2024届四川省成都市盐道街中学数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

2024届四川省成都市盐道街中学数学九年级第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分) 1．下列事件中是必然事件的是（ ） A ．﹣a 是负数
B ．两个相似图形是位似图形
C ．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D ．平移后的图形与原来的图形对应线段相等 2．关于x 的一元二次方程()2
a 1x 2x 30--+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
3．若
32
x y
=，则下列等式一定成立的是（ ） A ．32x y =
B ．6xy =
C ．
23
x y = D ．
23
y x = 4．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A ．49
B ．13
C ．
16
D ．19
5．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）
A ．1.5
B ．1.4
C ．1.3
D ．1.2
6．如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（1
4
，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个
动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）
A．
1
4
-≤b≤1 B．
5
4
-≤b≤1 C．
9
4
-≤b≤
1
2
D．
9
4
-≤b≤1
9．如图，太阳在A时测得某树（垂直于地面）的影长ED＝2米，B时又测得该树的影长CD＝8米，若两次日照的光线PE⊥PC交于点P，则树的高度为PD为（）
A．3米B．4米C．4.2米D．4.8米
10．一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（ ） A ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5 B ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5 C ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6 D ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6 二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点A 是双曲线y ＝﹣9
x
在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰△ABC ，且∠ACB ＝120°，点C 在第一象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝
k
x
上运动，则k 的值为_____．
12．某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32
t 2
，这架飞机着陆后滑行最后150m 所用的时间是_______s ．
13．点P （3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是_____．
14．关于x 的一元二次方程2340x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________． 15．若2是一元二次方程x 2+mx ﹣4m ＝0的一个根，则另一个根是_________．
16．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S 甲2＝6.5分2，乙同学成绩的方差S
乙
2
＝3.1分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是____（填“甲”或“乙”）．
17．已知1是一元二次方程2
30x x p -+=的一个根，则p=_______.
18．如图△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC=3
5
，则BC 的长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）二次函数2
y x bx =+上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表： x
…
1-
1
2
- 0 1 2 3 …
y (3)
54
1-
0 m …
（1）直接写出此二次函数的对称轴 ； （2）求b 的值；
（3）直接写出表中的m 值，m = ；
（4）在平面直角坐标系xOy 中，画出此二次函数的图象．
20．（6分）某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a 的值为 ；
（2）求C 等级对应扇形的圆心角的度数；
（3）获得A 等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法
或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．
21．（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：
x
... 1-
1 2 3
... y
...
3 4
3
...
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图像，直接写出当23x -<<时，y 的取值范围．
22．（8分）某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇（转盘等分成16份）.
（1）甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？ （2）乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？ （3）他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少？ 23．（8分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y
x 的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α
∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点
（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式 （2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标
（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标
24．（8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y （件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
25．（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ．过点D 作EF ⊥AC ，垂足为E ，且交AB 的延长线于点F ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）已知AB ＝4，AE ＝1．求BF 的长．
26．（10分）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3m ，标杆与旗杆的水平
距离BD ＝15m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2m ，求旗杆AB 的高度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、D
【解题分析】分析: 根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案． 详解: A. −a 是非正数，是随机事件，故A 错误； B. 两个相似图形是位似图形是随机事件，故B 错误；
C. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，故C 错误；
D. 平移后的图形与原来对应线段相等是必然事件，故D 正确； 故选D.
点睛：考查随机事件，解决本题的关键是正确理解随机事件，不可能事件，必然事件的概念. 2、C
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.
【题目详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2
a 1x 2x 30--+=有实数根，
∴()a 1
a 10
{{4412a 10a 3
≠-≠⇒∆=--≥≤
.
即a 的取值范围是4
a 3
≤
且a 1≠. ∴整数a 的最大值为0. 故选C. 【题目点拨】
本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键. 3、D
【分析】根据比例的性质
a c
b d
=，则ad=bc ，逐个判断可得答案． 【题目详解】解：由
32
x y
=可得：2x=3y A. 32x y =，此选项不符合题意 B. 6xy =，此选项不符合题意
C.
2
3
x y =，则3x=2y ，此选项不符合题意 D.
2
3
y x =，则2x=3y ，正确 故选：D 【题目点拨】
本题考查比例的性质，解题关键在于掌握a c
b d
=，则ad=bc. 4、D
【解题分析】试题分析：列表如下
由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是1
9
．故答案选D ． 考点：用列表法求概率． 5、B
【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．
【题目详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝3.6﹣2.2＝1.1．
故选：B．
【题目点拨】
该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．
6、A
【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.
