(完整)2.2 圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)


注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
x  3t 已知曲线C的参数方y程 是2t2 1
(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
y

2

sin
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）
（1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2 1s3in(θ +ψ).
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 13。
x  5 cos
 
y

5
sin

(0≤ ＜2 )

5 2
,
5
3 2

⑴如果圆上点P所对应的参数  5 ，则点P的坐标是
3

2
如果圆上点Q所对应的坐标是
2
 

5 2
,
5
3 2
 
,
则点Q对应
的参数等于 3
  2.选择题：参数方程
  
x y
变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几
何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲 线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
观察1
思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程？
如果点P的坐标为(x, y),圆半径为r, P0OP
5
  ,根据三角函数定义,点P的横坐标x、
(2){x  a cos4  (为参数) y  a sin4 
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得:
y P M
点P的坐标为(2x-12,2y)
O
Ax
∵点P在圆x2+y2=16上
∴(2x-12)2+(2y)2=16
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以
看作由圆心为原点O、半径为r的圆 5
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
(a,b)
O1
P(x,y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的, 由平移公式, 有
v(a,b)
r P1(x1, y1)
x  x1  a
 
y

y1
b
-5
o
5
又
xy11
第二讲 参数方程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐
标x 、y都是某个变数t的函数，即 x  f (t)
 
y

g (t )
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这 条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参
y
解:设M的坐标为(x,y),圆x2+y2=16 P
的参数方程为 x =4cosθ y =4sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
A, B,C的坐标分别为(1,0),( 1 , 3 ),( 1 , 3 ) 22 2 2
设点M (cos ,sin )则
MA 2  MB 2  MC 2  [(cos 1)2  sin2  ] 
[(cos  1 )2  (sin  3 )2 ]  [(cos  1 )2 
x  2  3t, y 1  4t,
于是点M的轨迹的参数方程为
x {

2

wenku.baidu.com3t
(以时间t为参数)
y  1 4t
y B
O C
Ax
3、解：不妨设ABC的外接圆的半径为1，建立 如图的平面直角坐标系，时点B, C关于x轴对称
那么外接圆的参数方程是{x  cos (为参数) y  sin
 
2 cos 2 sin
(
为参数)表示的曲线是
A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
C.不是圆
D.以上都有可能
3、填空题:
(1)参数方程xy
 
2  cos 2  sin
表示圆心为（2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为 x  22  y  22  1
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
s2in（θ +
）
4
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 - 2 。
(3)
3  cos  2  sin 1 4 
d

2 sin(   )
4
2
2
显然当sin（θ+

4）=
1时，d取最大值，最
小值，分别为 1 2 2 ，2 2 1 。
纵坐标y都是的函数,即
x  r cos ① y  r sin 
P(x,y)
r
o
p0
-5
5
并且对于  的每一个允许值,由方程组①
所确定的点P(x,y),都在圆O上.
-5
我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的
参数方程， 是参数.
思考2 :圆心为O1(a,b)、半径为r的圆的标准方程 观察2 为(x  a)2  ( y  b)2  r 2 , 那么参数方程是什么呢?
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，
用参数方程表示为 x  3  cos
 
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x  1 cos
 
y

3

sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
例4、将下列参数方程化为普通方程：
x  2  3cos
(1)
 
y

3sin
x  sin
(2)
 
y

cos2
x=t+1/t
步骤：（1）消参；
(3)
y=t2+1/t2
（2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
2
2
2
(sin  3 )2 ]  6
2
4、解;(1)2x  y  7  0,直线； （2）y  2x2, x [1,1],以(1,2),(1,2)为端点的
一段抛物线； （3）x2  y2  4,双曲线；
5、(1){x  t 2  3t 1(t为参数) y  t 1
( 2 ) 把圆方程 x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 化为参数方程为
x  1 2 cos
 
y

2

2
sin

观察3
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问 题（代入法）； ⑵参数法；⑶定义法 5、求最值
x  100 t 1、{y  h  1 gt2 (t为参数，表示时间 )
2
2、设经过时间t，动点的位置是M (x, y),则
 
r r
cos sin
x  a  r cos 所以 y  b  r sin 
-5
（3）参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x  r cos y  r sin
(x  a)2  ( y  b)2  r 2
x  a  r cos
 
y

b

r
sin