重庆市巴蜀中学高2015级高一上期末考试(数学)

重庆市巴蜀中学高2015级高一上期末考试
数学试题
一、 选择题( 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知{}6,5,4,3,2=U ，{}5,4,3=M ，{}6,5,4,2=N ，则 （ ） A ．{}6,4=N M B ．U N M = C ．()U M N C U = D ．()N N M C U =
2、半径为cm 3的圆中，有一条弧AB 长度为
cm 2
π
，则此弧AB 所对的圆心角为 （ ）
Ａ．30 B ．15 C ．40 D ．20
3、三个实数︒
=23sin a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（ ）
Ａ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a << 4、若角α的终边上有一点())0(,2,>m m m P ，则a sin 的值是（ ）
A ． 2
B ．552-
C ．552±
D ．5
5
2 5、给定映射f ：(x ，y )→(x +2y ，2x -y )，在映射f 下(4，3)的原象为（ ） A. (2，1)
B. (4，3)
C. (3，4)
D. (10，5)
6、“α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos2α＝1
2”的( )
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条
7、已知函数()x x x f ωωcos sin +=，如果存在实数1x ，且对任意实数
x ，都有
()()()201311+≤≤x f x f x f 成立，则正数ω的最小值为 ()
A ．
2013
π
B ．
20131 C ．40261 D ．4026
π
8、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A. [1,2]
B.(,2][5,)-∞-+∞
C.(,1][4,)-∞-+∞
D.(,1][2,)-∞+∞
9、在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan =+，给出以下四个结论： ①
1tan tan =B
A
②2sin sin 1≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+ 其中正确的是 ()
A ． ①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
10、函数()x f 的定义域为D ，若满足：①()x f 在D 内是单调函数；②存在[]D b a ⊆,使
得()x f 在[]b a ,的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
,2b a ，则称函数()x f 为成功函数，若函数()()
t c x f x
c +=log ，
()1,0≠>c c 是成功函数，则t 的取值范围是()
A ．()+∞,0
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0
D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,41
二、填空题( 本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卷相应的位置上) 11、sin 600︒=_____________ 12、函数1
2--=x x
y 的定义域是
13、若cos(
)6
π
α-=
25cos()sin ()66
ππαα+--=_____________ 14、定义在R 上的奇函数()x f ，当()+∞∈,0x 时，()x f 为减函数，且()02=f ，则不等式()()01>-x f x 的解集为 ；
15、设a 为实数，则函数()()a x a x x x f -⋅-+=2
2的最小值是
三、 解答题 ( 本大题共6小题，共75分。

解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上) 16、(本小题13分)
（1）求值：3
log 130
3
122
50lg 2lg 125)3
2(64+++++--
（2）化简:
()()
ααπαπ-⎪
⎭⎫
⎝⎛-++sin 2cos sin 3
17.(本小题满分13分)已知函数)34lg(2-+-=x x y 的定义域为M ，求函数
424)(3+-=+x x x f （M x ∈）的值域；
18、(本小题13分)已知02
π
αβπ<<<<，3sin 5α=
，4
sin 5
β=． ⑴求sin()αβ-的值； ⑵求tan(2)αβ-的值．
19、（本小题12分） 已知函数)(x f 的定义域是()+∞,0，且)()()(y f x f xy f +=.当x >1时，0)(>x f .
(I)求)1(f 的值;
(II)判断并证明)(x f 在定义域上的单调性; (III)若1)31
(-=f ，求满足不等式2)2
1
()(≥--x f x f 的x 的取值范围.
20、（本小题12分）函数()()sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
在它的某一个周期内的单调减区间是
511,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （1）求()f x 的解析式；
（2）将()y f x =的图象先向右平移6
π
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的
12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
21、（本小题12分）已知函数15)1(2)(2
2+++-=x k k x x f ，k x k x g -=2)(，其中
R k ∈。

（1）设)()()(x g x f x p +=，若0)(=x p 在)4,1(上有解，求实数k 的取值范围；
（2）设函数⎩
⎨⎧<≥=0)(0)()(x x f x x g x q 是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在唯一
的非零实数2x ()12x x ≠，使得()12)(x q x q =？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