【题目详解】从物体正面观察可得，
左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.
故答案为A.
【题目点拨】
本题考查三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7、B
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍.
【题目详解】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE=S△AGE=1
3
S△ACF，S△BGF=S△BGD=
1
3
S△BCF，
∵S△ACF=S△BCF=1
2S△ABC
=
1
2
×12=6，
∴S△CGE=1
3
S△ACF=
1
3
×6=2，S△BGF=
1
3
S△BCF=
1
3
×6=2，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=1．
故选：B.
【题目点拨】
此题主要考查根据三角形中线性质求解面积，熟练掌握，即可解题.
8、B
【分析】延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出PB PA
NA NC
，设PA＝x，则
NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，代入整理得到y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣3
2
）2+
9
4
，根据二次函数的性质以及
1
4
≤x≤3，求
出y 的最大与最小值，进而求出b 的取值范围．
【题目详解】解：如图，延长NM 交y 轴于P 点，则MN ⊥y 轴．连接CN ． 在△PAB 与△NCA 中，
9090APB CNA PAB NCA CAN
∠∠︒
⎧⎨
∠∠︒-∠⎩＝＝＝＝ ， ∴△PAB ∽△NCA ， ∴
PB PA
NA NC =， 设PA ＝x ，则NA ＝PN ﹣PA ＝3﹣x ，设PB ＝y ， ∴
31
y x x =-， ∴y ＝3x ﹣x 2＝﹣（x ﹣32
）2+94，
∵﹣1＜0，1
4
≤x≤3， ∴x ＝
3
2
时，y 有最大值94，此时b ＝1﹣94＝﹣54，
x ＝3时，y 有最小值0，此时b ＝1， ∴b 的取值范围是﹣5
4
≤b≤1． 故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键． 9、B
【分析】根据题意求出△PDE 和△FDP 相似，根据相似三角形对应边成比例可得PD DC ＝DE
FD
，然后代入数据进行计算即可得解．
【题目详解】∵PE ⊥PC ，
∴∠E +∠C ＝90°，∠E +∠EPD ＝90°， ∴∠EPD ＝∠C ，
又∵∠PDE ＝∠FDP ＝90°，
∴△PDE∽△FDP，
∴PD
DC
＝
DE
FD
，
由题意得，DE＝2，DC＝8，
∴PD
8
＝
2
PD
，
解得PD＝4，
即这颗树的高度为4米．
故选：B．
【题目点拨】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．10、D
【分析】事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，据此进行判断即可．
【题目详解】解：A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5，属于随机事件，不合题意；B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5，属于随机事件，不合题意；
C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6，属于随机事件，不合题意；
D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6，属于不可能事件，符合题意；
故选：D．
【题目点拨】
本题考查的知识点是不可能事件的定义，比较基础，易于掌握．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出AD OD OA
EO CE OC
==，即可得出k=EC×EO=1．
【题目详解】解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=10°，
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴AD OD OA EO CE OC == =tan60°=3 ， ∴AOD EOC S S ∆∆=()2
3 =1， ∵点A 是双曲线y=-9x
在第二象限分支上的一个动点， ∴S △AOD =12×|xy|=92
， ∴S △EOC =
32 ，即12×OE×CE=32， ∴k=OE×CE=1，
故答案为1．
【题目点拨】
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD ∽△OCE 是解题关键．
12、1
【解题分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y 取得最大值时，t 也取得最大值，求得t 的取值范围，然后解方程即可得到结论．
【题目详解】当y 取得最大值时，飞机停下来，
则y=60t-32t 2=-32
（t-20）2+600， 此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t 的取值范围是0≤t≤20；
即当y=600-150=450时，
即60t-32
t 2=450， 解得：t=1，t=30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m 所用的时间是20-1=1，
故答案是：1．
【题目点拨】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13、（﹣3，4）．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．填空即可．
【题目详解】解：点P （3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4），
故答案为（﹣3，4）．
【题目点拨】
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14、43
k < 【分析】根据根的判别式即可求出答案；
【题目详解】解：由题意可知：224(4)4316120b ac k k =-=--⨯⨯=-> 解得：43
k < 故答案为：43k <
【题目点拨】
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式并应用．
15、-4
【分析】将x=2代入方程求出m 的值，再解一元二次方程求出方程的另一个根．
