浙江省温州市十校联合体第一学期高三期末联考数学试题(文科)

浙江省温州市十校联合体2007-2008学年第一学期高三期末联考
数学试卷（文科）
第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{|A x = ||x ≤1}，{|2B x =-≤x ＜1
2
}，则A B = （ ） A 、{|2x -≤x ≤1} B 、{|1x -≤x ＜1
2
}
C 、{|2x -≤x ＜
12
}
D 、{|2x -≤x ＜1-}
2、已知等差数列{}n a 中，288a a +=，则该数列前9项和9S 等于 （ ）
A 、18
B 、27
C 、36
D 、45 3、函数)0(12<-=x x y 的反函数为
（ ）
A 、)1(1<-=x x y
B 、)1(1≤--=x x y
C 、)1(1<--=x x y
D 、)1(1≤-=x x y
4、将2sin()36x y π=+的图象按向量(4
a π
=- ，4）平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
A 、2sin()434x y π=++
B 、2sin()434x y π
=--
C 、2sin()4312x y π=-+
D 、2sin()4312
x y π
=+-
5、已知函数()f x 、()g x 定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()f x 、()g x 均为奇函数”是“()h x 为
偶函数”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 6、已知直线m 、n 及平面α，下列命题中的真命题是（ ） A 、若m n ⊥，m α⊥，则n ∥α B 、若m ∥n ，m α⊥，则n ∥α
C 、若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
D 、若m α⊥，n α⊥，则m ∥n
7、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率
是（ ）
A 、
1
3
B 、
14
C 、
16
D 、
112
8、在2
31(3)2n
x x
-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
9、函数|ln ||1|x y e x =--的图象大致是（ ）
10、椭圆22221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的离心率为12e =，右焦点为F （c ，0），方程2
0ax bx c +-=的两
个实根分别为1x ，2x ，则点12(,)P x x （ ） A 、必在圆222x y +=内 B 、必在圆222x y +=上 C 、必在圆222x y +=外
D 、以上三种情形都有可能
第II 卷（非选择题100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

把答案填在题目中横线上。

11、若(1a =
，)x ，b = （2x ，4 ），a ∥b ，则x 的值是 。

12、社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．
13、在0
120的二面角内，放一个半径为10cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么两切点在球面上的最短距
离是 。

14、双曲线
22
1x y m n
-=（m ＞0，n ＞0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为 。

15、如图，在面积为1的正111A B C ∆内作正222A B C ∆，使1221
2A A A B =
，
12212B B B C = ，12212C C C A =
，依此类推，在正222A B C ∆内再
2
1
1
第15题
作正333C B A ∆，……。

记正i i i C B A ∆的面积为
(1,2,,)i a i n = ，则a 1＋a 2＋……＋a n ＝
16、已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x π
π+
=-；且当(2x π∈-，2
π
）时，()sin f x x =，则不等式()f x ≤()6
f π
-
的解集为 。

17、古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，
火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，则排列中属性相克的两种物质不相邻的排列种数是 （用数字作答）.
三、解答题：本大题共5小题，共72分，写出文字说明，证明或演算步骤。

18、（本小题满分14分）
已知：A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量(1m =-
(cos n A =
，sinA ），且1m n ⋅= 。

（1）求角A 。

（2）若22123cos in sin B
B s B
+=--，求tan C 。

19、（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面截后所得的几何体，截面为ABC 。

已知11111A B B C ==，∠011190A B C =，14AA
=，12BB =，13CC = （I ）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C （II ）求AB 与平面A 1ACC 1所成角的大小。

20、（本小题满分14分）已知二次函数2
()32f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点（n ，n S ）（*n n ∈）均在函数()y f x =的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式。

A
C
1A 11
（2）设1
3
n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得n T ＜20m 对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 。

21、（本小题满分15分）如图，P 是抛物线C ：2
12
y x =上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q 。

（1）若直线l 与过点p 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的 轨迹方程。

（2）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点
T ，试求
||||
||||
ST ST SP SQ +的取值范围。

