二次函数压轴题---动点问题解答方法技巧总结（含例解答案）

⼆次函数压轴题---动点问题解答⽅法技巧总结（含例解答案）
⼆次函数压轴题---动点问题解答⽅法技巧总结
⑴求⼆次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断⼆次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由⼆次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x 轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标. ⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本⾝就是所含字母x 的⼆次函数；下⾯以a ＞0时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的内在联系：
动点问题题型⽅法归纳总结
动态⼏何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好⼀般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊⾓、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）
动点问题⼀直是中考热点，近⼏年考查探究运动中的特殊性：等腰三⾓形、直⾓三⾓形、
相似三⾓形、平⾏四边形、梯形、特殊⾓或其三⾓函数、线段或⾯积的最值。

下⾯就此问题的常见题型作简单介绍，解题⽅法、关键给以点拨。

⼆、抛物线上动点
5、（湖北⼗堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三⾓形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第⼆象限抛物线上⼀动点，连接BE、CE，求四边形BOCE⾯积的最⼤值，并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三⾓形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆⼼CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆⼼MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问⽅法⼀，先写出⾯积函数关系式，再求最⼤值（涉及⼆次函数最值）；⽅法⼆，先求与BC平⾏且与抛物线相切点的坐标（涉及简单⼆元⼆次⽅程组），再求⾯积。

共同点：
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

⼆次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的⾯积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位
的速度沿⽔平⽅向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直⽅向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为⽌．求出四边形MDNA 的⾯积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出⾃变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的⾯积S 有最⼤值，并求出此最⼤值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三⾓形；
③探究动三⾓形问题（相似、等腰三⾓形、⾯积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；
设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠，
则16404208a b c a b c c ++=??
++=??=-?，，．解得168a b c =-??
=??=-?
，，．
所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．
过点N 作NH AD ⊥，垂⾜为H ．
当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．
根据中⼼对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平⾏四边形．所以2ADN S S =△．
所以，四边形MDNA 的⾯积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++．因为运动⾄点A 与点D 重合为⽌，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是2
4148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．
（3）781
444
S t ??=--+ ，
（04t <≤）．所以74t =
时，S 有最⼤值814
．提⽰：也可⽤顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA 是平⾏四边形，对⾓线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形
MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2222
OD ON OH NH ==+．
所以22
420t t +-=
．解之得1222t t =，（舍）
．所以在运动过程中四边形MDNA
可以形成矩形，此时2t ．
[点评]本题以⼆次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是⼀道较传统的压轴题，能⼒要求较⾼。