【题目详解】解：将x=2代入方程得，4240m m +-=，解得，2m =
∴一元二次方程为2280x x +-=
解方程得：122,4x x ==-
∴方程得另一个根为-4
故答案为：-4 ．
【题目点拨】
本题考查的知识点是解一元二次方程，属于基础题目，比较容易掌握．
16、乙
【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．
【题目详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S 甲2 ＞S 乙2，
所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．
故答案为：乙．
【题目点拨】
本题考查方差的性质，方差越小数据越稳定．
17、2
【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将1x =代入方程230x
x p -+=中，即可得到关于p 的方程，解方程即可得到答案．
【题目详解】解：∵1是一元二次方程230x
x p -+=的一个根
∴21310p -⨯+= ∴2p =
故答案是：2
【题目点拨】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18、4 【解题分析】试题解析：∵3cos 5
BDC ∠=，
可 ∴设DC =3x ，BD =5x ，
又∵MN 是线段AB 的垂直平分线，
∴AD =DB =5x ，
又∵AC =8cm ，
∴3x +5x =8，
解得，x =1，
在Rt △BDC 中，CD =3cm ，DB =5cm ，
4.BC ===
故答案为:4cm.
三、解答题(共66分)
19、（1）对称轴x =1；（2）b=-2；（2）m=2；（4）见解析
【分析】（1）根据图表直接写出此二次函数的对称轴即可；
（2）图象经过点（1,-1），代入求b 的值即可；
（2）由题意将x=2代入解析式得到并直接写出表中的m 值；
（4）由题意采用描点法画出图像即可.
【题目详解】解：（1）观察图像直接写出此二次函数的对称轴x=1．
（2）∵二次函数2
y x bx =+的图象经过点（1,-1），
∴2b =-．
（2）将x=2代入解析式得m=2．
（4）如图．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质分析是解此题的关键．
20、（1）8 ；（2）144︒；（3）12
【分析】（1）根据D 等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B 等级的百分比即可得a 的值；
（2）用C 等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数； （3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可
【题目详解】解：（1）班级总人数为1230%40÷= 人，B 等级的人数为4020%8⨯= 人，故a 的值为8； （2）16360144?40
⨯︒=︒ ∴C 等级对应扇形的圆心角的度数为144︒．
（3）画树状图如图：(画图正确）
由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．
∴P （一男一女）61122
==
答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为12
． 【题目点拨】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 的概率为m n
．也考查了统计图． 21、（1）2(1)4y x =--+或2y x 2x 3=-++；（2）画图见解析；（3）54y -<≤.
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y=a （x-1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a 即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据x=2-、3时的函数值即可写出y 的取值范围．
【题目详解】解：根据题意可知, 二次函数的顶点坐标为（1，4），
∴设二次函数的解析式为：2
(1)4y a x =-+，
把(0,3)代入得：1a =-；
∴2(1)4y x =--+；
∴解析式为：2(1)4y x =--+或2y x 2x 3=-++. （2）如图所示：
（3）当2x =-时，2
(21)45y =---+=-；
当3x =时，2(31)40y =--+=；
∵抛物线的对称轴为：1x =，
此时y 有最大值4；
∴当23x -<<时，y 的取值范围为：54y -<≤.
【题目点拨】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
22、（1）因为规定顾客消费100元以上才能获得一次转动转盘的机会，所以甲顾客消费80元，不能获得转动转盘的机会；（2）516；（3）P （九折）18=； P （八折）= 116
= P （七折）= P （五折） ． 【分析】（1）根据顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会可知，消费80元达不到抽奖的条件；
（2）根据题意乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会．根据概率的计算方法，可得答案；
（3）根据概率的计算方法，可得九折，八折，七折，五折待遇的概率．
【题目详解】（1）因为规定顾客消费100元以上才能获得一次转动转盘的机会，所以甲顾客消费80元，不能获得转动转盘的机会；
（2）乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会．
由于转盘被均分成16份，其中打折的占5份，所以P （打折）=
516. （3）九折占2份，P （九折）= 216=18
； 八折、七折、五折各占1份，P （八折）=
116， P （七折）=116， P （五折）=116 ． 【题目点拨】
本题考查概率的求法；关键是列齐所有的可能情况及符合条件的情况数目．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）2y x =+；（2）4,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()
；（3）(1,2)-，(2,2)-，(12)-，(12)- 【分析】（1）根据题意易得点M 、P 的坐标，利用待定系数法来求直线AB 的解析式；
（2）分:2:3AP PB =和:3:2AP PB =两种情况根据点A 、点B 在直线y=x+2上列式求解即可；
（3）分45QBP ∠=︒和45BQP ∠=︒两种情况，利用相似三角形的性质列式求解即可.
