最新-2018届高三理科数学4月份高考模拟卷及答案【山东

山东省聊城市2018 年 高 考 模 拟 试 题数学试题（理）
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间
120分钟
2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答
题卡和试题纸上。

3．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。

4．第II 卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。

5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

参考公式：
①如果事件A 在一次试验中发生概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率
Pn （k ）=C k
n
Pk （1－P ）n －k 。

②棱柱的体积公式：V=sh （s 底面积，h 为高）。

③K 2
统计量的表达式K 2
=)
)())()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出
一个符合题目要求的选项。

） 1．给定下列结论：其中正确的个数是 （ ）
①用20㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是25㎝2；
②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
③函数y=2-x 与函数y=log 2
1x 的图像关于直线y=x 对称。

A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知{
}*
∈==N
n i y y M n ,|2（其中i 为虚数单位），,11lg |⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
-+==x
x y x N
{}
,,1|2R x x x P ∈>=则以下关系中正确的是
（ ）
A ．P N M =⋃
B ．N P M
C R ⋃=
C ．M N P =⋂
D ．Φ=⋂)(N P C R
3．若a>2,则函数13
1)(23
+-=
ax x x f 在区间（0，2）上恰好有 （ ）
A ．0个零点
B ．1个零点
C ．2个零点
D ．3个零点 4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S= （ ）
A ．1
B ．
100
101
C ．
10099 D ．
99
98
5．在ABC
ABC
∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的
面积等于
（ ）
A ．
22
B ．
4
2 C ．
2
3 D ．2
6．2018年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，
每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 （ ） A ．540 B ．300 C ．150 D ．180 7．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）
A ．32
B ．3
C ．
4
3
3 D ．
2
3
3 8．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b ，则双曲线12
2=-b
y a x 的离心率e 等于
（ ）
A ．
23
B ．
2
5 C ．
50
17 D ．3
9．给出下列四个命题，其中正确的一个是 （ ）
A ．在线性回归模型中，相关指数R 2
=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80% B ．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这
两个变量没有关系成立的可能性就越大
C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好
D ．随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足
E （e ）=0 10．已知函数),0()0,()(,4)(2
+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，
)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为
（ ）
11．已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件
⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤-,
21,
22OA OM 则⋅的最大值为
（ ）
A ．－1
B ．0
C ．3
D ．4
12．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a ，与对手踢平（得1分）的概率为b ，
负于对手（得0分）的概率为c （a ，b ，c ∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得
分的期望是1，则b
a 311+的最小值为 （ ）
A ．
3
16 B ．3
14
C ．
3
17
D ．
3
10
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

） 13．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm ”类比得到“a ·b=b ·a ”； ②“（m+n ）t=mt+nt ”类比得到“（a+b ）·c=a ·c+b ·c ”；
③“t ≠0，mt=nt n m =⇒”类比得到“c a c b c a c =⇒⋅=⋅≠,0”； ④“||||||n m n m ⋅=⋅”类比得到“||||||b a b a ⋅=⋅”。

以上类比得到的正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）。

14．在),(4
1,,,,,,222
a c
b S
c b a C B A ABC -+=
∆若其面积所对的边分别为角中 A ∠则= 。

15．已知抛物线则的直线与抛物线相交于过点,,)0,2(),0(22
B A p M p px y >=
⋅OB 。

16．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。

某品牌的电视机的显像管开关了10000
次还能继续使用的概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(。

（1）写出函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间； （2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈3,6ππx 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求)(x f 的图象、y
轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积。

18．（本小题满分12分）
某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费1.1万元。

团委计划在全校
开展爱心募捐活动，为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举办“摇奖100%中奖”活动。

凡捐款10元便可享受一次摇奖机会，如图是摇奖机的示意图，摇奖机的旋转盘是均匀的，扇形区域A ，B ，C ，D ，E 所对应的圆心角的比值分别为1：2：3：4：5。

相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品。

摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边线忽略不计）即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域，可获得价值3元的学习用品）。

（1）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去购买学习用品的款项后，剩余
款项是否能帮助该生完成手术治疗？
（2）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元时的学习用品的
概率。

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底
A 1
B 1
C 1
D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2。

（1）求证：B 1B//平面D 1AC ；
（2）求二面角B 1—AD 1—C 的余弦值。

20．（本小题满分12分） 已知函数)1,,(2
3)(2
3
>+-
=a b a b ax x x f 且为实数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。

（1）求)(x f 的解析式；
（2）若函数mx x f x g -=)()(在区间[－2，2]上为减函数，求实数m 的取值范围。

21．（本小题满分12分）
过点P （1，0）作曲线)1,),,0((:>∈+∞∈=*
k N k x x y C k
的切线，切点为M 1，
设M 1在x 轴上的投影是点P 1。

又过点P 1作曲线C 的切线，切点为M 2，设M 2在x 轴
上的投影是点P 2，…。

依此下去，得到一系列点M 1，M 2…，M n ，…，设它们的横坐标a 1，a 2，…，a n ，…，构成数列为{}n a 。

（1）求证数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：1
1-+
≥k n
a n ； （3）当{}n n
n b a n
b k 求数列令时,,2==的前n 项和S n 。

22．（本小题满分14分）
已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 的离心率为33，直线l ：y=x+2与以原点
为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。

（1）求椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动
直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程； （3）设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在C 2上，且 满足0=⋅RS QR ， 求||的取值范围。

参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1—5 CBBCA 6—10 CBBDB 11—12 DA
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13．①② 14．
4
π 15．0 （文）4
5 16．
6
5；（文）1000。