重庆市巴蜀中学高2015级高一上期末考试
数学试题参考解答
一、 选择题:BACDA BACDC
10、解：无论10<<c 还是1>c ，()()t c x f x c +=log 都是R 上的增函数，故应有()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==22b b f a a f ，
则问题可转化为求()2
x x f =即()
2log x
t c x c =+即2
x x c t c =+在R 上有两个不同的实数根
的问题，令m c x =2()0>m ，则2
x x
c t c =+可化为2m m t -=，问题进一步转换为求函数
t y =与2m m y -=的图像有两个交点的问题，结合图像可得⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈41,0t
二、 填空题:()2
3
11-
()()(]2,11,12 ∞-∈x 、 ()33213+-、 ()()()212,0-14，、
()()()
()⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,3
20,2152
2min
a a a a x f 、 解：当a x ≥时，()2
223a ax x x f +-=，()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩
⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=0,320,20,30,22min a a a a a a f a a f x f
当0≤a 时，()2
2a ax x x f -+=，()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=⎩⎨⎧<≥-=0
,20
,20,0,2
2
min
a a a a a a f a a f x f 综上所述：()⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,3
20
,222min
a a a a x f
三、 解答题 16、（本小题满分13分） 解：（1）原式=()
()
3log 3
133
1
3222)502lg(5
14
⨯+⨯++-
322514⨯+++-= 16=
（2）原式2sin sin sin 3=-+-=α
αα
17、解：由3103403422<<⇒<+-⇒>-+-x x x x x 即{}
31<<=x x M 又428)2()(2+⨯-=x
x x f
令x
t 2=，()3,1∈x )8,2(∈∴t
)8,2(48)()(2∈+-==t t t t g x f
则)8,2(12
)4(48)(2
2
∈--=+-=t t t t t g
12)4()(min -==∴g x f ，又4)8(=g
故函数)(x f 的值域为[)4,12- 18、解：⑴由02π
α<<
，3sin 5α=
，得4cos 5
α=，
由2πβπ<<，4sin 5β=，得3cos 5
β=-， 故sin()sin cos cos sin 1αβαβαβ-=-=-；
⑵由⑴得3tan 4α=，4
tan 3β=-，
故2
2tan 24
tan 21tan 7
ααα==-， tan 2tan 4
tan(2)1tan 2tan 3αβαβαβ--=
=-+.
19、解：（1）
()()()f xy f x f y =+
设1x y ==,则(11)(1)(1)2(1)f f f f +=+=.(1)0f ∴=. （II ）设()12,0,x x ∈+∞且12x x <,则
2
1
1x x >. 由已知当x ＞1时，()f x ＞0,所以2
211
11
()()()f x f x f x x =+＞0. 21
1
()()f x f x ∴>-.
又设1y x =
，则11
()()()(1)f x f x f f x x =+=＝0, 1
()()f x f x
∴=-.21()()f x f x ∴>.
因此函数()f x 在定义域上是增函数 （III ）由上1()()f x f x =-得：1
(
)(2)2
f f x x -=-- ()1
()(
)()(2)[2]22f x f f x f x f x x x ∴-=+-=--… 又11
(3)(3)()33f f f ⨯=+,(3)1f ∴=
(33)(3)(3)(9)f f f f ⨯=+=,(9)2f ∴=.
则有()[2]2(9)f x x f -=≥
又因为函数f (x )在(0，+∞)上是增函数
∴0
102(2)9
x
x x x >⎧⎪⎪>⎨-⎪-⎪⎩≥，解得1x +≥
20、解：（1）由条件，
115212122
T πππ
=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 又5sin(2)1,12πϕ⨯
+=∴3πϕ=- ∴()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π
=-
（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin(2)3
x π
-， 再将图象上所 有点的
横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得 2()sin(4)3
g x x π
=-
而325[,],488636
x x πππππ∈∴-≤-≤
∴函数()g x 在3[,]88
ππ
上的最大值为1，最小值为12-
21.（本小题满分12分）
解：k x k x k x k x k k x x p -++-=-++++-=15)1(215)1(2)(2
222 由题意知方程015)1(22
=-++-k x k x 在()4,1有实数根，
即k x x x )1(1522
+=+-在()4,1有实数根， ┈┈┈┈1分
()4,1∈x ，)5,2(1∈+∴x ，则 ┈┈┈┈2分
5])
1(9)1[(2)1(18)1(5)1(2)1(15222-+++=+++-+=++-=x x x x x x x x k ┈┈┈┈4分
令)5,2(1∈+=x t ，则)5,2(9
∈+
=t t
t y 由重要函数单调性知
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈534,6y ，则⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈543,7k ，故实数的取值范围为⎪⎭⎫
⎢⎣⎡543,7┈┈┈┈6分
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+++-≥-=)
0(15)1(2)0()(2
22
x x k k x x k
x k x q 假设存在满足条件的k 值，依题意知0=k 不合题意，所以0≠k
当0≥x 时，k x k x q -=2
)(，则),[)(∞+-∈k x q ┈┈┈┈7分
当0<x 时，15)1(2)(2
2+++-=x k k x x q ，则),15()(∞+∈x q 记),[∞+-=k A ,),15(∞+=B ┈┈┈┈8分
①当01>x 时，)(x q 在),0(∞+上单调递增，所以要使)()(12x q x q =成立，只能02<x 且
B A ⊆,因此有1515-≤⇒≥-k k ┈┈┈┈9分
②当01<x 时，)(x q 在)0,(-∞上单调递减，所以要使)()(12x q x q =成立，只能02>x 且
A B ⊆,因此有1515-≥⇒≤-k k ┈┈┈┈10分
综合①②可得15-=k ┈┈┈┈11分
又当15-=k 时B A =,则对于所有的01<x ，A B x q =∈)(1，即存在02>x 使得
)()(12x q x q =成立，又)(x q 在),0(∞+上单调递增，所以2x 的值是唯一的。

同理，任意
01>x 时，存在唯一的2x 。

故15-=k 时，满足题意。

┈┈┈┈12分。