【题目详解】（1）如图①，设直线AB 与x 轴的交点为M ．
∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M （-2，0）．
设直线AB 的解析式为y=kx+b （k≠0），将M （-2，0），P （0，2）两点坐标代入，得 0(202)k b k b ⨯+⨯-⎩
+⎧⎨＝＝， 解得，12
k b ⎧⎨⎩＝＝． 故直线AB 的解析式为y=x+2；
（2）①:2:3AP PB =
设()22,4A a a -()2
3,9B a a （a ＞0） ∵点A 、点B 在直线y=x+2上和抛物线y=x 2的图象上，
∴2422a a =-+，2932a a =+ ∴24212a a
-=-，292=13a a - ∴22429223a a a a
--=- 解得，13a =23a = 23433A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭
②:3:2AP PB =
设()23,9A a a -()2
2,4B a a （a ＞0） ∵点A 、点B 在直线y=x+2上和抛物线y=x 2的图象上，
∴2932a a =-+，2422a a =+ ∴29213a a -=-，242=12a a
- ∴22924232a a a a
--=- 解得：133a =，233a =-（舍去） (3,3)A ∴-
综上234,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()
3,3- （3）45MPA ∠=︒，45QPB ∠≠︒ (1,1)A -，(2,4)B
①45QBP ∠=︒
此时B ，Q 关于y 轴对称，PBQ ∆为等腰直角三角形 1(1,2)M ∴-2(2,2)M -
②45BQP ∠=︒
此时()2,4Q -满足，左侧还有Q '也满足
BQP BQ P '∠=∠ Q '∴，B ，P ，Q 四点共圆，易得圆心为BQ 中点()0,4D 设()2,Q x x '，()0x <
∵Q D BD '= ()2222(0)42x x ∴-+-=
()()22430x x --= 0x <且不与Q 重合
x ∴=
(Q '∴，2Q P '= 2Q P DQ DP ''=== DPQ '∴∆为正三角形，
160302
PBQ '∠=⨯=︒︒
过P 作PE BQ '⊥，则PE Q E '==BE =
Q B '∴=∵Q PB PMA '∆∆ ∴PQ Q B PA PM
''=
=
解得，1PM =
∴(12)M -- ∵Q PB
PMA '∆∆ ∴PQ Q B PM PA
''=
∴2
PM =
解得，1PM =
∴(12)M
综上所述，满足条件的点M 的坐标为：(1,2)-，(2,2)-，(12)-，(12)-.
【题目点拨】
本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，方程思想，难度比较大．另外，解答（2）、（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．
24、 (1)
180y x =-+；(2) 每件商品的销售价应定为130元或150元；(3)售价定为140元/件时，每天最大利润1600W =元．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“每件利润×销售量=总利润”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
【题目详解】(1)设y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，
由所给函数图象可知：
1305015030k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩
． 故y 与x 的函数关系式为180y x =-+；
(2)根据题意，得：()()1001801500x x --+=，
整理，得：2280195000x x -+=，
解得：130x =或150x =，
答：每件商品的销售价应定为130元或150元；
(3)∵180y x =-+，
∴()()()100100180W x y x x =-=--+
228018000x x =-+- 2(140)1600x =--+，
∴当140x =时，1600W =最大，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润1600W =元．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
25、（1）证明见解析；（2）2.
【解题分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【题目详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝1，
∴，
∴BF＝2．
【题目点拨】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌
握本题的辅助线的作法是解题的关键．
26、13.5m
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，
其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出CG EG
AH EH
=，把相关条件代入即可
求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【题目详解】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB
∴△CGE∽△AHE
∴CG EG AH EH
=
即：CD EF FD AH FD BD
-
=
+
∴3 1.62
215 AH
-
=
+
∴AH＝11.9
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
【题目点拨】
此题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键.。