三、解答题。

17．解（1）,2
1)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=a x a x x x f π （2分）
.π=∴T （4
分）
.3
26,2236
222
ππ
ππππ
ππ
k x kx k x k +≤≤++≤
+
≤+得由
故函数)(x f 的单调递减区间是)(32,6Z ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++k k k ππππ。

（6
分）
（2）（理）.1)6
2sin(21.656
26
,3
6
≤+≤-∴≤
+
≤-
∴≤
≤-π
ππ
π
π
π
x x x 当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈3,6ππx 时，原函数的最大值与最小值的和)2121()211(++-+++a a
.2
1
)62sin()(,0,23++=∴=∴=
πx x f a （8分）
)(x f 的图象与x 轴正半轴的第一个交点为)0,2
(π
（10分）
所以)(x f 的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积
⎰
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=.432|2)62cos(21
21)62sin(2020
ππππ
π
x x dx x S （12分）
18．解：（1）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A 、B 、C 、D 、E
则其概率分别为,5
1
153)(,152)(,151543211)(====++++=
C P B P A P
.3
1155)(,154)(===E P D P （3分） 设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ξ，则ξ的分布列为：
.3
1551545315231=⨯+⨯+⨯+⨯
+⨯=ξE （6分）
若捐款10元者达到1500人次，那么购买学习用品的款项为1500E ξ=3500（元）， 除去购买学习用品的款项后，剩余款项为1500×10-3500=11500（元），
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗。

（8
分）
（2）记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F ，则 .45
7154152153153155151)(1
21
2=⨯⨯+⨯+⨯⨯
=C C F P 即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为
45
7。

（12分）
19．以D 为原点，以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、
y 轴、z 建立空间直角坐标系D —xyz 如图，则有A （2，0，0）， B （2，2，0），C （0，2，0），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2）， C 1（0，1，2），D 1（0，0，2）。

（3分）
（1）证明：设,E BD AC =⋂连结D 1、E ，则有E （1，1，0）， )2,1,1(11-==B D 。

所以B 1B//D 1E 。

AC D B B AC D E D AC D B B 111111//,,平面平面平面∴⊂⊄ ； （6
分）
（2）解：),2,0,2(),0,1,1(111-==D B D 设的法向量为平面11),,(D AB z y x n =，
)1,1,1(.1,1,1.022,0111-==-===-=⋅=+=⋅n z y x z x A D n y x D B n 则于是令
（8分） 同理可以求得平面D 1AC 的一个法向量m=（1，1，1）。

（10
分）
.3
1
.31||||,cos 11的余弦值为二面角C AD B n m n m n m --∴=⋅>=
< （12
分）
20．解：（1）,33)('2ax x x f -=
[][])
6(.12)(.
3
4
,223)1(),
1()1(,23
2)1(,23)1()
4(,1)0()2(.1,0,0,1)(,
1,,0,0)('2321分分分上为减函数在上为增函数在得令 +-=∴=-=-=-∴<-∴-=-=-==∴-∴>===x x x f a a f f f a f a f b f x f a a x x x f
（2）,12)(23+-+=mx x x x g
.43)('2m x x x g --=
由[]上为减函数在2,2)(-x g ，
知[].2,20)('上恒成立在-∈≤x x g （8分）
⎩⎨
⎧≤≤-∴0)2('0)2('g g ， 即⎩
⎨⎧≤-≤-040
20m m .20≥∴m .20≥∴m m 的取值范围是实数 （12
分）
21．解：（1）对k
x y =求导数，得),(,1k
n n n k a a M kx y 切点是-=的切线方程是
)(1
n k n k n a x ka a y -=-- （2
分）
当n=1时，切线过点P （1，0），即0
;1
),1(1111-=
-=--k k
a a ka a k k 得 当n>1时，切线过点)0,(11--n n a p ，即0.1
),(111-=-=----k k
a a a a ka a n n n n k n k n 得
所以数列{},1
,11的等比数列公比为是首项--=
k k k k a a n
所以数列{}
*∈-=N n k k a a n
n n ,)1
(的通项公式为 （4分） （2）应用二项公式定理，得
)
8(.1
1)1
1()11(11)111()1(
2210分 -+≥-++-+-+=++=-=k n k C k C k C C k k k a n n
n n n n n n n
（3）当
{}n
n n n n n n n
S n b n b a k 2
232221.2,2,232++++==
== 项和的前项数列时， 同乘以.223222121,211432+++++=n n n
S 得 （10分）
两式相减，得
11132221122
11)
21
1(2
122122212121+++--=---=-++++=n n n n n n n n n n S 所以n n n S 2
2
2+-= （12分）
22．解：（1）由;32
1,3322=-==e a
b e 得 （2分）
由直线3,2,.||2
2,02:2
2
2
====+=+-a b b b y x y x l 所以得
相切与圆
所以椭圆的方程是.12
32
2=+y x （4分）
（2）由条件，知|MF 2|=|MP|。

即动点M 到定点F 2的距离等于它到直线1:1-=x l 的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹C 2的方程是x y 42
=。

（8分）
（3）由（2），知Q （0，0）。

设),4
(),,4(),,4(12
122
2121y y QR y y S y y R =所以
)
12().4,256(6432256232256)10(16,.0)(16
)(,0).,4
(1212121
21221
1221121212221122122分时等号成立即当且仅当分化简得因为得由 ±===+≥++=∴--=≠=-+-=⋅--=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y .64,64)8(41)4(||2
22
222222
2
≥-+=+=y y y y 所以当.58||,8,64min 22
2=±==QS y y 时即 故||的取值范围是[)∞+.58。