3.2.1 Yee 元胞和离散空间各场分量位置
如前所述，电场和磁场分量可以在时间和空间中以离散点的方式取样。

FDTD 技术将三维问题的几何结构分解为单元，以构成相应的网格。

图 3.2.1所示由（x y z N N N ⨯⨯）个Yee 单元构成的网格。

使用矩形Yee 单元，以单元的大小作为分辨率，用阶跃或阶梯形式来近似表面和内部几何结构。

图3.2.1 Yee 元胞
在FDTD 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图3.2.2所示，节点为(i,j,k)的Yee 元胞方式中电场分量放置在Yee 单元各棱的中间，平行于各棱；磁场分量
放置在Yee单元各面的中心，平行于各面的法线。

图3.2.2 在标志为(i,j,k)的Yee单元方式中离散空间各场分量位置3.3二维问题的FDTD更新方程
运用K.S.Yee网格模型，利用中心差分代替微分，把连续变量离散化。

将电场进行规约化，得出二维空间的时域有限差分方程：
式中：n、i、j分别为时间步数、X、Y方向步数。

CD(i,j)、CA(i,j)的表达式为：
式中：∆t 为时间步长；∆s 为空间步长；0ε、0μ分别为介电常数和磁导率的初始值；ε(i,j), σ(i,j)为(i,j)节点处的介电常数和电导率。

4. FDTD 程序实现
本科题用Matlab 编程，对矩形谐振腔做电磁场数值计算，其程序运行的步骤为：
（1） 程序开始，输入基本参数，如矩形谐振腔的宽度、长度等。

在程序中宽度为ie=60,长度je=30,高度ke=10; （2） 进行网格构建，如设置时间步长为1，起始位1，结束为100；空间步长为is=26,js=13,kobs=5;
（3） 设置激励源；
（4） 用差分离散法并用超吸收边界条件，计算不同时刻的电场及磁场
值。

（5）
输出数据，进行绘图。

程序运行结果如下图所示：
i coordinate
Ez(i,j,k=5),time step=100
10i coordinate
Ez(i,j=13,k),time step=100
-1-0.50
0.5
1
-1
-0.5
0.5
1。