22、（本小题满分15分）
设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 与)(x f 的图像关于直线1x =对称，若
3)2()2()(---=x x a x g ．
⑴ 求)(x f 的解析式；
⑵ 当x=1时，)(x f 取得极值，证明：对任意)1,1(,21-∈x x ，不等式4|)()(|21<-x f x f 恒成立； ⑶ 若)(x f 是[1，+∞）上的单调函数，且当10≥x ，1)(0≥x f 时，有00)]([x x f f =， 求证：00)(x x f =
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数学试卷（文科）参考答案
1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．C 8．B 9．D 10．A
11. 12．25 13．
103 cm 14．316
15．31(1)23n - 16. 2(ππ-k ,]6π
π-k ()Z k ∈ 17.10
18.解：（1
）∵(1m =-，(cos ,sin )n A A =且1m n ⋅=，
∴cos 1A A -=…………………………（3分）
∴12(cos )12A A -
= 即1
sin()6
2
A π
-
=
……………………………………（5分） ∵ (0,)A π∈ ∴3
A π
=
………………………………………………（7分）
（2）由题意，得2
(sin cos )3(cos sin )(sin cos )
B B B B B B +=--+
∴
sin cos 3cos sin B B
B B +=--
即
1tan 31tan B
B
+=-- ∴tan 2B =………………………………………………10分 ∵tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
-==
∴8tan tan[()]tan()11
C A B A B π+=-+=-+=………………………………14分
19.解: （Ⅰ）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥， 因为O 是AB 的中点， 所以1111
()32
OD AA BB CC =
+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，
1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A
则OC ∥面111A B C ． ……………….7分
（Ⅱ）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，
1
1
2
C
因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ．
连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．
因为2BH =
，AB =
sin BH BAH AB ==∠ AB 与面11AAC C
所成的角为BAH =∠……………….14分 解法二：
（Ⅰ）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，，
1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，，，
易知，(001)n =
，，是平面111A B C 的一个法向量．
由0OC n = 且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥平面111A B C ．
……………….7分
（Ⅱ）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ．
求得1(004)A A = ，，，11(1
10)AC =- ，，． 设()m x y z = ，，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得0
0z x y =⎧⎨-=⎩
， 取1x y ==得：(110)m =
，，．
又因为(012)AB =--
，，
所以，cos m <
，m AB AB m AB
>==
sin θ=． 所以AB 与面11AAC C
所成的角为．……………….14分
20．解：（1）∵点(,)n n S 在()y f x = 的图象上
1x
∴232n S n n =-……………………2分 当n ≥2时，165n n n a S S n -=-=- 当n ＝1 时，11321a S ==-=满足上式
∴数列{}n a 的通项65n a n =-……………………7分 （2）133111
()(65)(61)26561
n n n b a a n n n n +=
==--+-+…………………………9分 ∴11111111[(1)()()](1)277136561261n T n n n =-+-++-=--++ ∵20
n m
T <对所有*n N ∈都成立（*m N ∈）
∴min
10m =………………………………14分
21．解：（1）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)M x y ，依题意10x ≠，10y >，20y >，
由已知可得 2
12
y x =
① 'y x ⇒=…………………………………………2分 ∴过点P 的切线的斜率k 切1x =，∵10x ≠， ∴直线l 的斜率11
11
k k x =-
=-切， ∴直线l 的方程为2111
11
()2y x x x x -
=-- ②…………………………………………4分 [解法一] 联立①②消去y ，得2
211
2
20x x x x +--=……………………………………5分 ∵M 是PQ 的中点，
∴120
12010111211()
2x x x x y x x x x +⎧==-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，消去1x ，得2
0002
011(0)2y x x x =++≠， ∴PQ 中点M 的轨迹方程为2
2
1
1(0)2y x x x =+
+≠……………………………………7分 [解法二]由21112y x =
，2221
2y x =，1202x x x +=，得 2212121212012111
()()()222
y y x x x x x x x x x -=-=+-=-…………………………5分
则12011211y y x k x x x -=
==--， ∴10
1
x x =-，
将上式代入②并整理，得，2
0002
1
1(0)2y x x x =++≠ ∴PQ 中点M 的轨迹方程为2
21
1(0)2y x x x
=+
+≠……………………………………7分 （2）设直线:l y kx b =+，依题意0,0k b ≠≠，则(0,)T b 。

分别过P 、Q 作'PP x ⊥轴，'QQ y ⊥轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则
=+||||||||SQ ST SP ST |
||
|||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +
='+'。

由212y x y kx b
⎧
=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得2222()0y k b y b -++= ③…………………………11分 [解法一] ∴
=+||||||||SQ ST SP ST ||b 1211
()y y +≥2||b 2
11
y y =2||b 21b 2=。

∵y 1、y 2可取一切不相等的正数， ∴
|
||
|||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）.…………………………………………………15分 [解法二]∴|||
|||||SQ ST SP ST +=||b 2121y y y y +=||b 2
2)(2b b k +。

当b ＞0时，|||
|||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=222k b +＞2； 当b ＜0时，|||
|||||SQ ST SP ST +b =-2
2)(2b
b k +22()k b b +=-。

又由方程③有两个相异实根，得△22222
4()44(2)0k b b k k b =+-=+>， 于是2
20k b +>，即2
2k b >-。

∴
|
|||||||SQ ST SP ST +
2(2)
2b b b -+>=-。

∵当0b >时，b
k 2
2可取一切正数，
∴
|
||
|||||SQ ST SP ST +
的取值范围是（2，+∞）. ∴|
||
|||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）…………………………………………15分
22．（本小题满分15分）
解：（1） ()f x 与()g x 的图象关于1x =对称，
设点(,())M x f x 是()f x 上的任意一点．则点M 关于1x =的对称点(2,(2))x g x --在函数()g x 的图象上．∴()f x =(2)g x -3
ax x =-+． ……………………… (3分) （2）'()f x =2
3a x -+，又1x =是函数()f x 的一个极值点， ∴'(1)030f a =⇒-+=，得3a =， ……………………… (4分)
故3(x)3f x x =-+．'2()333(1)(1)f x x x x =-+=-+-，当]1,1x ⎡∈-⎣
，'
()0f x ≤， ∴()f x 在]1,1⎡-⎣上是减函数． ……………………… (5分)
min
()(1)2f
x f ==-，max
(x)(1)2f
f =-=， ……………………… (7分)
故对任意)(
12,1,1x x ∈-，有12()()2(2)4f x f x -<--=． ………………… (8分)
（3）若()f x 在[1,)+∞是减函数，则'2
(x)30f a x =-+<在[1,)+∞上恒成立．
即2
3a x ≥在[1,)+∞上恒成立，此时a 不存在； ……………………… (9分)
若()f x 在[1,)+∞是增函数，即2
3a x ≤在[1,)+∞上恒成立．故3a ≤． … (11分)
设00()1f x x >≥则[]00()()f f x f x >，∴00()x f x >矛盾， …………… (13分) 若00()1x f x >≥则[]00()()f x f f x > ∴00()f x x >矛盾！
故00()f x x =． ………… (15分)。